KE 2 Aufgabe 76

Ein Haushalt besitze die Nutzenfunktion U = Y^a * F^b, wobei Y Einkommen und F Freizeit bedeuten. Das Einkommen ist die Summe aus Arbeitseinkommen IL und sonstigem Einkommen Ys. Das Arbeitseinkommen ist das Produkt aus Lohnsatz I und Arbeitszeit L. Pro Tag stehen 24 - L Stunden Freizeit zur Verfügung.
a) Wie reagiert der Haushalt mit seinem Arbeitsangebot auf einen Anstieg des Lohnsatzes?

Das versteh ich noch:
24 = L + F -> L = F - 24
Y = IL + Ys -> Y = I (F - 24) + Ys
U = (I (F-24) + Ys)^a * F^b

Aber in der Lösung stellen die dann um zu (scheint wohl die Bedingung 1.Ordnung für ein Nutzenmaximum):
U/F = a(I(24-F)+Ys)^a-1 * (-I)F^b + (I(24-F) + Ys)^a * bF^b-1 = 0

Wonach und warum wurde hier abgeleitet? Ging das nach einer bestimmten Formel?
Woher kommt das "(-I)F^b" am Ende des ersten Summanden? Danke.

zoffchen schrieb:

L = F - 24

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Falsch! Richtig: L = 24 - F

Deshalb sieht U auch so aus: U = (I * (24 - F) + Ys)^a * F^b

Liebe Grüße

Es wird das Freizeitoptimum des Haushalts gesucht, d.h. die Nutzenfunktion U wird durch einsetzen der "Budgetrestriktion" als Funktion von Freizeit F dargestellt und dann nach F abgeleitet.

U = (I * (24 - F) + Ys)^a * F^b

Jetzt wird U nach F abgeleitet, d.h. dU/dF berechnet:

U besteht aus dem Produkt zweier Funktionen, nämlich f1(F) = (I * (24 - F) + Ys)^a und f2(F) = F^b

U = f1(F) * f2(F)

Das wird mit der Produktregel abgeleitet:

dU/dF = df1/dF * f2(F) + f1(F) * df2/dF

f1 ist eine Verkettung zweier Funktion g und h, nämlich g(x)= x^a und h(x) = I * (24 - x) + Ys

f1(F) = g(h(F))

Das wird mit der Kettenregel abgeleitet: "Äußere Ableitung mal innere Ableitung"

df1/dF = dg/dh(F) * dh/dF

Insgesamt ist also dU/dF:

dU/dF
= df1/dF * f2(F) + f1(F) * df2/dF ...........................// ableiten mit Produktregel
= dg/dh(F) * dh/dF * f2(F) + f1(F) * df2/dF ............// f1 ableiten mit Kettenregel: dg/dh(F) * dh/dF
= a * (I * (24 - F) + Ys)^(a-1) * -I * F^b + (I * (24 - F) + Ys)^a * b * F^(b-1)

Das -I ist also die innere Ableitung dh/dF von f1(F) = g(h(F)) = (I * (24 - F) + Ys)^a nach F:

f1(F) = g(h(F)) mit h(F) = I * (24 - F) + Ys und dh/dF = -I

Liebe Grüße

Ohhh das mit Produkt- und Kettenregel hatte ich schon ganz vergessen. 🙂 Danke dir.