Homogenitätsgrad....

Kann mir mal bitte jmd auf deutsch erklären wie man den homogenitätsgrad einer produktionsfunktion bestimmt????
vielen vielen dank im vorraus

Also ich habe das so verstanden:

du multiplizierst ja die Produktionsfaktoren (r1,r2) mit einem Wert (λ) um mehr Ausbringung zu bekommen. Also zum Beispiel: M=λ*r1+ λ*r2

Jetzt ergibt sich die neue Ausbringung aus der Ausbringung (der einfachen Produktionsfaktoren) multipliziert mit diesem Wert (λ) hoch irgendwas (t). Also für das Beispiel: M(λ)=λ^1*M

Und dieses t ist der Homogenitätsgrad. In der Abbildung kannst du dann ablesen wie sich die Funktion verhält wenn t bestimmte Werte annimmt. In dem Beispiel hat die Funktion einen Homogenitätsgrad von 1 und ist linearhomogen.

Ich hoffe ich konnte dir helfen, war doch schwerer zu erklären als gedacht.

und wie berechne ich diese art von aufgaben :

M=4r1^2 * r2

M=3r1 + 2r2

M=3r1^3+sr2^2

danke für antworten

ich hoffe ich kann dir helfen:

also

M=4r₁²*r₂
Nach r₂ umstellen:
r₂= M/(4*r₁²)
r₂= M/4*r₁⁻²

hm, umstellen? warum?
eigentlich ging es mir darum herauszufinden ob diese F. homogen sind und wenn ja in welche kategorie gehören sie.

da im neuen Mathekurs keine mehrdimensionalen Funktionen enthalten sind , versuch ich mal ohne die Fachbegriffe daraus auszukommen. Wenn eine Funktion homogen ist, dann kann man wie im post von Chris33 beschrieben insgesamt den Faktor L(ambda) ausklammern, in gewisser Potenz, wenn man jede Variable mit L multipliziert . Also bei M = 4r1² + r2 gibt das erstmal beim ersetzen von r1 durch Lr1 und von r2 durch Lr2 : Mneu = 4 (Lr1)² + (Lr2) =4L²*r1²+Lr2. Hier kann man kein L ausklammern, da das L im ersten Summanden als Quadrat und im zweiten Summanden nur als Linearfaktor vorkommt. Es muss alos, um L ausklammern zu können, das L in jedem Summanden in derselben Potenz vorkommen. In der zweiten Funktion M = 3r1 + 2r2 sieht man, dass das L dann in jedem Summanden als Linearfaktor, also als L^1, vorkommt und somit kann man L^1 ausklammern und der Homogenitätsgrad ist gleich 1.

Bei M = r1³ + 3r2³ sieht man (zur Not Lr einsetzen), dass man aus jedem Summanden L³ ausklammern kann und somit ist der Homogenitätsgrad gleich 3.

Aus Funktionen wie e^r1 + e^r2 kann man nie ein L ausklammern, die sind immer inhomogen. Ebenso sin und cos.

Ich kenne aber den Kurs hier nicht und weiß nicht, was da nun genau zur Homogenität steht...

Falls das noch nicht klarer geworden ist, nachfragen bitte!!

Etta

danke für die antwort. also bedeutet das das die f. M=4r1^2 * r2 nicht homogen ist?

und letztlic geht es nur darum, ob man L ausklammer kann? was ist denn dann mit werten kleiner als 1 aber größer als 0
soweit ich weis geht es doch darum, ob die homogentität linearhomogen, über-oder unter linear homogen ist.

zum verständnis : die frage dieser gleichungen lautet, sind die funktionen homogen und wenn ja in welche weise.
dazu zählen noch die folgenden f.

M=r1^1/2 * r2^1/3

M=r1^1/2 * r2^1/3

M=3r1^3 + 2rs^2

zunächst geht's mal darum ob eine funktion überhaupt homogen ist. Und das M = 4r1^2 *r2 ( ich glaub ich hab da + statt * gelsen!) ist homogen, weil man ja insgesamt L^3 ausklammern kann: 4(L*r1)^2 * L*r2 = L^3 * [4r1^2 * r2 ] = L^3 * M . Die Potenz von L gibt den homoenitätsgrad an, hier also 3. wobei 0 nicht vorkommen kann oder sinnlost ist, da ja L^0 = 1 ist. Und kleiner als 1 , also L^1/4 oder so, nennt man wohl unter linear homogen?? Wie gesagt, den Kurs hier hab ich nicht, nur 20 Jahre als Mathementorin verbracht.

Von Deinen Funktionen ist die erste homogen vom Grad (1/2 + 1/3) = 5/6 (dran denken, Potenzen werden beim Multiplizieren addiert), die zweite ist gleich der ersten funktion und die dritte ist nicht homogen, der erste Summand hat den Grad 3 und der zweite den grad 2, da kann man nicht zusammenbringen.

Etta