Homogenitätsgrad

bin ne alte Prüfung am lösen...habe aber irgendwie Verständnisprobleme beim Homogenitätsgrad...

wieso ist zum Beispiel die Prod. funktion X = f(r1,r2) = 6 r2 + 2 r1 r2 ... inhomogen, und
für x = f(r1,r2) = 4 r2 (hoch 3) + 5 r1 (hoch 2) r2...ist der Homogenitätsgrad 3??
sorry fürs umständliche Schreiben der Funktionen, hoffe man kann meine Frage trotzdem nachvollziehen 🙂
bin dankbar für jede Hilfe!!

Ich fang einmal mit Deiner zweiten Formel an, dann wird es klarer:

[TEX]f(r_1, r_2)=4 \cdot r_2^3 + 5 \cdot r_1^2 \cdot r_2 [/TEX]

jetzt ersetzt Du
jedes [TEX] r_1[/TEX] durch [TEX] \lambda \cdot r_1[/TEX]
und jedes [TEX] r_2 [/TEX] durch [TEX] \lambda \cdot r_2[/TEX].

Damit es ganz deutlich ist, was ersetzt wird, setzte ich Klammern. Also:
[TEX]f(r_1, r_2)=4 \cdot (\lambda \cdot r_2)^3 + 5 \cdot (\lambda \cdot r_1)^2 \cdot (\lambda \cdot r_2) [/TEX]

Jetzt kannst Du [TEX] \lambda^3[/TEX] "ausklammern":

[TEX]f(r_1, r_2)= \lambda^3 \cdot (4 \cdot r_2^3 + 5 \cdot r_1^2 \cdot r_2) [/TEX]

Wenn das möglich ist, Du also alle [TEX] \lambda[/TEX] ausklammern kannst, ist die Gleichung homogen[/COLOR]. Der Homogenitätsgrad ist der Exponent von [TEX] \lambda[/TEX], hier also 3. 🙂
Das könnte auch einmal ein Bruch sein, wie [TEX] \lambda^{\frac 3 2}[/TEX].


Jetzt Deine erste Gleichung:

[TEX] f(r_1,r_2) = 6 \cdot r_2 + 2 \cdot r_1 \cdot r_2 [/TEX]

[TEX]\lambda [/TEX] einsetzen:

[TEX] f(r_1,r_2) = 6 \cdot (\lambda \cdot r_2) + 2 \cdot (\lambda \cdot r_1) \cdot (\lambda \cdot r_2) [/TEX]

Wenn Du versuchst [TEX]\lambda [/TEX] auszuklammern, bleibt ein [TEX]\lambda [/TEX] im letzten Term zurück. Diese Gleichung ist also nicht homogen[/COLOR]:

[TEX] f(r_1,r_2) = \lambda \cdot (6 \cdot r_2 + 2 \cdot r_1 \cdot \lambda \cdot r_2) [/TEX]



Eigentlich easy, wenn man es einmal begriffen hat. 🙂

LG

awehring

PS: #?t=65723#post945202

wie läuft das denn mit der folgenden Funktion ?
[tex]f(r_1, r_2) = 2 \cdot sqrt {r_1^2 + r_2^2 + r_1 \cdot r_2} [/tex]
Ich glaub, ich hab die Potenzregeln vergessen. 😱

Danke und Gruß
Iris

irish39 schrieb:

Hey,

wie läuft das denn mit der folgenden Funktion ?
[tex]f(r_1, r_2) = 2 \cdot sqrt {r_1^2 + r_2^2 + r_1 \cdot r_2} [/tex]
Ich glaub, ich hab die Potenzregeln vergessen. 😱

Danke und Gruß
Iris

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[tex]f(\lambda r _1, \lambda r_2) = 2 \cdot sqrt {(\lambda \cdot r_1)^2 + (\lambda \cdot r_2)^2 + \lambda \cdot r_1 \cdot \lambda \cdot r_2} = 2 \cdot sqrt {\lambda^2 \cdot (r_1^2 + r_2^2 + r_1 \cdot r_2)} = \lambda \cdot 2 \cdot sqrt {r_1^2 + r_2^2 + r_1 \cdot r_2} [/tex]

Damit ist der Homogenitätsgrad 1

Denk daran, dass Du [tex] sqrt{x} [/tex] auch als [tex] x^{0.5} [/tex] schreiben kannst und dass gilt: [tex] (x^a)^b = x^{a \cdot b} [/tex] gilt und dass du [tex] sqrt{x \cdot y} [/tex] als [tex] sqrt{x} \cdot sqrt{y} [/tex] schreiben kannst. Dadurch kannst Du [tex] sqrt {\lambda^2 \cdot (r_1^2 + r_2^2 + r_1 \cdot r_2)} [/tex] als [tex] sqrt {\lambda^2} \cdot sqrt{ (r_1^2 + r_2^2 + r_1 \cdot r_2)} [/tex] schreiben.

Also das erste Beispiel von awehring verstehe ich. Hier kann ich Lambda einmal mit Lambda³ rausziehen und im hinteren Termin jeweils mit Lambda² und Lambda, was letztendlich Lambda³ ergibt. Damit ist der Homogenitätsgrad gleich 3.

Sehe ich das richtig, dass ich im zweiten Beispiel vorne Lambda hätte und hinten Lambda² und die Funktion deswegen inhomogen ist?

Arkad schrieb:

Also das erste Beispiel von awehring verstehe ich. Hier kann ich Lambda einmal mit Lambda³ rausziehen und im hinteren Termin jeweils mit Lambda² und Lambda, was letztendlich Lambda³ ergibt. Damit ist der Homogenitätsgrad gleich 3.

Sehe ich das richtig, dass ich im zweiten Beispiel vorne Lambda hätte und hinten Lambda² und die Funktion deswegen inhomogen ist?

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awehring schrieb:

Ich fang einmal mit Deiner zweiten Formel an, dann wird es klarer:

Jetzt Deine erste Gleichung:

[TEX] f(r_1,r_2) = 6 \cdot r_2 + 2 \cdot r_1 \cdot r_2 [/TEX]

[TEX]\lambda [/TEX] einsetzen:

[TEX] f(r_1,r_2) = 6 \cdot (\lambda \cdot r_2) + 2 \cdot (\lambda \cdot r_1) \cdot (\lambda \cdot r_2) [/TEX]

Wenn Du versuchst [TEX]\lambda [/TEX] auszuklammern, bleibt ein [TEX]\lambda [/TEX] im letzten Term zurück. Diese Gleichung ist also nicht homogen[/COLOR]:

[TEX] f(r_1,r_2) = \lambda \cdot (6 \cdot r_2 + 2 \cdot r_1 \cdot \lambda \cdot r_2) [/TEX]

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So ist es 🙂! Vorne [tex] \lambda [/tex] und hinten [tex] \lambda^2[/tex] und daher inhomogen

Gut, danke! Dann habe ich es verstanden