Haushalt und Nutzenmaximierung unter Budgetrestriktion

kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen, ich stehe hier auf dem Schlauch:

Die Nutzenfunktion eines Haushalts laute:
[tex]U = X1^{0.8} * X2^{0.4} [/tex]Seine Budgetrestriktion werde gegeben durch 10 = 5*X1 + 10*X2. In welchem Verhältnis fragt er die Güter X1 und X2 nach, wenn er seinen Nutzen maximieren möchte?

Danke & Viele Grüße
Thorsten

1:4 :-/ ????

Kannst du mir auch den Rechenweg beschreiben?

U = X1^0,8 * X2^0,4

10 = 5 * X1 + 10 * X2

Im Nutzenmaximum verhalten sich die Grenznuten der Güter wie deren Preise (2. Gossen'sches Gesetz), also gilt im Nutzenmaximum:

(dU/dX1) / (dU/dX2) = P1 / P2

0,8 * X1^-0,2 * X2^0,4 / (0,4 * X1^0,8 * X2^-0,6) = 5 / 10

(0,8/0,4) * X2/X1 = 1/2

2 * X2/X1 = 1/2

X2 = 1/4 * X1

X1 und X2 werden also im Verhältnis 4 : 1 nachgefragt, nämlich:

10 = 5 * X1 + 10 * X2 = 5 * X1 + 10 * 1/4 * X1 = 30/4 * X1

Also:

X1 = 4 * 10 / 30 = 4/3

X2 = 1/4 * X1 = 1/4 * 4/3 = 1/3

Liebe Grüße

Alternativer Lösungweg:

Setze die Budgetrestriktion in U ein und minimiere U

10 = 5 * X1 + 10 * X2

X1 = (10 - 10 * X2) / 5 = 2 - 2 * X2

X1 = 2 - 2 * X2[/COLOR] in U eingesetzt:

U = X1[/COLOR]^0,8 * X2^0,4 = (2 - 2 * X2)[/COLOR]^0,8 * X2^0,4

dU/dX2
= 0,8 * (2 - 2 * X2)^-0,2 * -2 * X2^0,4 + (2 - 2 * X2)^0,8 * 0,4 * X2^-0,6 ..// Ketten-/Produktregel
= -1,6 * (2 - 2 * X2)^-0,2 * X2^0,4 + 0,4 * (2 - 2 * X2)^0,8 * X2^-0,6
= - 0,4 * (2 - 2 * X2)^-0,2 * X2^0,4 * (-4 + (2 - 2 * X2) * X2^-1)
= - 0,4 * (2 - 2 * X2)^-0,2 * X2^0,4 * (-4 + 2 * X2^-1 - 2)
= - 0,4 * (2 - 2 * X2)^-0,2 * X2^0,4 * (-6 + 2 * X2^-1)
= 0

falls

(-6 + 2 * X2^-1) = 0

X2^-1 = 6 / 2

X2 = 2 / 6 = 1/3

Siehe oben[/COLOR]: X1 = 2 - 2 * X2[/COLOR] = 2 - 2 * 1/3 = 4/3

Auch auf diesen Weg ergibt sich also: X1 = 4/3 und X2 = 1/3

Liebe Grüße

ChrissiLLB schrieb:

Alternativer Lösungweg:

Setze die Budgetrestriktion in U ein und MAXIMIERE U

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ich habe das minimiere in ein MAXIMIERE geändert. Ich denke, das war gemeint!?

LG luvan

luvan schrieb:

ich habe das minimiere in ein MAXIMIERE geändert. Ich denke, das war gemeint!?

LG luvan

Zum Vergrößern anklicken....

Stimmt, Danke!

Liebe Grüße

ich bin neu im Forum und habe gleich ein Anliegen. Folgende Aufgabenstellung liegt mir vor:

Gegeben sei die nachfolgende Nutzenfunktion U(x,y), das Haushaltseinkommen
I und die Preise zweier Konsumgüter P1 und P2. Berechnen Sie das
nutzenmaximale Güterbündel, und überprüfen Sie, ob im Optimum die GRS
dem negativen Preisverhältnis (Steigung der Budgetgeraden) entspricht?

U(x; y) = 2x + 6y + 2xy + 3; I=70; P1=2; P2=4

Die Lösungen sind mir bekannt; leider nicht der gesamte Lösungsweg. Kann mir hier jemand auf die Sprünge helfen?

Vielen Dank im Voraus.

T.Maack schrieb:

Hallo zusammen,

ich bin neu im Forum und habe gleich ein Anliegen. Folgende Aufgabenstellung liegt mir vor:

Gegeben sei die nachfolgende Nutzenfunktion U(x,y), das Haushaltseinkommen
I und die Preise zweier Konsumgüter P1 und P2. Berechnen Sie das
nutzenmaximale Güterbündel, und überprüfen Sie, ob im Optimum die GRS
dem negativen Preisverhältnis (Steigung der Budgetgeraden) entspricht?

U(x; y) = 2x + 6y + 2xy + 3; I=70; P1=2; P2=4

Die Lösungen sind mir bekannt; leider nicht der gesamte Lösungsweg. Kann mir hier jemand auf die Sprünge helfen?

Vielen Dank im Voraus.

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Hi T.Maack,

hast du noch immer Interesse am Lösungsweg? Hier ist er:

Im Optimum gilt:
dU/dx / dU/dy = p1/p2
Einsetzen führt zu:
(2 + 2y) / (6 + 2x) = 1/2
<=> 4 + 4y = 6 + 2x
<=> x = 2y - 1
Dieses Ergebnis einsetzen in die Budgetgerade 70 = 2x + 4y ergibt:
70 = 2*(2y-1) + 4y
<=> y = 9
Dieses Ergebnis einsetzen in obiges Zwischenergebnis x = 2y - 1:
=> x = 17

Damit ist das nutzenmaximale Güterbündel (x, y) = (17, 9).
Der zweite Teil der Augabe lautet in eine Formel übertragen:
dy/dx = -p1/p2.
da dy/dx = - dU/dx / dU/dy ist hast du schon das Ergebnis. Denn oben steht dU/dx / dU/dy = p1/p2. Damit ist
dy/dx = - dU/dx / dU/dy = -p1/p2.