• Guten Start ins Wintersemester 2024/2025

Homogenität berechnen BWL Kurs 40500

C

Cordula87

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Kann mir bitte jemand kurz auf die Sprünge helfen:
Es geht um Seite 69 ( ff. ) Kurs 40500 BWL -

berechnet man die Homogenität mit der Copp - Douglas - Produktionsfunktion oder mit der Niveauproduktionsfunktion?

Kann das nicht eindeutig zuordnen...
Wäre für Hilfe im Schritt für Schritt Verfahren für nicht-Mathematiker sehr dankbar 😉

Liebe Grüße
 
Cordula,

Die Cobb-Douglas-Funktion ist nur ein (wenn auch ein wichtiges) Beispiel für eine substitutionale Produktionsfunktion. Jede Produktionsfunktion ist entweder homogen oder eben nicht. Um zu ermitteln, ob eine Produktionsfunktion M homogen ist oder nicht, wird die Niveauproduktionsfunktion M(lambda) aus der Produktionsfunktion M hergeleitet.

Beispiel:

Allgemeinste Form einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion:

M = c * r1^a * r2^b mit 0 < a,b < 1

Niveauproduktionsfunktion M(lambda) zu M bilden:

M(lambda)
= c * (lambda * r1)^a * (lambda * r2)^b
= c * lambda^a * r1^a * lambda^b * r2^b
= c * lambda^(a+b) * r1^a * r2^b
= lambda^(a+b) * M

Also:
1. Eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist homogen
2. Eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist homogen vom Grade a+b

Beispiel von KE 1 Seite 69:

Cobb-Douglas-Produktionsfunktion M = c * r1^0,5 * r2^0,25

Mit der obigen Herleitung ist jetzt schon klar: M ist homogen vom Grade 0,5 + 0,25 = 0,75 < 1, sie ist also unterlinearhomogen.

"Zu Fuß" nochmal berechnet:

M = c * r1^0,5 * r2^0,25

Niveauproduktionsfunktion M(lambda) zu M bilden:

M(lambda)
= c * (lambda * r1)^0,5 * (lambda * r2)^0,25
= c * lambda^0,5 * r1^0,5 * lambda^0,25 * r2^0,25
= c * lambda^(0,5+0,25) * r1^0,5 * r2^0,25
= lambda^(0,75) * M

Also: M ist homogen vom Grade 0,75

Liebe Grüße
 
Ein Beispiel für eine homogene Produktionsfunktion M, die nicht "vom Typ" Cobb-Douglas ist:

M = r1 + r2

Niveauproduktionsfunktion M(lambda) zu M bilden:

M(lambda)
= (lambda * r1) + (lambda * r2)
= lambda * (r1 + r2)
= lambda * M

Also: M ist homogen und zwar vom Grade 1 (linearhomogen)

Jetzt ein Beispiel für eine nicht homogene Produktionsfunktion M:

M = 1 + r1 + r2

Niveauproduktionsfunktion M(lambda) zu M bilden:

M(lambda)
= 1 + (lambda * r1) + (lambda * r2)
= 1 + lambda * (r1 + r2)
= 1 + lambda * (M - 1)
= 1 - lambda + lambda * M

Also: M ist nicht homogen, weil die ver-lambda-fachung der Einsatzfaktormengen r1 und r2 nicht zu einer lambda^x-fachung der Ausbringungsmenge führt, sondern zu einer "lamba^1-fachung - lambda + 1"

Liebe Grüße
 
Noch eine homogene Produktionsfunktion vom Grade 0:

M = (r1 + r2) / r1

M(lambda)
= ((lambda * r1) + (lambda * r2)) / (lambda * r1)
= lambda * (r1 + r2) / (lambda * r1)
= (r1 + r2) / r1
= M
= 1 * M
= lambda^0 * M

Also: M ist homogen vom Grade 0, d.h. eine Vervielfachung aller Inputmengen um den gleichen Faktor verändert nicht die Ausbringungsmenge.

Liebe Grüße
 
Hätte hier nochmal eine Frage:

Wenn M = 3r1 + 2r2
dann ist das mit Lambda ja: =3(lambda*r1) + 2(lambda*r2)
Kann ich da das Lambda auch ausklammern? Also: = lambda(3r1+2r2) oder geht das nicht wenn noch ein Multiplikator vor den Produktionsfaktoren steht?
Die Funktion ist aus der Klausur März 2009, Aufgabe 1.
Danke schon mal
 
Cronkalonca schrieb:
Hätte hier nochmal eine Frage:

Wenn M = 3r1 + 2r2
dann ist das mit Lambda ja: =3(lambda*r1) + 2(lambda*r2)
Kann ich da das Lambda auch ausklammern? Also: = lambda(3r1+2r2) oder geht das nicht wenn noch ein Multiplikator vor den Produktionsfaktoren steht?
Die Funktion ist aus der Klausur März 2009, Aufgabe 1.
Danke schon mal
Zum Vergrößern anklicken....
Selbstverständlich kannst du hier λ ausklammern:

3(λ*r1) + 2(λ*r2)

ist dasselbe wie

λ(3*r1) + λ(2*r2) (Assoziativgesetz!)

Das ergibt dann:

λ(3*r1 + 2*r2)

= λ * M (das M mit dem Strich drüber, also die Einheitsausbringung) 😉

wobei man zur besseren Verdeutlichung (fürs t, also den λ-Exponenten) auch schreiben kann:

= λ^1 * M

Damit ist die Funktion homogen vom Grade 1.

Aufpassen musst du allerdings beispielsweise, wenn r1 und r2 unterschiedlich hohe Potenzen haben!
 
Danke ChrissiLLB für die ausführliche Erklärung. Auch wenn ich ein bißchen spät dran bin, hoffe ich, dass mir jemand weiterhelfen kann.

Ich habe aus dem "BWL Klausuren" Buch eine Aufgabe, die ich nicht ganz verstehe. Dabei geht es vor allem um den Lösungsweg.

Bei der Funktion: M=r1³ + r2² steht am Ende das Ergebnis: M= λ² + (λ*r1 + 2*r2)

Kann das jemand erklären?
 
Deine erste Gleichung ist nicht homogen und sie steht in keinem Zusammenhang mit der zweiten Gleichung. Vielleicht könntest Du die Seite im Buch angeben, damit ich dort mal nachsehen kann, was dort genau steht.
 
Der Lösungsweg steht auf Seite 34, jedoch kann es sein, dass ich eine alte Ausgabe habe, da ich das Buch gebrauch gekauft habe..

Wenn ich versuchen würde die Gleichung aufzulösen würde ich am Ende auf folgendes kommen, oder? :

M = r1³ + r2² = λ² * ( λ * r1 + r2²) => und daher nicht homogen..

Heißt im Umkehrschluss eine "Plus-Gleichung" ist nur dann homogen, wenn die Potenzen von r1 und r2 gleich sind?
 
M = r1³ + r2² = λ² * ( λ * r1³ + r2²)

Im Ergebnis hast Du die Potenz 3 bei r1 vergessen.

Ich würde es anders formulieren: Du musst Lamda vollständig ausklammern können, ohne dass ein Lamda in im Termin übrig bleibt, damit letztlich gilt: λ² * M
 
ChrissiLLB schrieb:
Hallo Cordula,

Die Cobb-Douglas-Funktion ist nur ein (wenn auch ein wichtiges) Beispiel für eine substitutionale Produktionsfunktion. Jede Produktionsfunktion ist entweder homogen oder eben nicht. Um zu ermitteln, ob eine Produktionsfunktion M homogen ist oder nicht, wird die Niveauproduktionsfunktion M(lambda) aus der Produktionsfunktion M hergeleitet.

Beispiel:

Allgemeinste Form einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion:

M = c * r1^a * r2^b mit 0 < a,b < 1

Niveauproduktionsfunktion M(lambda) zu M bilden:

M(lambda)
= c * (lambda * r1)^a * (lambda * r2)^b
= c * lambda^a * r1^a * lambda^b * r2^b
= c * lambda^(a+b) * r1^a * r2^b
= lambda^(a+b) * M

Also:
1. Eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist homogen
2. Eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist homogen vom Grade a+b

Beispiel von KE 1 Seite 69:

Cobb-Douglas-Produktionsfunktion M = c * r1^0,5 * r2^0,25

Mit der obigen Herleitung ist jetzt schon klar: M ist homogen vom Grade 0,5 + 0,25 = 0,75 < 1, sie ist also unterlinearhomogen.

"Zu Fuß" nochmal berechnet:

M = c * r1^0,5 * r2^0,25

Niveauproduktionsfunktion M(lambda) zu M bilden:

M(lambda)
= c * (lambda * r1)^0,5 * (lambda * r2)^0,25
= c * lambda^0,5 * r1^0,5 * lambda^0,25 * r2^0,25
= c * lambda^(0,5+0,25) * r1^0,5 * r2^0,25
= lambda^(0,75) * M

Also: M ist homogen vom Grade 0,75

Liebe Grüße
Chrissi
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Hallo, ich würde gerne hierdrauf nochmals eingehen, da ich es mir noch schwer tue, das Ganze zu verstehen.
Wenn ich mir das Ganze anschaue, fallen mir folgende Fragen ein:
1. Was ist überhaupt c? Was sagt es aus?

2. Woran erkennt man das?
1. Eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist homogen
2. Eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist homogen vom Grade a+b
Zum Vergrößern anklicken....

3. Vieleicht die wichtigste Frage: Was bedeutet homogen?
Buch S 70 schrieb:
Eine Produktionsfunktion ist homogen vom Grate t, wenn bei einer Änderung des Prozessniveaus für lamba > 0 die Ausbringung das lamba^t-fache der Einheitsbringung M beträgt
Zum Vergrößern anklicken....
Das bedeutet für mich: lamda wurde erhöht auf 2, t = 0,75
Wenn die Ausbringunsmenge, die bei lambda 1 auch 1 ist, sich um 2^0,75 erhöht, dann ist die Produktionsfunktion homogen. Ist es korrekt?
 
c ist eine Konstante Chrissi hat hier die allgemeine Form einer CD aufgeschrieben.
Du kannst aber zum Beispiel auch sowas nehmen
[tex]f(r_1,r_2)= 5r_1^{\frac{1}{2}}r_2^{\frac{1}{4}}[/tex]

Deine Niveauproduktionsfunktion ist dann
[tex]5(\lambda r_1)^{\frac{1}{2}}(\lambda r_2)^{\frac{1}{4}}[/tex]
[tex]\Rightarrow 5 \lambda ^{\frac{1}{2}} r_1^{\frac{1}{2}} \lambda^{\frac{1}{4}} r_2^{\frac{1}{4}}[/tex]
Lambdas multiplizieren
[tex]\Rightarrow \lambda ^{\frac{3}{4}} 5 r_1^{\frac{1}{2}} r_2^{\frac{1}{4}}[/tex]

Dann ist dein Homogenitätsgrad 3/4 und deine Produktionsfunktion ist degressiv steigend.
Jetzt siehst du hättest du von Anfang a+b berechnet mit a=1/2 und b=1/4 kommst du auch auf 3/4 als Homogenität.
Das gilt aber nur bei CD.

Hättest du jetzt die Produktionsfunktion [tex]f(r_1,r_2)=5r_1+r_2^2[/tex]
ist deine Niveauproduktionsfunktion
[tex]5\lambda r_1+\lambda^2 r_2^2[/tex]
Jetzt kannst du ein lambda ausklammern (Achtung hier steht + nicht [tex]\cdot[/tex], hier kannst du nicht die Exponenten addieren, an die Rechenregeln denken). Dann hättest du aber
[tex]\lambda (5r_1+\lambda r_2^2[/tex]
Wie du siehst bleibt hier noch ein lambda stehen, während wir bei unserer CD-Funktion das lambda komplett ausklammern können und die alte Funktion behalten. Somit ist diese Funktion inhomogen.
 
vielen Dank für die super schnelle Antwort. Bedeutet das, mathematisch gesehen, dass eine Funktion homogen ist, wenn ich lambda komplett ausklammern kann und ich in den klammern wieder M habe?
 
Gukie schrieb:
Hey,

vielen Dank für die super schnelle Antwort. Bedeutet das, mathematisch gesehen, dass eine Funktion homogen ist, wenn ich lambda komplett ausklammern kann und ich in den klammern wieder M habe?
Zum Vergrößern anklicken....
Eine beliebte Aufgabe in den Klausuren lautet: "Wann ist eine Produktionsfunktion homogen vom Grade t?"
Musterantwort: Ein [tex]\lambda[/tex]-facher Einsatz aller Produktionsfaktoren führt zu einer [tex]\lambda^t[/tex] -fachen Ausbringungsmenge.
Oder: [tex]M(\lambda) = f(\lambda r_1, \lambda r_2, ... , \lambda r_H) = \lambda^t*f(r_1, r_2, ..., r_H) = \lambda^t * M[/tex] (entspricht deiner Aussage)

Eine Funktion ist nicht homogen, wenn man [tex]\lambda[/tex] nicht vernünftig ausklammern kann. Grob gesagt pasiert das immer dann, wenn man eine Addition mit unterschiedlichen Exponenten bei den Summanden vorfindet.

Es gibt drei Arten der Homogenität (siehe Chrissis Beispiele oben, nur eben etwas komprimiert):
- Linearhomogen (t = 1): Verdoppelt man alle Produktionsfaktoren, so verdoppelt sich auch die Ausbringungsmenge.
- Unterlinearhomogen (t < 1): Eine Verdoppelung aller Produktionsfaktoren führt zu weniger als einer Verdoppelung der Ausbringungsmenge.
- Überlinearhomogen (t > 1): Eine Verdoppelung aller Produktionsfaktoren führt zu mehr als einer Verdoppelung der Ausbringungsmenge.
 
Dr Franke Ghostwriter
kann mir vielleicht einer vermitteln, wie ich jeweils auf die Potenzen von r1, r2 komme?? Gerne an Hand der Aufgabe aus KE1 Seite 70. Ich freue mich auf eure Antworten 🙂 Ich beschäftige mich jetzt schon seit mehreren Stunden damit und habe glaube ich ein Brett vor dem Kopf.
Danke!!
 

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