Integrale

kann mir einer von euch erklären wie man Integrale durch Substitution und durch partielle Integration berechnet. Stehe irgendwie auf dem Schlauch.

Aufgaben:

Berechnen Sie die Integrale durch Subsitution:

[tex]
\int in den Grenzen 1 (untere Grenze) und 2 (obere Grenze) \frac{e^1/x}{x^2}dx
[/tex]

[tex]
\int in den Grenzen -2,5 (untere Grenze) und 5,2 (obere Grenze) \frac{4t^3}{t^4+7} dt
[/tex]

Berechnen Sie die Integrale durch partielle Integration.

[tex]
\int (y*lny)² dy
[/tex]

[tex]
\int (\sqrt{y}lny)dy
[/tex]


Wo finde ich die Übersicht für die Befehle?

Bei partieller Integration weiß ich das ich f (x), f' (x), g (x) und g' (x) bilden muss.

Aber wie geht es dann weiter?

Die partielle Integration ist die Umkehrung der partiellen Ableitung:

[tex]
(fg)' = f'g + fg'.
[/tex]

Da kann man überall ein Integral draufsetzen und dann umformen:

[tex]
\int (fg)'dx = \int f'g dx + \int fg' dx \Leftrightarrow \\
\int (fg)'dx - \int fg' dx = \int f'g dx \Leftrightarrow \\
fg - \int fg' dx = \int f'g dx
[/tex]

Jetzt kannst Du ein Integral der Form [tex] \int f'g dx [/tex], also zum Beispiel [tex] \int y\cdot \ln y dy [/tex] berechnen.

Du musst Dir nur vorher überlegen, was Du ableiten und was Du integrieren willst. In diesem Fall ist das ziemlich einfach, denn ln wird fast immer abgeleitet. Also setzt Du

f' = y
g = ln y

Damit folgt
[tex]
\int y\cdot \ln y dy =
\frac{1}{2}y^2\ln y - \int \frac{1}{2} y dy =
\frac{1}{2}y^2\ln y - \frac{1}{4} y^2 =
\frac{1}{2}y^2 (\ln y - \frac{1}{2})
[/tex]

Zur Probe kannst Du das Ergebnis ableiten.

Die Substitution ist die Umkehrung der Kettenregel. Substitutiert wird nach dem Motto "Was stört kommt weg". Beim 2. Integral stört eindeutig der Zähler, also substituiert man

[tex]
y = t^4+7 \\
dy = 4t^3dt \Leftrightarrow dt = \frac{dy}{4t^3}
[/tex]

Wenn man das einsetzt und die Integrationsgrenzen ebenfalls substituiert ergibt sich

[tex]
\int_{-2,5}^{5,2} \frac{4t^3}{t^4+7} = \int_{46,0625}^{738,1616} \frac{1}{y} dy
[/tex]

Und davon kann man nun eine Stammfunktion bilden.

Warum man bei dem ersten Integral substituieren soll, weiss ich nicht, e ist ja eine feste Zahl, die vor das Integral gezogen werden kann und dann ist die Stammfunktion von [tex]\frac{1}{x^3}[/tex] gesucht. Aber man kann sich das Leben auch schwer machen und y = e/x substitutieren.

Klara schrieb:

Warum man bei dem ersten Integral substituieren soll, weiss ich nicht, e ist ja eine feste Zahl, die vor das Integral gezogen werden kann [...]

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Ich wette, daß da nicht

Brinchen25 schrieb:

[tex]
\int_1^2 \frac{e^1/x}{x^2}dx
[/tex]

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steht, sondern

[tex]
\int_1^2 \frac{e^{\frac 1 x}}{x^2}dx
[/tex]

Und schon kann e nicht mehr vor das Integral gezogen werden... 😉

Substituieren mußt Du dann

[tex]y = \frac 1 x[/tex]

woraus folgt:

[tex]dy = - \frac{1}{x^2} dx \Leftrightarrow dx = -x^2 dy[/tex]

Und nun geht es so weiter, wie das Klara es so schön erklärt hat.

Klara schrieb:

Die partielle Integration ist die Umkehrung der partiellen Ableitung

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Nein, der Produktregel 🙂 Partielle Ableitung ist eine ganz andere Baustelle.

chris* schrieb:

Nein, der Produktregel 🙂 Partielle Ableitung ist eine ganz andere Baustelle.

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Ja, hast recht. 😱
Wenigstens habe ich das Richtige gemeint. 😛