Hilfe bei den Präferenzordnungen

kann mir bitte mal jemand erklären, woher ich weiß, dass eine gegebene Nutzenfunktion zu den angegebenen Präferenzen passt? Also Beispiel:

Präf.ordnung: Güterbündel (X1A, X2A) und (X1B, X2B)... (X1A, X1B) wird dann bevorzugt,, wenn gilt: X1A<X1B

Nun die Nutzenfunktionen: U(X1, X2)= -X1

und U(X1, X2) =1/X1

ich verstehe nicht, wie man hier darauf kommt, ob die Nutzenfunktionen mit den Präferenzen übereinstimmen...X1A soll kleiner sein als X1B, damit Güterbündel 1 bevorzugt wird, jetzt kann ich in die Nutzenfunktion Werte einsetzen, aber ich weiß ja nicht, ob sich X1 auf X1A oder X1B bezieht...

Stehe hier irgendwie auf dem Schlauch, wäre nett, wenn mir jemand erklären könnte, wie ich hier rangehe...mein Bauch sagt mir zwar meistens das Richtige, aber ich möchte nicht raten müssen in der Klausur!!!

Danke und Lg,
hirbel

hirbel schrieb:

aber ich weiß ja nicht, ob sich X1 auf X1A oder X1B bezieht...

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Hallo Hirbel,

klar weisst Du das, denn die Nutzenfunktion bildet die Mengen eines Güterbündels nachvollziehbar auf eine Zahl ab. Beispiel:

U(X1, X2) = -X1

Ein Güterbündel A = (X1, X2) geht in die Funktion ein, z.B. A = (5, 11) und U berechnet den dazugehörigen Nutzenwert: U(A) = U(5, 11) = -5

Anderes Beispiel: U(X1, X2) = 2 * X1^3 + 5 * X2^2 + X1 - 3 * X2 + 4

Eine Nutzenfunktion ist (zunächst nur) eine Funktion mit 2 oder mehr Variablen (Gütermengen), genauso wie eine Produktionsfunktion, nur dass eine Nutzenfunktion den Nutzenwert der Mengen eines Güterbündels und eine Produktionsfunktion die Produktionsmenge einer Faktoreinsatzmengenkombination berechnet.

U bildet eine Präferenzordnung ab, wenn für zwei beliebigs Güterbündel A, B gilt:

A bevorzugt vor B genau dann, wenn U(A) > U(B)

A und B sind indifferent genau dann, wenn U(A) = U(B)

Liebe Grüße

also das mit dem Einsetzen habe ich verstanden, aber was mir nicht in den Kopf will ist der Vergleich mit der Präferenzordnung. Nun bekomme ich in Deinem Beispiel -5 für X1 raus...und nun ist die Präferenzordnung Güterbündel A ist besser B wenn X1A< X1B (jeweils der Wert X1 der Güterbündel A und B), aber ich habe doch keinen Wert für X1 bei B, woher weiß ich dann, dass das stimmt...sorry, aber bin irgendwie zu blöd dazu...würde jetzt die selben Zahlen einsetzen bei Güterbündel B, aber dann käme ich für X1 auch auf -5 und dann wäre ich ja indifferent...ist es das was Du meinst mit U bildet Präferenzordnung ab, wenn U(A)=U(B)...aber die eindeutige Präferenzordnung sagt hier ja eigentlich, dass Bündel A dem Bündel B vorgezogen wird, wenn Bündel A ein kleineres X1 aufweist als Bündel B...nun passt die Nutzenfunktion dann auch, wenn bei beiden -5 rauskommt, weil ich dann indifferent bin, oder??? Wo ist mein Denkfehler??

Danke für Deine Hilfe!!

LG,
hirbel

D.h. in U kommt nur X1 vor weil die Präferenz nur davon abhängt? Aber warum dann -X1? Ich kann mich hirbel nur anschließen, ich steh auf dem Schlauch.

Irgendwas passt nicht
(X1A, X1B) ist doch kein Güterbündel

Sollte das heissen Güterbündel A wird bevorzugt, wenn X1A < X1B
Falls ja, dann würde die erste Nutzenfunktion passen
Es muss ja gelten für jedes X1A,X1B unter der Bedingung X1A<X1B soll U(A)>U(B)
letzteres ist äquivalent mit -X1A > -X1B
Wenn ich das mit -1 multipliziere ergibt sich
X1A < X1B und das soll genau dann gelten wenn X1A<X1B ist. Das ist dann ziemlich offensichtlich

Analog kann man das für die zweite Nutzenfunktion analysieren
Es muss ja gelten für jedes X1A,X1B unter der Bedingung X1A<X1B soll U(A)>U(B)
letzteres ist äquivalent mit 1/X1A > 1/X1B
Beide Seiten jeweils mit X1A und X1B multiplizieren ergibt
X1B > X1A was auch wieder genau passen würde

Alles ohne Gewähr, ich habe mit diesem Kurs gerade erst angefangen

hirbel schrieb:

also das mit dem Einsetzen habe ich verstanden, aber was mir nicht in den Kopf will ist der Vergleich mit der Präferenzordnung. Nun bekomme ich in Deinem Beispiel -5 für X1

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Du musst genauer sein: das Güterbündel (5, 11) hat bzgl. der obigen Nutzenfunktion U den Nutzenwert -5, weil U(5, 11) = -5 ist. Das Güterbündel (7, 3) hat bzgl. der obigen Nutzenfunktion den Nutzenwert -7, weil U(7, 3) = -7 ist, u.sw. u.s.w.

Nun ist U(5, 11) = -5 > -7 = U(7, 3), d.h. bzgl. der von U abgebildeten Präferenzordnung wird (5, 11) gegenüber (7, 3) bevorzugt. In der gegebenen Präferenzordnung wird ebenfalls (5, 11) gegenüber (7, 3) bevorzugt (klar?).

Also ist möglicherweise die von U abgebildete Präferenzordnung genau die gegebene. Dafür muss aber für jedes Güterbündel A = (X1A, X2A) und B = (X1B, X2B) diese Eigenschaft erfüllt sein, dass nämlich A bzgl. der gegebenen Präferenzordnung gegenüber B bevorzugt wird genau dann, wenn U(A) > U(B) ist. Und das ist auch der Fall, denn:

Wenn A gegenüber B bevorzugt wird, dann gilt X1A < X1B, so ist die Präferenzordnung ja definiert.

Dann gilt auch -X1A > -X1B (klar?)

und damit U(X1A, X2A) = -X1A > -X1B = U(X1B, X2B), also

U(X1A, X2A) > U(X1B, X2B) also

U(A) > U(B)

Also: U bildet die gegebene Präferenzordnung ab!

Die Nutzenfunktion ordnet die Güterbündel in einer Zahlenreihe (Nutzenwerte) an, so wie die Perlen einer Perlenkette. Güterbündel mit einer größeren Zahl (Nutzenwert) werden gegenüber den Güterbündeln mit einer kleineren Zahl (Nutzenwert) bevorzugt.

Liebe Grüße

Dann gilt auch -X1A > -X1B (klar?)

...noch nicht ganz...ich drehe hier die Präferenzen wegen den Ungleichheitszeichen?? Wenn ja, dann habe ich alles verstanden. Falls nicht, dann verstehe ich nicht, warum aus X1A soll kleiner X1B sein (wenn A besser B sein soll) genau der umgekehrte Sachverhalt wird...sorry, dass ich so umständlich bin...

Liebe Grüsse,
hirbel

hirbel schrieb:

Dann gilt auch -X1A > -X1B (klar?)

...noch nicht ganz...l

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Es ist 5 < 7, also ist auch -5 > -7, was ist daran unklar?

Allgemein: Wenn X1A < X1B ist, dann auch -X1A > -X1B

Beachte: X1A und X1B sind die Gütermengen von Gut 1, also natürliche Zahlen. > ist hier die Größer-Relation auf den natürlichen Zahlen.

Du musst strikt auseinanderhalten ...

1... > oder auch < als Präferenzordnung auf Güterbündeln, z.B. (5, 11) > (7, 3)

2.... > oder auch < auf Zahlen, z.B. 3 > 2

Liebe Grüße

Jetzt hats endlich klick gemacht, ich hab es verstanden, zumindest in dieser Aufgabe, schaue jetzt mal, wie ich mit ähnlichen Aufgaben klar komme...Tausend Dank für die ausführliche Erklärung!!!

Liebe Grüße

vielen Dank für deine Erklärung, die Unterscheidung zwischen 1. und 2. das wars!

Gruß
iolaire