Homogenität

ich habe mal eine Frage zur Homogenität aus dem Aufgaben- und Lösungsbuch von Hering/Toll, vielleicht kann man mir die mal erklären.

Gegeben ist die Produktionsfunktion: M = 3r1^3 + 2 r2^2

Normalerweise ist die Summe der Exponenten ja der Homogenitätsgrad. Wieso kann man in diesem Fall hier die Exponenten nicht zusammenrechnen?
(Ihr müsst wissen, ich habe noch kein Mathe belegt)

Hier mal die Lösung lt. Buch (ich schreibe für Lambda mal nur L)
M(L) = L * r1^3 + L * r2^2
= L^3 * r1^3 + L^2 * 2r2
(wieso hieraus jetzt 2r2 wird, verstehe ich hier jetzt auch nicht)
= L^2 * (L * r1 + 2r2)

Die Produktionsfunktion ist nichthomogen.

Im Gegensatz zu dieser, die wieder homogen ist:
M = 3r1 + 2r2
M(L) = (L * 3r1)^1 + (L * 2r2)^1
= L * 3r1 + L * 2r2
= L * (3r1 + 2r2)
= L^1 * M
= linearhomogen

Lieben Dank.

Gruß Melanie

embi schrieb:

Gegeben ist die Produktionsfunktion: M = 3r1^3 + 2 r2^2

Normalerweise ist die Summe der Exponenten ja der Homogenitätsgrad.

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Hallo Melanie,

Nein, das ist falsch, das gilt nur für einige Produktionsfunktionen, z.B. solche der Form r1^a * r2^b mit a, b > 0 (Cobb-Douglas-Funktion). Verzichte lieber auf Begriffe wie "Normalerweise", die stiften nur Verwirrung. Halte Dich an die Definiton der Homogenität und reflektiere eine gegebene Produktionsfunktion gegen diese Definition, dann kommst Du zu validen Aussagen.

Definition: Eine Produktionsfunktion heißt homogen vom Grade n genau dann, wenn die Vervielfachung aller Einsatzfaktoren um den Faktor L > 0, zu einer Vervielfachung der Ausbringungsmenge um den Faktor L^n führt.

Um eine Aussage zur Homogenität zu machen, musst Du also alle Einsatzfaktoren um den Faktor L > 0 vergrößern und berechnen, wie sich die Ausbringungsmenge ändert.

1. Beispiel:

M = 3 * r1^3 + 2 * r2^2

M(L)
= 3 * (L * r1)^3 + 2 * (L * r2)^2 ...// alle Einsatzfaktoren ver-L-fachen
= 3 * L^3 * r1^3 + 2 * L^2 * r2^2 ...// L^2 ausklammern
= L^2 * (L * 3 * r1^3 + 2 * r2^2) ...// M = 3 * r1^3 + 2 * r2^2


Man erkennt: M vergrößert sich, aber nicht um einen Faktor L^n (eine Umformung von M(L) zu L^n * M gelingt nicht).


Also: M ist nicht homogen

2. Beipiel:

M = 3 * r1 + 2 * r2

M(L)
= 3 * (L * r1) + 2 * (L * r2) ...// alle Einsatzfaktoren ver-L-fachen
= L * (3 * r1 + 2 * r2) ...// L ausklammern
= L * M
= L^1 * M

Also: M ist homogen vom Grade n = 1 (linearhomogen)


Übe mal: Sind folgende Funktionen homogen? Wenn ja, von welchem Grade?

M1 = (r1^3 * r2^3) / (r1^3 + r2^3)

M2 = [(1/(r1^2)) + (1/(r2^2))]^-1/2

Liebe Grüße

embi schrieb:

Hier mal die Lösung lt. Buch (ich schreibe für Lambda mal nur L)
M(L) = L * r1^3 + L * r2^2
= L^3 * r1^3 + L^2 * 2r2
(wieso hieraus jetzt 2r2 wird, verstehe ich hier jetzt auch nicht)

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Musst Du auch nicht, denn das ist falsch, richtig ist:

M(L) = 3 * L^3 * r1^3 + 2 * L^2 * r2^2

Siehe auch meine Herleitung im früheren Beitrag.

Liebe Grüße

OMG - ist es normal, dass ich erstmal die Potenzgesetze nachschlagen musste 😱 ich glaube, das war zuviel Input in den letzten Wochen 😉
und bei der Homogenitätsbestimmung sind diese ja super gefragt...

vielen lieben Dank, eine Sache verstehe ich aber noch nicht bei dem 1. Beispiel.

1. Beispiel:

M = 3 * r1^3 + 2 * r2^2

M(L)
= 3 * (L * r1)^3 + 2 * (L * r2)^2 ...// alle Einsatzfaktoren ver-L-fachen
= 3 * L^3 * r1^3 + 2 * L^2 * r2^2 ...// L^2 ausklammern
= L^2 * (L * 3 * r1^3 + 2 * r2^2) ...// M = 3 * r1^3 + 2 * r2^2


Wieso klammert man in der letzten Zeile L^2 und nicht L^3 aus? Und wo bleibt
das L^3 in der letzten Zeile?

Gruß Melanie

Und jetzt zu den Übungsaufgaben..

M1 = (r1^3 * r2^3) / (r1^3 + r2^3)
M(L) = (L * r1^3 * L * r2^3) / (L*r1^3 + L * r2^3)
So jetzt kommt das ausklammern...
Vielleicht so?
L * (r1^3*r2^3) / L * (r1^3+r2^3)
... ???


M2 = [(1/(r1^2)) + (1/(r2^2))]^-1/2
M(L) = ((1/(L * r1^2)) + (1/(L * r2^2)))^-1/2
...???

oh man bin ich schlecht, weiter weiß ich nicht... *grummel*

Hiiilllllfeeeee.....

embi schrieb:

Hi Chrissi,
vielen lieben Dank, eine Sache verstehe ich aber noch nicht bei dem 1. Beispiel.

1. Beispiel:

M = 3 * r1^3 + 2 * r2^2

M(L)
= 3 * (L * r1)^3 + 2 * (L * r2)^2 ...// alle Einsatzfaktoren ver-L-fachen
= 3 * L^3 * r1^3 + 2 * L^2 * r2^2 ...// L^2 ausklammern
= L^2 * (L *3 * r1^3 + 2 * r2^2) ...// M = 3 * r1^3 + 2 * r2^2


Wieso klammert man in der letzten Zeile L^2 und nicht L^3 aus? Und wo bleibt
das L^3 in der letzten Zeile?

Gruß Melanie

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Wenn du L^3 ausklammern würdest, hättest du dann halt im ersten Summanden kein L und im zweiten Summanden L^-1 stehen.

Einfach nur Mathematik

embi schrieb:

= 3 * L^3 * r1^3 + 2 * L^2 * r2^2 ...// L^2 ausklammern
= L^2 * (L *3 * r1^3 + 2 * r2^2) ...// M = 3 * r1^3 + 2 * r2^2

Wieso klammert man in der letzten Zeile L^2 und nicht L^3 aus?

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Du kannst auch L^3 ausklammern. Zweck der Umformung ist lediglich "sichtbar zu machen", dass M(L) nicht L^n * M ist.

embi schrieb:

Und wo bleibt
das L^3 in der letzten Zeile?

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Wenn Du L^2 * (L * 3 * r1^3 + 2 * r2^2) ausmultiplizierst, dann hast Du das L^3 im ersten Summanden wieder.

Liebe Grüße

embi schrieb:

Und jetzt zu den Übungsaufgaben..

M1 = (r1^3 * r2^3) / (r1^3 + r2^3)
M(L) = (L * r1^3 * L * r2^3) / (L*r1^3 + L * r2^3)
So jetzt kommt das ausklammern...
Vielleicht so?
L * (r1^3*r2^3) / L * (r1^3+r2^3)
... ???

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Beachte: Auf L "wirken" die Exponenten ebenso:

M = (r1^3 * r2^3) / (r1^3 + r2^3)

M(L)
= ((L*r1)^3 * (L*r2)^3) / ((L*r1)^3 + (L*r2)^3) ...// Faktormengen ver-L-fachen
= (L^3 * r1^3 * L^3 * r2^3) / ((L^3 * r^3) + (L^3 * r2^3))
= (L^6 * r1^3 * r2^3) / (L^3 * (r1^3 + r2^3))
= (L^6/L^3) * (r1^3 * r2^3) / (r1^3 + r2^3)
= L^(6-3) * M
= L^3 * M

Also: M ist homogen vom Grade 3

Liebe Grüße

embi schrieb:

M2 = [(1/(r1^2)) + (1/(r2^2))]^-1/2
M(L) = ((1/(L * r1^2)) + (1/(L * r2^2)))^-1/2
...???

oh man bin ich schlecht, weiter weiß ich nicht... *grummel*

Hiiilllllfeeeee.....

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M = [(1/(r1^2)) + (1/(r2^2))]^-1/2

M(L)
= [(1/((L*r1)^2)) + (1/((L*r2)^2))]^-1/2 ...// Faktrormengen ver-L-fachen
= [((L*r2)^2 + (L*r1)^2) / ((L*r1)^2) * (L*r2)^2)]^-1/2 ... // Gleicher Nenner
= [(L^2 * (r2^2 + r1^2)) / (L^4 * (r1^2 * r2^2)]^-1/2 ...// L ausklammern
= (L^2/L^4)^-1/2 * [(r2^2 + r1^2) / (r1^2 * r2^2)]^-1/2 ...// L zusammenziehen
= L^((2-4)*-1/2) * [(r2^2 + r1^2) / (r1^2 * r2^2)]^-1/2 ...// L zusammenrechnen
= L^1 * [(1/(r1^2)) + (1/(r2^2))]^-1/2 ...// wieder unterschiedliche Nenner
= L * M

Also: M ist homogen vom Grade 1

Liebe Grüße

Das geht doch auch ein bisschen einfacher, wenn man mit negativen Exponenten rechnet.

M = [(1/(r1^2)) + (1/(r2^2))]^-1/2
M = ( r1^-2 + r2^-2 )^-1/2 // umgeformt
M = ( L^-2 * (r1^-2 + r2^-2) )^-1/2 // L herausgelöst
M = L * ( r1^-2 + r2^-2 )^-1/2 // Exponenten multipliziert (-2*-1/2=1)

M ist linearhomogen! (=Homogenität 1. Grades)

Grüße
Thomas