Kurseinheit 6 Kombinatorik

KE 6 Kombinatorik

Hallo zusammen,

habe eine Frage zu Beispiel 19 Seite 33.
Modell ohne Zurücklegen:
Aus 8 Personen können 2 Personen auf 28 Arten ausgewählt werden.
Das ganze wird nach Formel

n!
k! (n-k)!

berechnet.
könnt ihr mir bitte erklären wie man auf die 28 kommt bzw. was n! und n usw ist.??

Vielen Dank im Voraus!

Schöne Grüße

Alex

n! = n - Fakultät. z.b. 4!=1*2*3*4 (KE6 Seite 31)
gibt auch aufn Taschenrechner x!

bei deiner Aufgabe ist n=8 und k=2.
aus n!/(k!(n-k)!) folgt: 8!/(2!(8-2)!)= 40320/(2*6!)=40320/(2*720)=28

lg madl

Man sollte sich hier nicht nur die Formel [tex]\frac{n!}{k!(n-k)!}[/tex] merken. Das ist ein Binomialkoeffizient, [tex]n \choose k[/tex], den man "n über k" ausspricht. Im Englischen noch besser, "n choose k". Das ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Gesamtheit von n Elementen k ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen. Außer der Formel oben gibt es noch drei andere Möglichkeiten, ihn zu berechnen:

1) am anschaulichsten über das Pascalsche Dreieck: Pascalsches Dreieck ? Wikipedia Die ersten paar Zeilen hat man sowieso im Kopf, weil man hin und wieder sowas wie [tex](a+b)^4[/tex] ausmultiplizieren können will.
2) in der obigen Formel kann man ein bisschen kürzen: [tex]{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{1\cdot 2\cdots k}[/tex], also beispielsweise [tex]{10 \choose 3} = \frac{10\cdot 9\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3}=\frac{5\cdot 3\cdot 8}{1} = 120[/tex]. Hat den Vorteil, dass man diese Monsterfakultäten nicht alle ausrechnen muss.
3) Taschenrechner haben üblicherweise eine Taste "nCr" dafür. 8 nCr 2 = 28.

Ich habe zu der selben Aufgabe eine Frage. Beispiel 19, Seite 33, Übungsaufgabe 6.

Wie genau rechne ich 9!/3!2!4! aus - manuell und mit Taschenrechner? Wie sind die einzelnen Schritte?

Ich habe es schon mit nPr und nCr probiert, wo ist da der Unterschied?

Ich komme immer auf ein anderes Ergebnis.

Danke für Eure Hilfe!

Riesenschnecke schrieb:

Ich habe zu der selben Aufgabe eine Frage. Beispiel 19, Seite 33, Übungsaufgabe 6.

Wie genau rechne ich 9!/3!2!4! aus - manuell und mit Taschenrechner? Wie sind die einzelnen Schritte?

Ich habe es schon mit nPr und nCr probiert, wo ist da der Unterschied?

Ich komme immer auf ein anderes Ergebnis.

Danke für Eure Hilfe!

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Manuell: [tex] {9!} \over {3! \cdot 2! \cdot 4!} [/tex] = [tex]{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9} \over {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} [/tex]

Taschenrechner: Die Fakultätsfunktionstaste ist in der Regel mit x! markiert. Weiteres siehe in der Bedienungsanleitung für den TR

nCr = [tex] n! \over {r!(n-r)!} [/tex]
nPr =[tex] n! \over {(n-r)!} [/tex]

Vielen Dank! Jetzt endlich komme ich auch auf das Ergebnis.

Die Tasten auf dem Taschenrechner habe ich gefunden, aber was gebe ich genau ein?

Bei 9 über 3 * 9 über 2 * 9 über 4 bekomme ich zu viel raus, mit + dazwischen zu wenig.

9 über ??? Was muß ich in den Taschenrechner eingeben?

Also PCr sind die Permutationen 9 Shift x 3 = 504 ist absolut identisch zur o.a. Formel
Bei NCr erfolgt die Eingabe äquivalent

Morgen allerseits!DA alle FRagen beantwortet scheinen stelle ich auch mal ne Matheboonfrage zu einem ähnlichen Thema:

Es geht um KE 8 Übungsaufgabe 2:Es soll eine Münze 4 mal geworfen werden.Wie groß ist die Wahrsch. dafür das a)2x Zahl oben liegt.Jetzt habe ich "etwas" Probs mit der Rechnung.Oben hatte schon einer diesen "Knubbel" gezeigt.Das kommt ja in der Formel vor und da ich NULL Ahnung von Mathe habe(fragt bloß nicht wie ich die Klausur überstanden habe^^)habe ich Probleme die Rechnung nachzuvollziehen.In der Lösung wird aus 4 über 2 *(1/2)²*(1/2)² plötzlich (4!/2!*2!)*1/2^4 .Könnte mir jemand die komplette Rechnung erklären?Das mit der Fakultät ist mir schon klar(wobei ich da damals auch erstmal Wikip. zu rate ziehen mußte)aber der Rest nicht.Da diese Rechnung fast in der kompletten KE rankommt sind mir die Rechnungen auch völlig schleierhaft geblieben.Und wenn möglich versucht es so zu erklären als sein ich 10 Jahre weil Mathesprache verstehe ich leider nicht wirklich gut 😉


Evtl. wäre auch jemand so nett mir gleich noch zu sagen wie ich in KE 7 Übrungsaufg. 12 "C" bestimme dann spare ich mir einen Thread

blade01 schrieb:

....Und wenn möglich versucht es so zu erklären als sein ich 10 Jahre weil Mathesprache verstehe ich leider nicht wirklich gut 😉
......

😉

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Du hast es so gewollt.

Also ganz von vorne. In der Mathematik sind Potenzen die Zahlen denen eine Weitere in kleinerer Schriftgröße oben angehängt ist. Die Große nennt man Basis die Kleine Exponent und das ganze Gebilde Potenz.
Die Rechenregeln dafür nennt man demnach Potenzgesetze, deren Studium ich dir dringend empfehle. Zu finden sind diese in gängigen Formelsammlungen.
Eine dieser Regeln besagt, dass wenn du zwei Potenzen, bei denen die Basis gleich ist, miteinander mal nimmst, du die Exponenten zusammenzählen darfst.
Das erklärt warum aus einhalb hoch zwei mal einhalb hoch zwei plötzlich einhalb hoch 4 wird. Nun zu den Ausrufezeichen (Fakultäten). Die Formel wie vier über zwei (Binominalkoeffizient) in Ausrufezeichenform dargestellt wird findest du in Posting #3.

Wenn du also für n die 4 und für r die 2 einsetzen tust, dann hast du im Zähler 4! und im Nenner 2!(4-2)! = 2!2! stehen. Die Zahl 4 steht hierbei für die Anzahl der Würfe und die Zahl 2 für die Anzahl der möglichen Ereignisse pro Wurf (Kopf oder Zahl).

Für die zweite Frage ist es mir inzwischen zu spät, die darf ein anderer lösen.

Ja gut das mit den Brüchen war mir soweit klar(auch wenn ich dafür erstmal ne Runde Nachhilfe nehmen mußte vor einiger Zeit, GEsamtschule sei dank^^).

N über K (Binomk.....)heißt also:N über K ist gleich N!/N!*(N-K)! ?Ist das immer so?Evtl. wurde das vorher in den KEs schonmal erwähnt aber ich habe gerade aufgrund eines Todesfalls eine größere Lernlücke und komme derzeit nicht so wirklich dazu diese zu füllen.Aber schonmal danke soweit jetzt kann ich erstmal wieder weiterlernen.

Evtl. ist ja jemand so nett und erklärt mir noch das mit dem C*lieb guck*

blade01 schrieb:

N über K (Binomk.....)heißt also:N über K ist gleich N!/N!*(N-K)! ?Ist das immer so?

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ja, n über k ist praktisch die Kurzschreibeweise für diese Formel.

Auch Mathematiker haben hin und wieder einen Hang zur Bequemlichkeit

[tex]\frac{n!}{k!(n-k)!}[/tex], nicht [tex]\frac{n!}{n!(n-k)!}[/tex] natürlich.

Mein Mathelehrer beim Abi hat immer gesagt Mathematiker sind die faulsten Menschen der welt.Er mußte es wissen, ihm habe ich meine Wissenslücken zu verdanken also kann ich das mit dem Hang zur Bequemlichkeit nur unterstreichen 😉

Ok war also garnicht so schwer wie ich erwartet hätte.Das sieht für einen wie mich der kein "Mathe" spricht immer so unmöglich lösbar aus ;(

Ok letzte FRage dann seit ihr mich soweit auch erstmal los denke ich:

KE8 BSP 7:Beim Zahlenlotto werden 6 aus 49 gezogen.GEfragt ist nach der Gewinnwahrscheinlichkeit also 6 aus 49.

Wie groß ist die Wahrsch. das unter den 6 gewählten Kugeln X=3,4,5,6 markiert sind?

Die Formel(für eine Hypergeometrische Vert.) steht wenn ich mich nicht irre auf Seite 21, es sind N=49(die Anzahl der Kugeln),M=6(M "berechnet" sich wie bei den faulen Eiern eine Seite zuvor, oder?Also hier sind die Kugeln nicht faul sondern halt 6x markiert, korrekt interpretiert??) und n=6(es werden 6 Kugeln gezogen).

So, mein Problem ist jetzt das ich zwar korrekt in die Formel für x=3 eingesetzt habe(ok, keine Meisterleistung ich weiß)aber nicht mit dem Inhalt umgehen kann.Was genau rechne ich da?Der erste Ausdruck oben auf dem Bruch ist ja wieder eins von den Binominaldingern, also wird daraus wieder , korrekt?Jetzt kommt der nächste Teil auf dem Bruch, da steht dann 49-6(49 über 6) und 6-3(6 über 3).Wie behandele ich das?Evtl. könnte mir das jemand komplett mit Zwischenschritten vorrechnen ich bekomme diese Aufgabe einfach nicht gebacken.DAnke schonmal im vorraus.....

Es ist so,daß man diese 49-6 tatsächlich zuerst ausrechnet,also
49 minus 6 = 43 und auch die 6-3 rechnet man aus,Ergebnis 3.
Dann steht da also 43 über 3 und damit kannst Du ja umgehen.