Homogenitätsgrad einer Produktionsfunktion bestimmen

bin gerade ein wenig am Verzweifeln mit den Homogenitätsgraden von Prodktionsfunktionen. Ich weiß so ungefähr, was die Grade aussagen (linearhomogen, unterlinearhomogen und überlinearhomogen), aber ich verstehe nicht so ganz, wie man die Homogenität letztendlich bestimmt.

Habe mir das Klausurvorbereitungsbuch von Prof. Hering zugelegt. Hier gibt es Beispiele, aber die Erklärung dazu finde ich auch nicht so ganz verständlich 🙂.

M = 3r1 * 2 r2 --> homogen vom Grad 2
M = 3r1 + 2 r2 --> homogen vom Grad 1
M = r1^3 + r2^2 --> nicht homogen

Kann mir jemand erklären, wie diese Homogenitäten berechnet werden? Ich weiß, dass man irgendwie die Lambdas vorziehen und addieren muss. Aber den genauen Weg kenn ich nicht...
Vor allem sehe ich bis jetzt noch nicht, warum die dritte Funktion in meinen Beispielen im Gegensatz zu den anderen beiden Funktionen nicht homogen ist bzw. wie man das erkennen kann.

Viele Grüße
Thorsten

Thorsten,

du multiplizierst jeden Produktionsfaktor mit lambda. Dann versuchst du, das Lambda auszuklammern. Der Exponent von lambda ist dann der Homogenitätsgrad.

Ich mache das mal an den drei Beispielen die du angegeben hast 🙂.

[tex]M = 3r_1 * 2r_2 [/tex]
[tex]M = 3 \lambda r_1 * 2 \lambda r_2[/tex]
Und jetzt das lambda vorziehen bzw. ausklammern:
[tex]M = \lambda^2( 3 r_1 * 2 r_2)[/tex]

Der Homogenetätsgrad ist hier 2.

[tex]M = 3r1 + 2 r2[/tex]
[tex]M = 3 * \lambda * r1 + 2 * \lambda * r2[/tex]
[tex]M = \lambda (3 * r1 + 2* r2)[/tex]

Der Homogenetätsgrad ist hier 1.

[tex]M = r1^3 + r2^2 [/tex]
[tex]M = (\lambda * r1)^3 + (\lambda * r2)^2 [/tex]

Bei dieser Funktion kannst du das Lambda nicht komplett ausklammern - also ist die Funktion nicht homogen!

viele Grüße
schmetterling

vielen Danke, jetzt konnte ich es nachvollziehen! Ist ja gar nicht so schwierig 🙂

Noch eine Frage: Hast du die Bilder mit den Formeln hier manuell eingefügt oder gibt es im Forum hier so etwas wie einen eingebauten Formel-Editor?

Viele Grüße
Thorsten

Thorsten83 schrieb:

Hey, vielen Danke, jetzt konnte ich es nachvollziehen! Ist ja gar nicht so schwierig 🙂

Zum Vergrößern anklicken....

In der Tat! Man muss es nur einmal wo sehen und nachvollziehen. Der Homogenitätsgrad kommt später nochmal wieder, dann musst du ihn da nur noch wiederholen, wenn du ihn jetzt verstanden hast 😎 🙂.

Am einfachsten ist es, wenn du das lambda immer direkt an den Produktionsfaktor schreibst und die beiden einklammerst. Dann läufst du auch nicht Gefahr aus r² auf einmal lambda * r² zu machen sondern hast gleich (lambda * r)² 😉.

Thorsten83 schrieb:

Noch eine Frage: Hast du die Bilder mit den Formeln hier manuell eingefügt oder gibt es im Forum hier so etwas wie einen eingebauten Formel-Editor?

Zum Vergrößern anklicken....

Du kannst hier im Forum LaTeX-Befehle eingeben. Wie das geht kannst du hier nachlesen. Viel Spaß und Erfolg beim Üben 😀 😛.

liebe Grüße
schmetterling

Ist folgende Rechnung korrekt?:
(Meine Produktionsfaktoren heisst v und w)

M = v^3/2 * w^1/3
M = (µ*v)^3/2 * (µ*w)^1/3
M = µ^[3/2+1/3] * v^3/2 * w^1/3
M = µ^11/6 * ....

Lösung: Die Produktionsfunktion ist homogen vom Grade 11/6 und ist somit überlinearhomogen (da µ > 1). Kann man das so sagen?

starbuck schrieb:

Ist folgende Rechnung korrekt?:
(Meine Produktionsfaktoren heisst v und w)

M = v^3/2 * w^1/3
M = (µ*v)^3/2 * (µ*w)^1/3
M = µ^[3/2+1/3] * v^3/2 * w^1/3
M = µ^11/2 * ....

Lösung: Die Produktionsfunktion ist homogen vom Grade 11/2 und ist somit überlinearhomogen (da µ > 1). Kann man das so sagen?

Zum Vergrößern anklicken....

Die Herleitung stimmt, aber 11/2 stimmt nicht, denn es gilt:

3/2 + 1/3 = (3 * 3 + 1 * 2) / (3 * 2) = 11/6

M ist also überlinear homogen vom Grade 11/6

Wenn Du Dir Deine Herleitung anschaust, kannst Du erahnen, dass allgemein gilt:

M = c * v^a * w^b ist homogen vom Grade a+b, denn:

M(p)
= c * (p * v)^a * (p * w)^b
= c * p^a * v^a * p^b * w^b
= p^(a+b) * c * v^a * w^b
= p^(a+b) * M

M ist damit ...

- unterlinear homogen, falls a + b < 1

- linear homogen, falls a + b = 1

- überlinear homogen, falls a + b > 1

Liebe Grüße

Ahh, super. Danke.
Richtig, 11/6, nicht 11/2, falsch geschrieben, richtig gedacht.

Danke für die tolle erklärung, jetzt habe ich es auch verstanden. sehr gut erklärt, besser wie im buch

schmetterling schrieb:

Hallo Thorsten,

[...]
[tex]M = r1^3 + r2^2 [/tex]
[tex]M = (\lambda * r1)^3 + (\lambda * r2)^2 [/tex]

Bei dieser Funktion kannst du das Lambda nicht komplett ausklammern - also ist die Funktion nicht homogen!

viele Grüße
schmetterling

Zum Vergrößern anklicken....

Hmmm.. wollte das ja erst nicht glauben, aber hast natürlich Recht. Man kann dies auch mit der Eulerschen Homogenitätsrelation (siehe Mathe-Skript) überprüfen. Dazu bildet man den Gradienten von M, multipliziert diesen mit dem Vektor (r1; r2) und schaut sich dann mal das Ergebnis an:

[tex]\nabla M = (3*r1^3; 2*r2)[/tex]
[tex]\nabla M * (r1; r2) = 3*r1^4 + 2*r2^2[/tex]

Weil das Endergebnis kein Vielfaches der Funktion M = f(r1, r2) ist, also es keine Zahl [tex]\alpha[/tex] gibt, mit der die Funktion im Endeffekt nach Ausführung obiger Operation multipliziert wird, ist M hier nicht homogen!

Hier gilt NICHT:
[tex]\nabla M * (r1, r2) = \alpha * M[/tex]

Falls die Exponenten dieselben sind, nämlich a, ist M allerdings homogen vom Grade a:

M = r1^a + r2^a

M(p)
= (p * r1)^a + (p * r2)^a
= p^a * (r1^a + r2^a)
= p^a * M

Liebe Grüße

Grad M * (r1; r2) = (a*r1^(a-1) ; a*r2^(a-1)) * (r1; r2)
grad M * (r1; r2) = a*r1^a + a*r2^a = a * (r1^a + r2^a).

Auch damit geht's