GRS/partielle Ableitung

also ich habe allgemein extreme Probleme mit der Kurseinheit 1, der Einführung VWL, also wer allgemein da gute Buchtipps oder Anleitungen hat, gerne her damit 🙂

Ich habe eine Frage zu einer Übungsaufgabe der GRS.
Man soll die GRS für die Nutzenfunktion U=(x1-10)(x2-5) berechnen. Ich muss eigentlich ja nur die partielle Ableitung nach x1 und x2 berechnen und das in die Formel: GRS=-dx2/dx1 einsetzen oder?
Jetzt ist das Mathemodul schon etwas her bei mir und ich bin mir nicht mehr sicher, wie ich die partielle Ableitung in Verbindung mit der Kettenregel anwende. Ich habe es deshalb über einen anderen Weg versucht und habe die Klammern einfach aufgelöst und komme auf:
U= x1x2 -10x2 -5x1+50. Bei der partiellen Ableitung habe ich dann raus:
dx1= x2 -5
dx2 = x1 - 10

leider ist die Lösung lauf Übungsaufgabe aber genau umgedreht, also
dx1 = x1 - 10
dx2 = x2 - 5

Kann mir hier mal einer auf die Sprünge helfen?

Übungsaufgabe ist übrigens 3-7b

Danke und Gruß

Ich habe übrigens genau wie Du gerechnet, weil ich auch nicht so fit bin 🙂
Irgendwie komme ich da auf ein anderes Ergebnis, also dx1= x1-5 und dx2=x2-10.
Vielleicht erbarmt sich noch jemand und erklärt es uns 🙂
LG Lisa

danke erstmal für die schnelle Antwort. Genau das habe ich ja auch raus bekommen. Laut Lösung ist das ja leider falsch und entspricht der Ableitung nach x2 und nicht nach x1.

Ich habe mittlerweile soviel rumgerechnet und wieder auf ein anderes Ergebnis gekommen, jetzt lasse ich es bis morgen.
Irgendwie merke ich, daß nach einem ganzen Tag lernen meine Sicherungen im Gehirn kurz vorm Durchbrennen sind

Danke für deine Antwort. Ich verstehe es leider aber immer noch nicht. Ich habe keine Ahnung was ich jetzt machen muss, wenn mir eine Nutzenfunktion gestellt wird. Was muss ich mit dieser Nutzenfunktion U=(x1-10(x2-5) machen, was für Ableitungen muss ich bilden und was muss ich jetzt durch was teilen?

Mein Verständnis (bitte korrigieren) bis jetzt:

U nach x2 umstellen und ableiten / U nach x1 umstellen und ableiten

Beim Umstellen von U nach x2 erhalte ich aber doch:
x2 = (x1-10)/U + 5 Was ist davon die Ableitung???

U = (x1 - 10) * (x2 - 5)

Die Grenzrate der Substiution GRS(2,1) von Gut 2 durch Gut 1 ist die Ableitungsfunktion dx2/dx1 der Indifferenzkurve, die für einen beliebigen festen Nutzen U jeder x1-Menge die x2-Menge zuordnet, die für den Nutzen U notwendig ist. Es gibt zwei Möglichkeiten, die GRS zu berechnen:

1. Möglichkeit: "Totales Differential = 0"

Es gilt: dx2/dx1 = -(dU/dx1) / (dU/dx2)

Grund: Bei jeder "Wanderung" auf der Indifferenzkurve ändert sich der Nutzen nicht, weil alle Mengenkombinationen der Indifferenzkurve denselben Nutzen ergeben (Definition von Indifferenzkurve), deshalb ist das totale Differential (Änderung von U bei marginaler Änderung von x1 und x2) gleich 0, also:

dU = (dU/dx1) * dx1 + (dU/dx2) * dx2 = 0

dx2/dx1 = -(dU/dx1) / (dU/dx2) (ich nenne das die "totales Differential = 0"-Eigenschaft einer Indifferenzkurve)

Also:

GRS(2,1)
= dx2/dx1
= -(dU/dx1) / (dU/dx2) ...// "totales Differential = 0"-Eigenschaft einer Indifferenzkurve
= -(x2 - 5) / (x1 - 10)
= (5 - x2) / (x1 - 10)

2. Möglichkeit: "Ableitung der Isoquante"

Zunächst die Isoquante durch Umstellung der Nutzenfunktion nach x2 bilden:

U = (x1 - 10) * (x2 - 5) = x1 * x2 - 5 * x1 - 10 * x2 +50 = x2 * (x1 - 10) - 5 * x1 + 50

Isoquante: x2 = (U + 5 * x1 - 50) / (x1 - 10)

Jetzt die Isoquante x2 nach x1 ableiten, d.h. dx2/dx1 (direkt) bilden:

GRS(2,1)
= dx2/dx1
= [(5 * (x1 - 10) - (U + 5 * x1 - 50) * 1] / (x1 - 10)^2 ...// Quotientenregel
= (5 * x1 - 50 - U - 5 * x1 + 50) / (x1 - 10)^2
= -U / (x1 - 10)^2
= -(x1 - 10) * (x2 - 5) / (x1 - 10)^2 ...// U = (x1 - 10) * (x2 - 5) einsetzen
= -(x2 - 5) / (x1 - 10)
= (5 - x2) / (x1 - 10)

Man erkennt: Beide Möglichkeiten ergeben GRS(2,1) = dx2/dx1 = (5 - x2) / (x1 - 10)

Liebe Grüße
Chrissi

P.S.: Beachte

1. dx2/dx1 ist nicht der Quotient von dx1 und dx2. Vielmehr ist dx2/dx1 lediglich eine Schreibweise (also ein Symbol) und bedeutet die Ableitung von x2 (als Funktion) nach der Variablen x1.

2. In EWiWi ist die GRS die Steigung der Indifferenzkuve, also GRS(2, 1) = dx2/dx1 (= die Ableitung der x2-Indifferenzfunktion nach x1). Manchmal stiftet das Skript dadurch Verwirrung, dass es -dx2/dx1 als GRS und damit ein anderes Vorzeichen der GRS annimmt. In anderen Modulen, z.B. Theorie der Marktwirtschaft wird die GRS tatsächlich als -dx2/dx1 definiert, in EWiWi aber nicht.

Mir tut das total leid, aber ich schein echt zu doof dafür zu sein, ich hab noch nichtmal gerafft was dU, dx1 und dx2 sind und wie was für Ableitungen man dafür bilden muss.

Kann man nicht einfach sagen mach das und das mti dem Term und setzt es darein ein? Was muss ich umstellen, was nach was ableiten?

Vielen Dank auf jedenfall für die Bemühungen!!!

Ich finde es tierisch schlimm, dass diese Unterlagen nicht mir einem Beispiel im Text versehen sind, warum kann man denn nicht einfach mal ein Zahlenbeispiel anbringen, dadurch wird mir immer alles viel Verständlicher als mit den 1000 Formeln und Variablen...

Was ist denn:
dU
dx1
dx2

Vielleicht hilft mir das ja schon auf die Sprünge.
Was bedeutet genau dU/dx2 = Welche partielle Ableitung von wo nach was ist das jetzt genau?

dU/dx2 ist die 1. Ableitungsfunktion der Funktion U nach der Variablen x2.

U(x1, x2) = (x1 - 10) * (x2 - 5) = x1 * x2 - 5 * x1 - 10 * x2 + 50

dU/dx2 (x1, x2) = x1 - 10

Anstatt dU/dx2 findet man auch die Notation U', diese Notation hat aber den Nachteil, dass aus ihr nicht die Variable deutlich wird, nach der abgeleitet wird.

Siehe Ableitungsregeln : Differentialrechnung – Wikipedia

Liebe Grüße

DANKE 🙂

Ich glaube das hat geholfen! Jetzt weiß ich zu mindest, wie ich die Sache anfassen muss. Ich könnte es zwar auch einfach hinnehmen, aber warum gilt:
"Es gilt: dx2/dx1 = -(dU/dx1) / (dU/dx2)"

Also ist die Vorgehensweise:
1.) U soweit wie möglich auflösen
2.) U einmal nach x2 und einmal nach x1 auflösen (man erhält dU/dx2 und dU/dx1)
3.) Einsetzen in dx2/dx1 = -(dU/dx1) / (dU/dx2)
4.) Aussrechnen

Noch eine Frage dazu, in der Lösung wurde um -dx2/dx1 Betragsstriche gesetzt. Wieso das?

VIELEN VIELEN DANK SCHONMAL

diemilch schrieb:

DANKE 🙂

Ich glaube das hat geholfen! Jetzt weiß ich zu mindest, wie ich die Sache anfassen muss. Ich könnte es zwar auch einfach hinnehmen, aber warum gilt:
"Es gilt: dx2/dx1 = -(dU/dx1) / (dU/dx2)"

Zum Vergrößern anklicken....

Das habe ich doch in Beitrag #7 unter 1. Möglichkeit: "Totales Differential = 0" erklärt bzw. hergeleitet ("totales Differential = 0"-Eigenschaft einer Indifferenzkurve) - nachlesen!

Beachte auch die letzte Seite in EVWL KE 1 (Mathematischer Anhang)

diemilch schrieb:

Noch eine Frage dazu, in der Lösung wurde um -dx2/dx1 Betragsstriche gesetzt. Wieso das?

Zum Vergrößern anklicken....

Keine Ahnung, danach ist nicht gefragt gewesen.

Liebe Grüße