Homogenitätsgrad

Ich habe mir die erste Aufgabe der Klausur vom sep 09 vorgenommen und
kann mit der Aufgabe leider gar nichts anfangen. die suchfunktion ergab leider auch keinen lösungsweg. kann mir jemand das ausführlich erklären?

a) wann ist eine produktiosfunktion homogen vom grade t?
b) bestimmen sie den homogenitätsgrad der produktionsfunktion
M= r (1) hoch 1/4 * r (2) hoch 3/4
c) ist die obige produktionsfunktion linear-, überlinear-, oder unterlinearhomogen?

sorry, falls die Aufgabe schon irgendwo steht, dann bitte einfach darauf verweise.
danke!

Wenn Du mit der Aufgabe gar nichts anfangen kannst, musst Du wohl ein paar Seiten im Skript überlesen haben: KE 1 BWL, 68ff. (Herleitung des Homogenitätsbegriffs und exemplarische Berechnungen)

Lies doch mal die Seiten durch, dann kannst Du die betreffende Aufgabe mit Sicherheit selbst lösen!

Nein, ich habe nichts überlesen. ich verstehe die erklärung nicht.

Cordula,

Man stellt sich hier die Frage, wie sich die Ausbringungsmenge einer Produktionsfunktion verändert, wenn man alle Faktoreinsatzmengen um denselben Faktor erhöht (sog. "Totale Faktorvariation"). Angenommen, Du hast ein Teigrezept (Produktionsfunktion) und verdreifachst alle Zutatenmengen (Faktoreinsatzmengen). Erhöht sich dann auch die Teigmenge (Ausbringungsmenge) um das dreifache? Das ist eine Eigenschaft der Produktionsfunktion.

M = r1^1/4 * r2^3/4

Nun wird r1 und r2 um den Faktor Lambda (L) vervielfacht (ver-Lambda-facht), d.h. in die Produktionsfunktion wird (L * r1) anstatt r1 und (L * r2) anstatt r2 eingesetzt.

M(L)
= (L * r1)^1/4 * (L * r2)^3/4
= L^1/4 * r^1^1/4 * L^3/4 * r2^3/4
= L^(1/4 + 3/4) * r1^1/4 * r2^3/4
= L^1 * r1^1/4 * r2^3/4 .......................// r1^1/4 * r2^3/4 = M[/COLOR]
= L * M

Also es gilt: Eine ver-L-fachung aller Einsatzmengen führt zur ver-L-fachung der Ausbringungsmenge, d.h. M ist linear-homogen, d.h. homogen vom Grade 1

Allgemein gilt:

Wenn M eine Produktionsfunktion in den Faktoren r1 und r2 ist und bei ver-L-fachung der Mengen von r1 und r2 gilt für die Ausbringungsmenge M(L) = L^t * M, dann wird M als homogen vom Grade t bezeichnet.

Für t = 1 wird M als linear-homogen bezeichnet (d.h. die Vervielfachung der Ausbringungsmenge ist proportional zur Vervielfachung der Einsatzmengen).

Für t < 1 wird M als unterlinear-homogen bezeichnet (d.h. die Vervielfachung der Ausbringungsmenge ist unterproportional zur Vervielfachung der Einsatzmengen).

Für t > 1 wird M als überlinear-homogen bezeichnet (d.h. de Vervielfachung der Ausbringungsmenge ist überproportional zur Vervielfachung der Einsatzmengen).

Liebe Grüße

Super erklärung! ich bin ein riesiges stück weiter!
kannst du mir den blauen teil nochmal erklären, bitte?
dann verstehe ich hoffentlich auch, wie du auf
die letzte zeile kommst.

Die "Kunst" besteht darin M(L) so umzuformen, dass sich M wiederfindet und das ist mir gelungen.

In der zweitletzten Zeile, ist der Term so weit umgeformt, dass gilt: M(L) = L^1 * r1^1/4 * r2^3/4[/COLOR]

Nun ist r1^1/4 * r2^3/4 doch die ursprüngliche Produktionsfunktion, d.h. es gilt M(L)= L^1 * M.

So ist es gelungen M(L) auf M zurückzuführen und man erkennt den Zusammenhang zwischen M und M(L), eben die lineare Homogenität.

Liebe Grüße

Vielen, vielen dank! wirklich eine super erklärung!


die Aufgabe im KE 1, s. 69 lautet

M=c *r (1) hoch 1/2 * r (2) hoch 1/4

dann ergibt irgendwas c = 0,25

wie bekommt man das c raus und warum bracht man
in der klausuraufgabe kein c?

liebe grüße, cordula

Mir liegt die Aufgabe nicht vor, wie lautet sie? Aber diese Konstante c hat nichts mit "brauchen" zu tun, sondern ist Bestandteil der Produktionsfunktion. In M = r1^1/4 * r2^3/4 gibt es dieses c aber auch, hier ist c = 1.

Liebe Grüße

Die Aufgabe lautet wie oben geschrieben.

könntest du mir das so wie oben mit der Aufgabe vorrechnen?

Versuche es gerade mit der aufgabe: M=6 * r (1) hoch 1/3 * r (2) hoch 2/3

ich finde den einstieg nicht...?

M = 6 * r1^1/3 * r2^2/3

Einstieg in die Homogenitätsbetrachtung ist immer: Einsatzmengen (r1, r2) ver-L-fachen:

M(L)
= 6 * (L * r1)^1/3 * (L * r2)^2/3
= 6 * L^1/3 * r1^1/3 * L^2/3 * r2^2/3
= 6 * L^(1/3 + 2/3) * r1^1/3 * r2^2/3
= L^(1/3 + 2/3) * 6 * r1^1/3 * r2^2/3[/COLOR]
= L * M[/COLOR]

Also: M ist linear-homogen (vom Grade 1)

Liebe Grüße

Herzlichen dank! wenn ich das richtig sehe, dann "macht" man mit der ziffer 6 gar nichts?!

Betrachten wir Cobb-Douglas-Funktionen ganz allgemein: M = c * r1^a * r2^b

M(L)
= c * (L * r1)^a * (L * r2)^b
= c * L^a * r1^a * L^b * r2^b
= c * L^(a + b) * r1^a * r2^b
= L^(a + b) * c * r1^a * r2^b[/COLOR]
= L^(a + b) * M[/COLOR]

Man erkennt:

1) M ist stets homogen vom Grade (a + b)
2) Für a + b = 1 ist M linear-homogen
3) Für a + b < 1 ist M unterlinear-homogen
4) Für a + b > 1 ist M überlinear-homogen

Liebe Grüße

Bingo! herzlichen dank!

liebe grüße, cordula