Hilfe bei der Frage nach Lösbarkeit von Gleichungssystem?

Beziehe mich auf Aufgabe ii) aus 7.4.1 KE 3, S. 186 und dazugehörige Lösung S.301

Offenbar gilt Rg(A|b) = Rg (A) = 2 ≠ 3

bedeutet doch, dass ich mit b 3 linear unabhängige Zeilen/Spalten habe und der Vektor A alleine nur 2, richtig (Grad 2, bzw. Grad 3)

0001
0110
101-1

Ich kann hier nur die ersten beiden spalten als solche erkennen.
durch b (das wäre ja doch dann die 4-zeile, oder versteh ich das falsch)
1 0 -1, entsteht doch kein 3er der l.a. ist.

Wer kann mir damit helfen, damit ich es grundsätzlich verstehe.

sascha

nachtrag:
zählt evtl. die summe der l.a. spalten u. zeilen,
also spalte 1 & 2 + zeile 1 die sich mit b ergibt?

So durch umformen erhälst du also
[tex]\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0& 1 & -1 \end{pmatrix}[/tex]
Wir haben hier ein inhomogenes Gleichungssystem nach Satz 7.4.1 ist es genau das lösbar wenn gilt Rg(A)=Rg(A|b)

Die Matrix A (nicht Vektor) hat den Rg(2)
[tex]\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 &1 \end{pmatrix}[/tex]
wie du siehst haben wir hier eine 0 Zeile (vgl S 181), also hat die Matrix den Rang 2, die 3. Spalte lösst sich durch die ersten beiden darstellen.

Kommen wir zu Ax=b, da der Zeilenrang gleich dem Spaltenrang ist (siehe Satz 7.2.1) ist es also egal welchen wir betrachten.
[tex]\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0& 1 & -1 \end{pmatrix}[/tex]
Spaltenrang: Die erste und die zweite Spalte ergeben die dritte Spalte, somit kann man die 3. Spalte durch eine Linearkombination aus anderen Spalten darstellen. Also bleiben nur 3 linear unabhängig Vektoren übrig. Also ist der Spaltenrang auch 3.
Zeilenrang: Sieht man das es 3, sind alle 3 unabhängig.

ich häng immer noch
ich sehe die 3 nicht die übrig bleiben
wenn ich die 3 spalte wegdenke bleibt doch
001
010
10-1

ich seh nur zwei einheitsvektoren, spalte 1&2 oder zeile 1&2
wo ist den der dritte?

Noch ein paar Beispiele

Die Einheitsmatrix hat immer vollen Rang:
[tex]\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
hat also den Rang 2

[tex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
den Rang 3 und so weiter


[tex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}[/tex]
Die ersten beiden Vektoren sind linear unabhängig. Der dritte Vektor lässt sich aus den ersten beiden darstelln Vektor1+2*Vektor2=Vektor3
Die maximale Anzahl der linear unabhängig Spalten ist also 2, der Rang der Matrix ist 2.

So nun kann man aber nicht immer auf Anhieb sehen welche Zeilen und Spalten sich kombinieren lassen, wewegen man versucht eine Einheitsmatrix zu formen, an der man dann erkennt um welchen Rang es sich handelt.

Im übrigen ist
[tex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}[/tex]
keine Einheitsmatrix, aber eine Diagonalmatrix, der Rang ist auch 3, denn alle 3 Zeilen/Spalten sind paarweise linear unabhängig.

Oh fast zeitgleich gepostet, dein dritter ist
1
0
-1
er ist ja linear unabhängig von den anderen.

Die Einheitsmatrix erhälst du, wenn du jetzt noch wenn du die 3 Zeile + 1 Zeile = 3Zeile rechnest.

Du musst nicht zwangläufig die Einheitsmatrix aussrechnen, der Rang sagt ja nur was über die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in deiner Matrix.

Die Einheitsmatrix erhälst du, wenn du jetzt noch wenn du die 3 Zeile - 1 Zeile = 3Zeile rechnest.

Du musst nicht zwangläufig die Einheitsmatrix aussrechnen, der Rang sagt ja nur was über die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in deiner Matrix.

Zum Vergrößern anklicken....

Jetzt kann ich den dritten einheitsvektor sehen, dieser letzte schritt ist in der Lösung nicht abgebildet. als anfänger entdeckt man sowas nicht gleich. blöd gemacht. der rest war mir klar, aber danke für die ausführliche antwort.

Abschließende Rückfrage:
Wenn ich dich richtig verstanden habe, gibt nicht nur die Einheitsmatrix Auskunft über l.a. sonder auch die Tatsache das man einen Vektor nicht durch eine LK der anderen Vektoren bilden kann, richtig? Die Einheitsmatrix bzw. der Nullvektor zeigt auf einen Blick ganz klar l.u bzw l.a an.

lg
sascha

sonder auch die Tatsache das man einen Vektor nicht durch eine LK der anderen Vektoren bilden kann, richtig?

Zum Vergrößern anklicken....

richtig, steht im Skript auch auf Seite 180, rg(A)= Spaltenrang=Zeilenrang =Max l.u. Spalten =Max l.u Zeilen

Einheitsmatrix, klar ist ja genau die Gleiche Begründung, alle Vektoren sind paarweise linear unabhängig.

Der Nullvektor fällt immer raus, gleiche Begründung, er ist immer linear abhängig von den anderen.

danke,
passt.
lg
sascha