Hilfe bei einer Ableitung

E

embi

• 1 November 2011

• #1

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In der Klausur Aufgabe 4 aus 09/10 ist die Frage nach der Grenzproduktivität des Kapitaleinsatzes gefragt.

Die Produktionsfunktion lautet:

[tex]Y=N\cdot k^{1-a} [/tex]

[tex]k=\frac{K}{N}[/tex]

Somit: [tex]Y=N\cdot (\frac{K}{N}) ^{1-a}[/tex]

Die Ableitung wäre doch dann:

[tex](1-a)\cdot N\cdot (\frac{K}{N})^{-a}[/tex]

bzw. [tex](1-a)\cdot N\cdot (k)^{-a} [/tex]

Oder nicht?

Als Lösung ist angegeben:

[tex](1-a)\cdot (\frac{1}{k})^{a} [/tex]

Ich habe irgendwo ein N zuviel..

Dankeschön.

Gruß Embi

 

sonnenscheiner

• 20 November 2011

• #3

Zum Denkfehler beim Ableiten schrieb Klomi ja schon Etwas.
Was bei deinem Ergebnis Embi ohnehin nicht funktionieren kann, ist, dass du

embi schrieb:

[tex](1-a)\cdot N\cdot (\frac{K}{N})^{-a}[/tex] (1.)

bzw. [tex](1-a)\cdot N\cdot (k)^{-a} [/tex] (2.)

Zum Vergrößern anklicken....

beim Übergang von 1. nach 2. einfach nach Belieben über dem Bruchstrich das N kürzt, unter dem Bruchstrich jedoch nicht. Wenn schon kürzen, dann jeweils eine Variable/einen Wert gegen einen der dasselbe oder ein Vielfaches vom Wert ist.

 

E

embi

• 3 Dezember 2011

• #4

Kann mir jemand noch einmal hier helfen?

[tex] a\cdot \pi^{2}+b\cdot (U^n-c\cdot \pi)^2 [/tex]

Nach pi muss abgeleitet werden.

Dankeschön.

 

ChrissiLLB

• 3 Dezember 2011

• #5

embi schrieb:

Kann mir jemand noch einmal hier helfen?

[tex] a\cdot \pi^{2}+b\cdot (U^n-c\cdot \pi)^2 [/tex]

Nach pi muss abgeleitet werden.

Dankeschön.

Zum Vergrößern anklicken....

d(a * pi^2 + b * (U^n - c * pi)^2) / dpi

= 2 * a * pi + 2 * b * (U^n - c * pi) * -c ...// Kettenregel für b * (U^n - c * pi)^2 anwenden

= 2 * a * pi - 2 * b * c * (U^n - c * pi)

Alternative ohne Kettenregel:

Vor dem Ableiten b * (U^n - c * pi)^2 ausmultiplizieren (Zweite Binomische Formel):

b * (U^n - c * pi)^2)
= b * (U^(2*n) - 2 * U^n * c * pi + c^2 * pi^2)
= b* U^(2*n) - 2 * U^n * b * c * pi + b * c^2 * pi^2

Jetzt ableiten:

d(a * pi^2 + b * (U^n - c * pi)^2) / dpi
= d(a * pi^2 + b* U^(2*n) - 2 * U^n * b * c * pi + b * c^2 * pi^2) / dpi
= 2 * a * pi + 0 - 2 * U^n * b * c + 2 * b * c^2 * pi
= 2 * a * pi - 2 * b * c * (U^n - c * pi)

Liebe Grüße

 

E

embi

• 3 Dezember 2011

• #6

Oh, wahnsinn, dankeschön, Chrissi. Hab an die Kettenregel überhaupt nicht gedacht und habs mit dem Ausklammern irgendwie nicht geschafft. Ist ja aber eigentlich einfach, wenn man es einmal gesehen hat.

 

E

embi

• 31 Dezember 2011

• #7

Ich habe wieder eine Frage, diesmal zum total differenzieren.
Ich habe Y = Y(N, K)
K ist exogen

Ich hätte nun:
dY = dY (N,K) + Y*dN
abgeleitet.

Richtig scheint aber zu sein:
dY = YN*dN

Wieso wird hier nicht die Kettenregel angewandt?

Dankeschön.

 

ChrissiLLB

• 31 Dezember 2011

• #8

Warum Kettenregel und wenn Kettenregel, warum dann + (Bei der Kettenregel wird mit * verknüpft)?

Auf der rechten Seite steht eine Funktion Y in der Variablen N, also: YN * dN

Liebe Grüße

 

E

embi

• 31 Dezember 2011

• #9

Jetzt schmeiß ich grad glaube ich alles zusammen... dankeschön

 

E

embi

• 31 Dezember 2011

• #10

mmh.. nochmal ich, aber wenn doch da steht Y = Y*(N,K), dann kann ich doch hier die Kettenregel anwenden oder nicht?

Sorry, ich musste noch nie total differenzieren. Ist für mich Neuland.

 

Bibo

• 31 Dezember 2011

• #11

embi schrieb:

aber wenn doch da steht Y = Y*(N,K)

Zum Vergrößern anklicken....

Da steht aber Y = Y(N,K). Das heißt doch nichts anderes, als dass die Produktionsfunktion Y von den beiden (unabhängigen) Variablen N und K abhängig ist.
Wo holst du denn das Malzeichen her?

 

E

embi

• 31 Dezember 2011

• #12

mmh, keine Ahnung.. Werd mir das nochmal genauer anschauen, dankeschön..

 

ChrissiLLB

• 31 Dezember 2011

• #13

Ja, Y ist eine Produktionsfunktion (in Makro das Volkseinkommen). Arbeit N und Kapital K sind die Variablen.

Beispiel:

Y(N, K) = N^1/2 * K^1/4

K sei konstant angenommen, d.h. dK = 0

Y = Y(N,K)

Total differenzieren (dK = 0 angenommen):

dY = YN * dN = 1/2 * N^-1/2 * K^1/4 * dN

dY/dN = 1/2 * N^-1/2 * K^1/4

Liebe Grüße

 

profiler8085

• 2 Januar 2012

• #14

Angenommen dK ungleich 0,

dann müsste doch hoffentlich Y=Y(N,K) total differenziert dY=Yn*dN+Yk*dK=
1/2 * N^-1/2 * K^1/4+ N^1/2*1/4*K^-3/4 sein.

 

ChrissiLLB

• 2 Januar 2012

• #15

profiler8085 schrieb:

Angenommen dK ungleich 0,

dann müsste doch hoffentlich Y=Y(N,K) total differenziert dY=Yn*dN+Yk*dK=
1/2 * N^-1/2 * K^1/4+ N^1/2*1/4*K^-3/4 sein.

Zum Vergrößern anklicken....

Genau!

Liebe Grüße