von Studenten für Studenten
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Guten Start ins Wintersemester 2024/2025
Integralrechnung
- Ersteller Benz500
- Erstellt am
ich habe es mal getan und die erste Teilaufgabe gelöst. Aber nicht mit TeX digital in Form gesetzt, weil mir die Muße fehlte.
Falls es noch Fragen gibt, melde dich.
Prinzip ist: Das Komplizierte muss partiell integriert einfacher werden.
Falls es noch Fragen gibt, melde dich.
Prinzip ist: Das Komplizierte muss partiell integriert einfacher werden.
Dann erklär du es doch gern Schritt für Schritt, megamind.
Deine Ableitungen sind falsch. Die Ableitung von [tex]\sin x[/tex] ist [tex]\cos x[/tex], nicht [tex]-\cos x[/tex].
Ich bin mal so frei:
Wie man die Funktionen bei der partiellen Integration verteilen, ist erstmal relativ egal, da sin und cos gleich schwer zu integrieren/differenzieren sind. Um Vorzeichenfehler zu vermeiden setz ich mal [tex]f(x) = \sin x, f'(x) = \cos x[/tex] und [tex]g'(x) = \cos x, g(x) = \sin(x)[/tex] (andersrum hätte man halt jeweils -sin(x), -cos(x)).
Daher:
[tex]\int \sin x \cos x dx = (\sin x)^2 - \int \cos x \sin x dx[/tex]
Dann auf beide Seiten [tex]\int \cos x \sin x dx[/tex] addieren und durch 2 teilen, ergibt
[tex]\int \sin x \cos x dx = \frac12 \sin^2 x + C[/tex]
Man hätte das ganze auch per Substitution lösen können, da cos die Ableitung von sin ist. Dazu setzt man [tex]z := \sin x, z' = \cos x[/tex], also [tex]\int \sin x \cos x dx = \int z dz = \frac12 z^2 + C = \frac12 \sin^2 x + C[/tex].
Oder man hätte die Beziehung [tex]\sin 2x = 2\sin x \cos x[/tex] kennen können:
[tex]\int \sin x \cos x dx = \int \frac12 (2 \sin x \cos x) dx = \int \frac12 \sin 2x dx[/tex]
Dann Substitution [tex]z := 2x, z' = 2[/tex],
[tex]= \int \frac14 \sin z dz = -\frac14 \cos z + C = -\frac14 \cos2x + C[/tex]
Und jetzt wirds interessant: Hab ich mich verrechnet? Oder ist die Methode falsch? Nein, das Ergebnis ist auch richtig. Es gilt [tex]\cos2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2x[/tex], also [tex]-\frac14 \cos2x + C = -\frac14(1-2\sin^2x) + C = \frac12\sin^2x - \frac14 + C = \frac12\sin^2x + C_2[/tex]
Ich bin mal so frei:
Wie man die Funktionen bei der partiellen Integration verteilen, ist erstmal relativ egal, da sin und cos gleich schwer zu integrieren/differenzieren sind. Um Vorzeichenfehler zu vermeiden setz ich mal [tex]f(x) = \sin x, f'(x) = \cos x[/tex] und [tex]g'(x) = \cos x, g(x) = \sin(x)[/tex] (andersrum hätte man halt jeweils -sin(x), -cos(x)).
Daher:
[tex]\int \sin x \cos x dx = (\sin x)^2 - \int \cos x \sin x dx[/tex]
Dann auf beide Seiten [tex]\int \cos x \sin x dx[/tex] addieren und durch 2 teilen, ergibt
[tex]\int \sin x \cos x dx = \frac12 \sin^2 x + C[/tex]
Man hätte das ganze auch per Substitution lösen können, da cos die Ableitung von sin ist. Dazu setzt man [tex]z := \sin x, z' = \cos x[/tex], also [tex]\int \sin x \cos x dx = \int z dz = \frac12 z^2 + C = \frac12 \sin^2 x + C[/tex].
Oder man hätte die Beziehung [tex]\sin 2x = 2\sin x \cos x[/tex] kennen können:
[tex]\int \sin x \cos x dx = \int \frac12 (2 \sin x \cos x) dx = \int \frac12 \sin 2x dx[/tex]
Dann Substitution [tex]z := 2x, z' = 2[/tex],
[tex]= \int \frac14 \sin z dz = -\frac14 \cos z + C = -\frac14 \cos2x + C[/tex]
Und jetzt wirds interessant: Hab ich mich verrechnet? Oder ist die Methode falsch? Nein, das Ergebnis ist auch richtig. Es gilt [tex]\cos2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2x[/tex], also [tex]-\frac14 \cos2x + C = -\frac14(1-2\sin^2x) + C = \frac12\sin^2x - \frac14 + C = \frac12\sin^2x + C_2[/tex]
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