von Studenten für Studenten
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Guten Start ins Wintersemester 2024/2025
Integralaufgabe
- Ersteller KatzeLu
- Erstellt am
Hilfreich:
1/sqrt(x-1) = (x-1)^-0,5 das ist deutlich einfacher zu integrieren...
ansonsten geht man wie folgt vor:
f(g(x))*g'(x) wird gesucht... hier könnte man g(x)=x-1 und g'(x)=1 setzen, wobei dann f(y) = 1/y ist.
Kontrolle: 1/sqrt(x-1) = 1/sqrt(x-1) * 1 Bingo!
[Die Schwierigkeit liegt i.d.R. dabei, das entsprechende g(x) mit passendem g'(x) zu finden.]
Man integriert dann das Substitut, also:
I: f(y) dy = I: y^-0,5 dy = 2 * y^+0,5
Beachte, dass sich die Grenzen des Integrals durch die Substitution geändert haben zu:
5-1= 4 und 10-1= 9
Zur Berechnung: man setze einfach die ursprünglichen Grenzen in g(x)=x-1 ein.
1/sqrt(x-1) = (x-1)^-0,5 das ist deutlich einfacher zu integrieren...
ansonsten geht man wie folgt vor:
f(g(x))*g'(x) wird gesucht... hier könnte man g(x)=x-1 und g'(x)=1 setzen, wobei dann f(y) = 1/y ist.
Kontrolle: 1/sqrt(x-1) = 1/sqrt(x-1) * 1 Bingo!
[Die Schwierigkeit liegt i.d.R. dabei, das entsprechende g(x) mit passendem g'(x) zu finden.]
Man integriert dann das Substitut, also:
I: f(y) dy = I: y^-0,5 dy = 2 * y^+0,5
Beachte, dass sich die Grenzen des Integrals durch die Substitution geändert haben zu:
5-1= 4 und 10-1= 9
Zur Berechnung: man setze einfach die ursprünglichen Grenzen in g(x)=x-1 ein.
Stell Dir einfach vor (😉) , dass Du durch die Substitution den Integranden von dem "Raum f(x)" in den "Raum u" transformierst. Deshalb musst Du auch die Integrationsgrenzen transformieren.
[tex]
\int_{x_1}^{x_2} f(x) ~ dx \qquad \longrightarrow \qquad \int_{u_1}^{u_2} u ~ du
[/tex]
Du substituierst nun also
u = x-1 (1)
du = dx (2)
und erhälst, indem Du "x-1" durch "u" und "dx" durch "du" ersetzt
[tex]
\int_{x_1}^{x_2} \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx \ = \int_{u_1}^{u_2} \frac{1}{\sqrt{u}} du
[/tex]
Die neuen Integralgrenzen erhälst Du, indem Du Dir die Transfomationsbeziehung (1) ansiehst. Es ist also
[tex]
u_1 = x_1 -1 = 10 - 1 = 9\\
u_2 = x_2 -1 = 5 -1 = 4
[/tex]
Somit ist:
[tex]
\int_{10}^{5} \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx = \int_9^4 \frac{1}{\sqrt{u}} du = \left[ 2 \sqrt u \right]_9^4 = -2
[/tex]
Hinweis: Die Gleichung (2) ist stets die totale Ableitung der Gleichung (1), also
[tex]du = \frac{\partial u}{\partial x} dx [/tex]wobei hier [tex]\frac{\partial u}{\partial x} = 1[/tex]ist.
Pedant! - Naja, aber nur halber Pedant! 😉
Das Integral liefert natürlich ein imaginäres Ergebnis:
[tex]
\int_{10}^5 \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx = -2 i
[/tex]
Hingegen führt das ursprüngliche Integral auf das gesuchte reelle Resultat:
[tex]
\int_{10}^5 \frac{1}{\sqrt{x-1}} dx = -2
[/tex]
Zugegeben: War mein Tippfehler... 😱
Ich hab da auch noch Probleme mit ner Aufgabe (Klausur 09/2005, Aufgabe 16), kapiere hier den diesen Schritt nicht:
Was sind da für Denkschritte dazwischen?
Was sind da für Denkschritte dazwischen?
Ich würde sagen, da ist gar kein Schritt dazwischen!
Das Integral kannst Du umschreiben zu
[tex]
\int_0^1 \frac{1}{2\sqrt z} dz = \int_0^1 \frac{1}{2 z^{\frac 1 2}} = \int_0^1 \frac 1 2 z^{-\frac 1 2} dz.
[/tex]
Und das kannst Du doch integrieren, oder?
Das Umschreiben meinte ich; ach Leute ihr seid echt ne Hilfe...
würde es auf [tex]$\sqrt{z}$[/tex] integrieren.
wenn ich am schluss resubstituiere kann ich ja die integrationsgrenzen so lassen, wie in der ursprünglichen angabe?
also [tex]\sqrt{1-(1)^{2}}-\sqrt{1-(0)^{2}}= -1[/tex]
würde es auf [tex]$\sqrt{z}$[/tex] integrieren.
wenn ich am schluss resubstituiere kann ich ja die integrationsgrenzen so lassen, wie in der ursprünglichen angabe?
also [tex]\sqrt{1-(1)^{2}}-\sqrt{1-(0)^{2}}= -1[/tex]
Sorry, aber wenn Du diese Aufgabe meinst,
[tex]
\int \frac{1}{2\sqrt z} dz
[/tex]
die ist nicht durch Substitution zu lösen. Vielmehr hatte ich bei der obigen Lösung einfache Wurzelgesetze angewendet. Da nichts substituiert wird, sind auch keine Integrationsgrenzen zu transformieren...
Guckst Du hier:
Wurzel (Mathematik) ? Wikipedia
also meinte schon die, aber die is ja ein Zwischenschritt aus ursprünglich
[tex]\int_{0}^{1}\frac{-x}{\sqrt{1-x^{2}}}[/tex] ; habe dies nur nicht direkt reingeschrieben, sondern nur auf Aufgabe 16, Sept. 2005 verwiesen.
Das TEX-Element in post#8, welches ich gepostet hab, is ein Zwischenschritt aus der Musterlösung, den ich anfangs ned verstanden hab.
Habe vom ursprünglichen dann [tex]\sqrt{1-x^{2}}[/tex] als "z" substituiert...dann weiter bis man eben zu [tex]\sqrt{z}[/tex] als Stammfunktion kommt. Dann wieder resubstituieren und dann kann man ja die "ursprünglichen" Integralgrenzen wieder einsetzen [tex] \left[\sqrt{1-x^{2}}\right]_{0}^{1}[/tex] und ausrechnen (post #10), oder?
Das Fragezeichen sollte eher eine Rückversicherung für die konkrete Aufgabe sein; deinen post habe ich nicht überlesen...
Rückversicherungen sind ja ganz schön, aber wie wäre es mit folgender, eher etwas pragmatischen Herangehensweise:
1. Hypothese aufstellen, daß durch Rücksubstituieren des Integranden die Integrationsgrenzen den ursprünglichen entsprechen
2. Ausprobieren von 1.
3. Vergleichen des Resultats aus 2. mit dem Ergebnis der Musterlösung
4. Erst, wenn 3. scheitert, hier posten.
Weißt Du, man sagt, daß andere Leute, die netterweise die hier gelegentlich Fragen beantworten, auch lernen müssen...
Mich hatte #11 n bißchen verunsichert, aber das war ja n Missverständnis. Ansonsten geb ich dir natürlich ganz recht; danke nochmal für die echt schnelle Hilfe!
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