KE2 von 3.1.5 mittels Enveloppen-Theorem auf 3.1.12

Ja die Überschrift sagt eigentlich schon alles, wie kommt man mit dem Theorem von 3.1.5 auf 3.1.12? Ich hab mir schon paar Sachen in verschiedenen Büchern angeschaut aber der Groschen ist noch nicht so richtig gefallen. Kann mir hier jemand evt. eine ausführliche Herleitung geben?

Das enveloppen-theorem besagt ja ganz einfach gesprochen: wenn du die Ableitung der Zielfunktion (hier Nutzenfkt.) nach einer exogenen Variable (N) abgeleitet haben willst, dann leite einfach die Lagrangefunktion nach dieser Variable ab.
zu 3.1.5: der ausdruck in der eckigen Klammer ist ja 0, da G=Nx+y. d.h. wenn du die Lagrange-Fkt Z nach N ableitest, dann ist es dasselbe, wenn du U nach N ableitest, weil ja lambda*0=0. Genau das ist zugleich die Begründung für das enveloppen-theorem, wie ich es erklärt habe. Mehr musst du meiner Meinung nicht wissen.
damit ist das erste Gleichheitszeichen von 3.1.12 erklärt. jetzt musst du nur noch Z nach N ableiten und eben das geschieht nach dem zweiten Gleichheitszeichen. Fertig

für die späteren schritte bzw. die zweite Ableitung musst du nur noch beachten, dass sowohl lambda wie auch x wegen 3.1.9 und 3.1.11 von N abhängen und somit ebenfalls abgeleitet werden müssen.

Ok super, vielen Dank. Eine Frage hät ich noch zur Übungsaufgabe 11. Wie komm ich da auf das Ergebnis < 0 das mir dann sagt, dass es ein Maximum ist. Muss ich die erste Ableitung nach N umstellen und dann in die 2te einsetzen?