Hesse-Matrix

Hesse-Matrix

Hallo,

die Aufgabe bringt mich schon seit Wochen zum grübeln,hoffe jmd kann weiterhelfen🙂

Habe eine Frage zu einer Aufgabe,die auch in einer EA gewesen ist,in der man bestimmen soll,ob die Fkt konvex,konkav,negativ definit etc sein soll.
Es geht um die Funktion f(x,y)=-e^(x+y) +xy-y^2-x^2
Als erstes muss man ja partiell ableiten,dh also es würde f(x)=-ye^(x+y)+y-2x herauskommen für x und für f(y)=-xe^(x+y)+x-2y,oder?
Dann noch nach xx,yy,xy,yx.So,das dann in eine Hesse-Matrix und dann?
Da kommen doch gar keine konkreten Zahlen raus?

Wäre froh,wenn mir das jmd erklären könnte.
Die Frage wurde schonmal in einem Forum für Ea gestellt,mehrmals.Ist jedoch nie beantwortet worden.

Vielen Dank schon einmal!

Also die Ableitungen lauten:
fx(x,y) = - ehoch (x+y) + y - 2x ( da additiv verknüpft)
fy(x,y) = - ehoch (x+y) + x - 2y
fxx(xy) = - ehoch (x+y) - 2
fxx(xy) = - ehoch (x+y) - 2
fxy(xy) = - ehoch (x+y) + 1
fyx(xy) = - ehoch (x+y) + 1

Stimmt.Dankeschön!Und was mache ich dann?Dann setze ich fxx,fxy und fyy,fyx in die Hesse-Matrix ein.Wie sehe ich denn dann ob es konvex ist,oder neg.definit?Wie kann ich konkrete Werte bestimmen?Liebe Grüße

Die dazugehörige Hessematrix sieht nun folgendermaßen aus:

(-ehoch(x+y) - 2 -ehoch(x+y) + 1)
(-ehoch(x+y) +1 -ehoch(x+y) - 2)

Nun bestimmen wir als erstes die Determinante der ganzen Hessematrix:
ehoch(2x+2y) + 2ehoch(x+y) + 2ehoch(x+y) + 4
- (ehoch(2x+2y) - ehoch(x+y) - ehoch(x+y) + 1)
= 6ehoch(x+y) + 3 > 0 für alle x-und y-Werte

Der andere Hauptminor ist :
a11= -ehoch(x+y) - 2
Dieser Hauptminor ist jedoch für alle x- und y-Werte negativ.
Dauraus folgt dass die Hauptminoren ein alternierendes Vorzeichen aufweisen und die H-Matrix negativ definit ist. Nun könnte die Matrix auch noch negativ semidefinit sein(Bestimme ich im Anschluss). Nun zum Kriterium des Krümmungsverhaltens einer Funktion:
Die H-Matrix ist negativ definit -> streng konkaver Verlauf v. f(x,y).
Nun zur negativen Semidefinitheit:
Eine H-Matrix in der Form (a b )
(c d)
ist genau dann negativ semidefinit, wenn gilt:

1. a<0 .
Dies ist offenbar erfüllt, denn
-ehoch(x+y) - 2 < 0

2.ad >(oder= ) cb
Dies ist offenbar erfüllt, denn
ehoch(2x+2y) + 2ehoch(x+y) + 2ehoch(x+y) + 4
> (ehoch(2x+2y) - ehoch(x+y) - ehoch(x+y) + 1)

Die H-Matrix ist somit auch negativ semidefinit und hat einen konkaven Verlauf.
Bitte berichtigt mich, falls irgendetwas nicht stimmen sollte. 🙂
Ich bitte um Feedback zu meiner Lösung.

Herr_Kaisyain schrieb:

Also die Ableitungen lauten:
fx(x,y) = - ehoch (x+y) + y - 2x ( da additiv verknüpft)
fy(x,y) = - ehoch (x+y) + x - 2y
fxx(xy) = - ehoch (x+y) - 2
fxx(xy) = - ehoch (x+y) - 2
fxy(xy) = - ehoch (x+y) + 1
fyx(xy) = - ehoch (x+y) + 1

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Stehe grad absolut auf'm Schlauch. Die ersten beiden Ableitung fx(x,y) und fy(x,y) leuchten mir noch ein, es wird jeweils nach x bzw. y abgeleitet und die andere Variable als Konstante betrachtet. Aber wie sind die anderen vier Ableitungen zu interpretieren. Nach was wird da abgeleitet?? Mit der Erklärung im Skript kann ich überhaupt nichts anfangen. Auch Google hat nicht geholfen...

Gruß
Susi-MX3

Alles klar besten Dank!

Da es hier ja um die Hesse-Matrix geht, glaube ich ist die Frage hier gut aufgehoben 🙂 in der Klausur s2001 wurde folgende Aufgabe gestellt:
Bestimmen Sie x und geben Sie das Ergebnis in Dezimaldarstellung an:

das Ergebnis soll folgendes sein, ich komme nur nicht drauf wie man mit der Formel umgeht?! nur soviel, wenn ich die Länge eines R^2 Vektors berechnen will nehm ich doch Pythagoras oder? Länge=Wurzel(a1^2*a2^2) das wären hier ja Wruzel(2^2*Wurzel(12)^2) schlechte Schreibweise so, gibts hier denn kein Tex?
und aT*b ist doch auch nur noch a1*b1 und a2*b2 ... naja hier die Lösung:

Vielen Dank schonmal für die Hilfe!!

in der Klausur s2001 wurde folgende Aufgabe gestellt:
Bestimmen Sie x und geben Sie das Ergebnis in Dezimaldarstellung an:

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Was hat die Aufgabe denn mit der Hesse-Matrix zu tun?

Ist Hessische-Normalform und Hesse-Matrix nicht irgendwie abhängig/ähnlich/identisch/zirka exakt das fast Gleiche?

Masterkrueger schrieb:

Ist Hessische-Normalform und Hesse-Matrix nicht irgendwie abhängig/ähnlich/identisch/zirka exakt das fast Gleiche? 😉

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Nein, Herr Hesse hat auf verschiedenen Gebieten der Mathematik gewildert.

Ok 🙂 dann hab ich das hier zwar im falschen Bereich, könnte vielleicht trotzdem jemand erklären WIE das oben gerechnet wurde? 🙂 Vielen Dank 🙂)

Im Nenner multipliziert man die beiden Vektoren miteinander und im Zähler werden die Längen der Vektoren miteinander multipliziert:

2*4 + Wurzel12 *0 / Wurzel (2²+ Wurzel12²) * Wurzel (4²+0²)
= 8/16 = 0,5

Vielen Dank, ich weiss echt nicht wo da mein Denkfehler war

Kiomi schrieb:

Die anderen vier Ableitungen sind die zweiten Ableitungen der Funktion f. Dabei werden die ersten Ableitungen fx und fy nochmal nach den beiden Variablen abgeleitet.
fxx ist die Ableitung von fx nach x
fxy ist die Ableitung von fx nach y
fyy ist die Ableitung von fy nach y
fyx ist die Ableitung von fy nach x

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Super Hinweise, vielen Dank!
Gruß-
Robert