GRS berechnen und neoklassische Produktionsfunktion

Cordula87 · 6 Februar 2010

Nach stundenlangem Suchen per Google bin ich immer noch nicht schlauer geworden und setze meine letzte Hoffnung jetzt in eure Hilfe 😀

Zum einen verstehe ich die Aufgabe 3 in der VWL Klausur vom 24.03.2009 nicht. Arbeitet noch jemand mit den alten Klausuren zur Vorbereitung und kann mir die Lösung zu dieser Aufgabe nennen????

Und dann komme ich einfach nicht dahinter wie man diese Grenzrate der Substitution berechnet. Auch wenn mich jetzt alle auslachen: wie macht man eine partielle Ableitung??? (Hab schon überall gelesen sowas muss man können und so...aber ich kriegs halt nicht hin!) 🙁
Kann mir das mal jemand Schritt für Schritt für die ganz Langsamen erklären?
Den Sinn der GRS und so hab ich wohl verstanden - nur der mathematische Weg dahin läuft bei mir nicht.

Ich wäre echt dankbar für Hilfe!

Viele liebe Grüße

Ritschi · 6 Februar 2010

Ich habe leider momentan keine Zeit auf alle Fragen einzugehen.
Nur soviel eine partielle Ableitung wendet man an wenn die funktion mehr als eine Variable aufweist. Partiell bedeutet dann dass man sich nur auf eine dieser Variablen konzentriert und alle anderen als Konstanten betrachtet.

Bsp:
eine Variable:
Y = X^2+X+2 Ableitung: Y = 2X+1

Mehrere:

Y= X^2+X+2+Z2+Z+2 partielle Abl. nach x: Y= 2X+1
Man behandelt als die Zets in der Ableitung wie Konstante analog zu den Zweien

analog dazu partiell nach Z : Y = 2Z+1

ChrissiLLB · 6 Februar 2010

Cordula87 schrieb:
Und dann komme ich einfach nicht dahinter wie man diese Grenzrate der Substitution berechnet.

Grenzrate der Substitution

Gegeben Produktionsfunktion M(x,y) = x^(1/5) * y^(4/5)

1. Isoquantengleichung berechnen, d.h. für eine beliebige, aber fest gewählte Produktionsmenge M den einen Faktor (z.B. y) als Funktion des anderen Faktors (z.B. x) darstellen:

M = x^(1/5) * y^(4/5)

y^(4/5) = M * x^(-1/5)

y = M^(5/4) * x^(-1/4)

So, nun hast Du eine Isoquante, d.h. y (der eine Faktor) als Funktion von x (des anderen Faktors) bei einer beliebigen Produktionsmenge M.

2. Die Grenzrate der Substitution von y durch x ist nun die Ableitung dy/dx der Isoquante y = M^(5/4) * x^(-1/4) nach x, denn dy/dx gibt für jedes x an, wie sich y ändern muss, wenn die Produktionsmenge M unverändert bleiben soll, aber x sich marginal ändert.

y = M^(5/4) * x^(-1/4)

Ableitung dy/dx von y nach x:

GRS(y,x)
= dy/dx
= M^(5/4) * (-1/4) * x^(-1/4-1)
= -1/4 * M^(5/4) * x^(-5/4)

Cordula87 schrieb:
wie macht man eine partielle Ableitung??? (Hab schon überall gelesen sowas muss man können und so...aber ich kriegs halt nicht hin!)

Zum Begriff der partiellen Ableitung

Betrachte die Isoquante y = M^(5/4) * x^(-1/4)

Man kann y = M^(5/4) * x^(-1/4) auch als Funktion in zwei Variablen, nämlich M und x auffassen, also:

y = f(M, x) = M^(5/4) * x^(-1/4)

Bei der Isoquante wird M aber fest gewählt, d.h. M wird als Konstante (Zahl) aufgefasst, weil M eine ganz bestimmte (aber beliebig gewähltes) Produktionsmenge darstellt.

GRS(y, x) = dy/dx ist dann die Ableitung von f(M, x) = M^(5/4) * x^(-1/4), nach x, eine partielle Ableitug, weil f eben nur nach x abgeleitet wird und alle anderen Größen (hier M) nicht als variabel aufgefasst werden.

Man kann y = M^(5/4) * x^(-1/4) auch als Funktion von M auffassen und x als fest gewählten Wert betrachten. dy/dM ist dann die (partielle) Ableitung von y (von f) nach M. Bedeutung: dy/dM gibt an, wie sich y ändern muss, wenn die Ausbringungsmenge sich marginal ändern soll, jedoch die Menge von Faktor x unverändert bleibt (x ist dann ein fixer Faktor).

Liebe Grüße

Cordula87 · 6 Februar 2010

WOW! Danke für die schnelle Hilfe!

Also langsam kommt Licht ins Dunkel ........
Ich hab das mal mit nem Zahlenbeispiel ausprobiert, aber aus welchem logischen Grund aus x^1/5 in der Isoquantengleichung x^-1/5 wird verstehe ich noch nicht 😛einlich:
Und in der letztes Umformung zur Isoquantengleichung hast du mit dem Kehrwert multipliziert, oder?

Zur Ermittlung der GRS stellt sich mir noch die Frage wo der Bruchstrich von dy/dx in der Gleichung M^5/4 * (-1/4) * x^-1/4 - 1) versteckt ist???

Sorry - kann mir echt vorstellen, dass das nervig ist sowas echt vom Urknall zu erklären...deshalb ein riiiiiiiesiges

Cordula87 · 6 Februar 2010

Oh - Stop! Ich glaub ich hab noch was verstanden.....also die dumme Frage mit dem Bruchstrich hat sich erledigt. Aber - mal ganz dreist - kommt da nicht dann -5/4 raus bei -1/4 - 1? Mein Taschenrechner ist der Meinung.....

Hamburgues · 6 Februar 2010

ChrissiLLB schrieb:
Grenzrate der Substitution

Gegeben Produktionsfunktion M(x,y) = x^(1/5) * y^(4/5)

1. Isoquantengleichung berechnen, d.h. für eine beliebige, aber fest gewählte Produktionsmenge M den einen Faktor (z.B. y) als Funktion des anderen Faktors (z.B. x) darstellen:

M = x^(1/5) * y^(4/5)

y^(4/5) = M * x^(-1/5)

y = M^(5/4) * x^(-1/4)

So, nun hast Du eine Isoquante, d.h. y (der eine Faktor) als Funktion von x (des anderen Faktors) bei einer beliebigen Produktionsmenge M.

2. Die Grenzrate der Substitution von y durch x ist nun die Ableitung dy/dx der Isoquante y = M^(5/4) * x^(-1/4) nach x, denn dy/dx gibt für jedes x an, wie sich y ändern muss, wenn die Produktionsmenge M unverändert bleiben soll, aber x sich marginal ändert.

y = M^(5/4) * x^(-1/4)

Ableitung dy/dx von y nach x:

GRS(y,x)
= dy/dx
= M^(5/4) * (-1/4) * x^(-1/4-1)
= -1/4 * M^(5/4) * x^(-3/4)

Zum Begriff der partiellen Ableitung

Betrachte die Isoquante y = M^(5/4) * x^(-1/4)

Man kann y = M^(5/4) * x^(-1/4) auch als Funktion in zwei Variablen, nämlich M und x auffassen, also:

y = f(M, x) = M^(5/4) * x^(-1/4)

Bei der Isoquante wird M aber fest gewählt, d.h. M wird als Konstante (Zahl) aufgefasst, weil M eine ganz bestimmte (aber beliebig gewähltes) Produktionsmenge darstellt.

GRS(y, x) = dy/dx ist dann die Ableitung von f(M, x) = M^(5/4) * x^(-1/4), nach x, eine partielle Ableitug, weil f eben nur nach x abgeleitet wird und alle anderen Größen (hier M) nicht als variabel aufgefasst werden.

Man kann y = M^(5/4) * x^(-1/4) auch als Funktion von M auffassen und x als fest gewählten Wert betrachten. dy/dM ist dann die (partielle) Ableitung von y (von f) nach M. Bedeutung: dy/dM gibt an, wie sich y ändern muss, wenn die Ausbringungsmenge sich marginal ändern soll, jedoch die Menge von Faktor x unverändert bleibt (x ist dann ein fixer Faktor).

Liebe Grüße
Chrissi

Hey,
bin schon ziemlich weit mit der Klausurvorbereitung und kann die meisten Ewiwi Aufgaben gut rechnen. Aber bei ein paar Themen (Minimalkostenkombination, GRS, Homogenität von Produktionsfunktionen) sag ich :"Mut zur Lücke"!!😛
Bis dann
Hamburgues

ChrissiLLB · 6 Februar 2010

Cordula87 schrieb:
Oh - Stop! Ich glaub ich hab noch was verstanden.....also die dumme Frage mit dem Bruchstrich hat sich erledigt. Aber - mal ganz dreist - kommt da nicht dann -5/4 raus bei -1/4 - 1? Mein Taschenrechner ist der Meinung.....

Na klar, ich habe es verbessert, Danke!

Liebe Grüße

Cordula87 · 6 Februar 2010

Aber bitte - Ich danke DIR! Ich werd nachher mal testen ob ich das jetzt auch auf andere Aufgaben anwenden kann - aber ich denke doch, ich bin einen großen Schritt weiter gekommen 🙂

Und zum "Mut zur Lücke" - Rat: Hab ich mir ja auch erst gedacht, aber dann sind mir so einige Infos über den Weg gelaufen, dass die GRS und die partiellen Ableitungen wohl Themen sind, was einem immer wieder begegnen..... und wenn man sich da einmal durchgewurschtelt hat ärgert man sich nicht das halbe Studium!

Mut zur Lücke beweise ich dann an anderer Stelle *g*

Nochmal Danke und Tschüssi - hab jetzt Feierabend und klinke mich aus

GRS berechnen und neoklassische Produktionsfunktion

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