Kurseinheit 5 Aufgabe 8

KE 5, Aufgabe 8

Hier die Aufgabe:

Monopolmarkt, Nachfrage: X=10-1/4P, K= 1/3x³-6x²+40x

Zeigen Sie, dass ein natürliches Monopol vorliegt.

Ok, die Lösung verstehe ich ja soweit:

Minimum der DK = 9

DK = P = > gleichsetzen, Nullstellen 0+6

So, aber woran sehe ich, dass der Schnittpunkt im fallenden Bereich der Durchschnittskostenkurve liegt und es sich somit um ein natürliches Monopol handelt??😕

Vielen Dank schon mal für die Hilfe,

lg,
Drea

Fällt die Durchschnittskostenkurve zwischen X = 0 und X = 6? Wenn ja, dann ist es ein natürliches Monopol, wenn nein, dann ist es kein natürliches Monopol.

DK(X) = 1/3 * X^2 - 6 * X + 40

DK'(X) = 2/3 * X - 6 = 0 falls X = 9

DK''(X) = 2/3 > 0 d.h. bei X = 9 haben die Durchschnittskosten ihr einziges Minimum.

Soweit hast Du das doch auch schon ausgerechnet!

Es gilt:

0 <= X < 9 : DK'(X) < 0, ...... d.h. die Durchschnittskosten fallen

X = 9: DK(9) = 0, DK''(9) > 0, d.h. die Durchschnittskosten sind minimal

X > 9 : DK'(X) > 0, ..............d.h. die Durchschnittskosten steigen

Im Bereich 0 <= X < 9 fallen also die Durchschnittskosten und für 9 < X steigen sie. Als Bereich für die gesamte Nachfrage, die der Monopolist überhaupt bedienen kann (Durchschnittskosten sind kleiner oder gleich dem Preis) wurde 0 <= XA <= 6 berechnet und dieser Bereich liegt komplett im Bereich 0 <= X < 9 fallender Durchschnittskosten. Deshalb liegt ein natürliches Monopol vor.

Liebe Grüße

danke für die Erklärung. Hab ich das so richtig verstanden:

weil die beiden Nullstellen < 9 sind handelt es sich um ein natürliches Monopol?

Doch was ist, wenn nur 1 Nullstelle < 9 wäre?
Oder wenn die eine Nullstelle im negativen Bereich läge?

Dann läge kein natürliches Monopol vor, oder?

lg,
Drea

drea78 schrieb:

Hi,

danke für die Erklärung. Hab ich das so richtig verstanden:

weil die beiden Nullstellen < 9 sind handelt es sich um ein natürliches Monopol?

Doch was ist, wenn nur 1 Nullstelle < 9 wäre?
Oder wenn die eine Nullstelle im negativen Bereich läge?

Dann läge kein natürliches Monopol vor, oder?

lg,
Drea

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Wenn die Schnittpunkte von Durchschnittskostenkurve und Nachfragekurve nicht bei X = 0 und X = 6, sondern bei X = 0 und X = 12 wären, dann ...

1) ist der Angebotsbereich 0 <= X <= 12
2) Die Durchschnittskosten fallen für X < 9 und steigen für 9 < X, d.h. im Angebotsbereich für 9 < X <= 12 steigen sie

Also liegt kein natürliches Monopol vor!

Wenn die Schnittpunkte von Durchschnittskostenkurve und Nachfragekurve nicht bei X = 0 und X = 6, sondern bei X = -2 und X = 6 wären, dann ...

1) ist der Angebotsbereich unverändert 0 <= X <= 6
2) Die Durchschnittskosten fallen für X < 9 und steigen für 9 < X, d.h. im gesamten Angebotsbereich 0 <= X <= 6 fallen sie

Also liegt ein natürliches Monopol vor!

Du musst immer analysieren:

1) In welchem positiven Mengenbereich sind die Durchschnittskosten kleiner gleich dem Preis gemäß (inverser) Nachfragefunktion?

2) Falls es einen solchen Bereich gar nicht gibt, weil die Durchschnittskosten immer über dem Preis liegen, dann bietet der Monopolist natürlich gar nicht an, d.h. es liegt nicht einmal ein Monopol vor, also auch kein natürliches.

3) Falls es einen solchen Bereich gibt: Fallen die Durchschnittskosten in diesem Bereich überall?

... Falls Ja: Natürliches Monopol liegt vor!

... Falls Nein: Natürliches Monopol liegt nicht vor!

Beachte: Wenn die Durchschnittskosten für alle X >= 0 fallen, dann ist die Schnittpunktberechnung unnötig und es reicht zu erkennen, dass es überhaupt einen Bereich der Stückkostenkurve gibt, die unterhalb der inversen Nachfragefunktion liegt. Denn wenn es diesen Bereich gibt, dann fällt die Stückkostenkurve in diesem Bereich, weil sie ja (wie angenommen) für alle X >= 0 fällt.


Liebe Grüße

danke für die ausführliche Erklärung. Wann ein natürliches Monopol vorliegt und wann nicht, habe ich -denk ich zumindest- verstanden:

Minimum der DK > Nullstellen => natürliches Monopol
Minimum der DK liegt zwischen den Nullstellen => kein natürliches Monopol

Aber, weil Du´s schon mal ansprichst, wenn Monopol vorliegt, dass versteh ich nicht. Kannst Du mir das an einem einfachen Beispiel erklären?

Wäre das dann hier wenn die Nullstellen z.B. 11 und 20 wären (also >9)😕

lg,
Drea

drea78 schrieb:

Aber, weil Du´s schon mal ansprichst, wenn Monopol vorliegt, dass versteh ich nicht. Kannst Du mir das an einem einfachen Beispiel erklären?

Wäre das dann hier wenn die Nullstellen z.B. 11 und 20 wären (also >9)😕

lg,
Drea

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Es gilt ganz allgemein (egal auf welchem Markt), dass ein Anbieter auf dem Markt nur anbietet, wenn seine Durchschnittskosten kleiner oder höchstens gleich dem Preis sind. Denn ansonsten kostet das Gut in der Bereitstellung (Produktion) ja mehr, als es einbringt (erlöst), d.h. der Anbieter würde Verluste machen. Damit ein Anbieter also kostendeckend anbietet, müssen die Stückkosten kleiner oder gleich dem Preis (= Stückerlös) sein.

Wenn die Schnittpunkte von Durchschnittskostenkurve und Nachfragekurve nicht bei X = 0 und X = 6, sondern bei X = 11 und X = 20 wären, dann ...

1) ist der Angebotsbereich 11 <= X <= 20, weil nur in diesem Bereich die Stückkosten kleiner oder gleich dem Preis sind.
2) Die Durchschnittskosten fallen für X < 9 und steigen für 9 < X, d.h. im Angebotsbereich für 11 <= X <= 20 steigen sie.

Also liegt kein natürliches Monopol vor.

Liebe Grüße

Hmm, aber ein Monopol liegt vor, oder? Aber wann würde denn gar kein Monopol vorliegen. (Bitte mit Zahlen erklären :O) )

Wenn die Durchschnittskostenkurve immer oberhalb der inversen Nachfragekurve verläuft, dann produziert der Anbieter nicht, weil dann die Kosten pro Stück stets höher sind, als der Erlös pro Stück (der Preis). Wenn der Anbieter aber gar nicht anbietet, dann hat er selbstverständlich kein Monopol (klar, er ist nicht einmal Marktteilnehmer).

Beispiel:

Wie in der Aufgabe sei X = 10 - 1/4 * P die Nachfragefunktion, d.h. P = 40 - 4 * X die inverse Nachfragefunktion

Die Kostenfunktion sei K = X^3 - 6 * X^2 + 45 * X

Die Durchschnittskostenfunktion ist DK = K/X = X^2 - 6 * X + 45

Die Kurve der Durchschnittkosten verläuft für allle X >= 0 oberhalb der inversen Nachfragekurve, d.h. die Stückkosten sind für jede mögliche Angebotsmenge höher als der Preis, d.h. mit diesen Kosten macht es für den (möglichen) Anbieter keinen Sinn zu produzieren.

Liebe Grüße