KE 1, S. 36/37, Übungsaufgabe 1.6.1

Nabend,

ich scheitere mal wieder an den Ableitungen 🙁 und zwar momentan an der zweiten Ableitung zu i). Die erste Ableitung war mit der Quotientenregel kein Problem und mein Ergebnis deckte sich mit dem der Lösung: -2x^2 + 2 / (1 + x^2)^2.

Dann hakt es bei mir. Ich würde hier jetzt die Quotientenregel zusammen mit der Kettenregel anwenden. Mein Ergebnis sieht dann aber nicht so schön übersichtlich aus, wie das der Lösung, vor allem hab ich unter dem Bruchstrich ^4 und nicht ^3 stehen 😡 leider kann ich aus der unausführlichen Lösung nicht erkennen, wo mein Fehler liegt, ob es am Kürzen liegt oder ob ich komplett vorbeirudere.

Vielleicht wäre einer von euch so nett, mir hier einmal die 2. Ableitung Schritt für Schritt herzuleiten.

Lieben Gruß

Ich habe die Aufgabe jetzt nicht mit Ergebnis vorliegen, aber ich würde wie folgt ableiten (auch mit Quotienten- und Kettenregel)

1. Die 1. Ableitung ein bisschen umformen:

[tex] f'(x) = \frac{-2x^2 + 2}{(1 + x^2)^2} = -2 \frac{x^2 - 1}{(1 + x^2)^2} [/tex]

2. Die 2. Ableitung mit Quotienten- und Kettenregel:

[tex] f''(x) = -2 [ \frac{2x*(1 + x^2)^2 - 2*(1 + x^2) * 2x * (x^2 - 1)}{(1 + x^2)^4} ] [/tex]

Dabei ist [tex] 2*(1 + x^2) * 2x [/tex] der Kettenregel-Anteil mit dem Du den Nenner ableitest.

Jetzt geht es ans Vereinfachen. Du kannst [tex] (1 + x^2) [/tex] ausklammern. Dann sieht es wie folgt aus:

[tex] f''(x) = -2 [ \frac{(1 + x^2) * [2x*(1 + x^2) - 4x *(x^2 - 1)]}{(1 + x^2)^4} ] [/tex]

Jetzt kannst Du [tex] (1 + x^2) [/tex] aus dem Zähler und 1x im Nenner kürzen (daher wird aus hoch 4 ein hoch 3):

[tex] f''(x) = -2 [ \frac{ (2x*(1 + x^2) - 4x *(x^2 - 1))}{(1 + x^2)^3} ] [/tex]

Und jetzt im Zähler alles ausmultiplizieren und zusammenfassen:

[tex] f''(x) = -2 [ \frac{2x + 2x^3 - 4x^3 + 4x}{(1 + x^2)^3} ] = -2 [ \frac{6x - 2x^3}{(1 + x^2)^3} ] = -2 [ \frac{2x+(3 - x^2)}{(1 + x^2)^3} ] = \frac{-4x(3 - x^2)}{(1 + x^2)^3} = \frac{4x^3 - 12x}{(1 + x^2)^3} [/tex]

Ich hoffe, dass das das Ergebnis ist, das auch im Skript steht und ich auf die Schnelle in der Mittagspause keinen Fehler reingehauen habe…

Ja, das Ergbnis stimmt mit dem im Skript überein.

Ich danke dir für deine Mühen. Du hast mir sehr geholfen, dass besser nachvollziehen zu können. Besonders der Hinweis auf das Ausklammern war sehr hilfreich und genau das, was mir gefehlt hat meine Potenz unterm Bruchstrich in den Griff zu kriegen.

Blutbeere schrieb:

Ja, das Ergbnis stimmt mit dem im Skript überein.

Ich danke dir für deine Mühen. Du hast mir sehr geholfen, dass besser nachvollziehen zu können. Besonders der Hinweis auf das Ausklammern war sehr hilfreich und genau das, was mir gefehlt hat meine Potenz unterm Bruchstrich in den Griff zu kriegen.

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Ausklammern mache ich generell "gerne", da man oft kürzen kann oder schneller sieht, ob sich etwas kürzen lässt. Beim Ableiten mit der Quotientenregel (vor allem in Verbindung mit der Kettenregel) kann man durch Ausklammern oft den ganzen Bruch handlicher machen. Je mehr Du rechnest, desto routinierter wirst Du bei der Sache

könnte mir jemand bitte auch die 3. Ableitung so ausführlich aufschreiben.
Ich kriege es einfach nicht hin 🙁.

Vielen lieben Dank im Voraus.

LG
Ol

Ol.Bo. schrieb:

Hallo Zusammen,

könnte mir jemand bitte auch die 3. Ableitung so ausführlich aufschreiben.
Ich kriege es einfach nicht hin 🙁.

Vielen lieben Dank im Voraus.

LG
Ol

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Du brauchst wieder Quotienten- und Kettenregel:

[tex] f'''(x) = \frac{(12*x^2 - 12)*(1 + x^2)^3 - (4*x^3 - 12*x)*3*(1 + x^2)^2 * 2*x}{(1 + x^2)^6} [/tex]

Dabei ist [tex] 3*(1 + x^2)^2 * 2x [/tex] der Kettenregel-Anteil mit dem Du den Nenner ableitest.

Jetzt geht es ans Vereinfachen: "Vorne" [tex] 12 [/tex] ausklammern und "Hinten" bei der 1. Klammer [tex] 4*x [/tex]:

[tex] f'''(x) = \frac{12*(x^2 - 1)*(1 + x^2)^3 - 6*x*4*x*(x^2 - 3)*(1 + x^2)^2}{(1 + x^2)^6} [/tex]

Und nun kann man [tex] (1 + x^2)^2 [/tex] ausklammern und "Hinten" noch ein wenig zusammenfassen. Dann sieht es wie folgt aus:

[tex] f'''(x) = \frac{(1 + x^2)^3*[12*(x^2 - 1)*(1 + x^2) - 24*x^2*(x^2 - 3)]}{(1 + x^2)^6} [/tex]

Jetzt kannst Du [tex] (1 + x^2)^2 [/tex] aus dem Zähler und entsprechend im Nenner kürzen (daher wird aus hoch 6 ein hoch 4):

[tex] f'''(x) = \frac{12*(x^2 - 1)*(1 + x^2) - 24*x^2*(x^2 - 3)}{(1 + x^2)^4} [/tex]

ich habe ebenfalls Probleme bei den dritten Ableitungen aller Übungsaufgaben. Wäre es irgendwie möglich, dass die Abbildungen hier wieder sichtbar gemacht werden?