• Guten Start ins Wintersemester 2024/2025

Grenzwertbetrachtung

M

Miles Lorenz

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Im Skript wird für die Grenzwertbetrachtung von

x³/(x²-3)

dieser Term umgewandelt in

x + (3x/(x²-3))

Erreicht wurde dies durch die Division des Zählerpolynoms durch das Nennerpolynom.

Ich verstehe einfach nicht nach welchen Regeln das gemacht wurde!

Und wenn ich andersrum das x zu

x³-3x
------
x²-3

Umforme und den Zähler zu 3x addiere erhalte ich auch

x³ , aber wie soll ich das vorher ersehen?

Wie kann ich das verallgemeinern? Habt ihr dan ich n paar gute Tips, oder wo das nochma genauer erklärt wird?
 
Miles Lorenz schrieb:
Erreicht wurde dies durch die Division des Zählerpolynoms durch das Nennerpolynom.

Ich verstehe einfach nicht nach welchen Regeln das gemacht wurde!
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Polynomdivision z.B.

Und wenn ich andersrum das x zu

x³-3x
------
x²-3

Umforme und den Zähler zu 3x addiere erhalte ich auch

x³ , aber wie soll ich das vorher ersehen?
Zum Vergrößern anklicken....

Ich hätt es etwa so gemacht:
[tex]\frac{x^3}{x^2-3} = \frac{x\cdot x^2}{x^2-3} = \frac{x(x^2 - 3 + 3)}{x^2-3} = \frac{x(x^2-3)}{x^2-3} + \frac{3x}{x^2-3} = x + \frac{3x}{x^2-3}[/tex]

Aber der Algorithmus der Polynomdivision ist im Grunde auch nichts anderes, da wird das "sehen" nur durch formalisierte Schritte ersetzt.
 
Mach es Dir doch einfacher.

Tipp: Jeden Term einzeln ableiten bis es nicht mehr geht. Dann kommst Du automatisch auf den Grenzwert.
Hier:
X^3/(x^2-3)
Das erste mal ableiten, wichtig ist, jeden Term einzeln abzuleiten und nicht als Quotientenregel (übrigens diese Regel gilt nur, wenn Du einen Bruchterm hast)
3x^2/2x (ein x gekürzt ergibt: 3x/2
soll der Grenzwert gegen unendlich heraus gefunden werden ist er unendlich, weil 3*unendlich/2 ist unendlich
soll der Grenzwert gegen 0 heraus gefunden werden, ist er 0, denn 3*0/2 = 0

Das ist wirklich einfach so. Mit den Umformungen habe ich es nicht so und es dauert ziemlich lange. Deshalb mache ich es nur mit dieser Methode. Aber wie gesagt, es gilt nur für Brüche. Hättest du z.B. 2x * cosx, musst Du es in einen Bruch umwandeln, also 2x / (cosx)^-1, dann kannst Du wieder diese Rechenregel anwenden. Immer jeden Term einzeln, also Zähler und Nenner einzeln.
 
Shila schrieb:
Tipp: Jeden Term einzeln ableiten bis es nicht mehr geht. Dann kommst Du automatisch auf den Grenzwert.
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Aber nur, wenn Zähler und Nenner beide differenzierbar sind und beide gegen 0 oder beide gegen unendlich gehen. Siehe Regel von L'Hospital.

Aber wie gesagt, es gilt nur für Brüche. Hättest du z.B. 2x * cosx, musst Du es in einen Bruch umwandeln, also 2x / (cosx)^-1, dann kannst Du wieder diese Rechenregel anwenden.
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Na dann rechne mir doch mal den Grenzwert von 2x * cos(2*pi*x) nach der Methode aus.
 
Hier braucht man ja gar nicht rum zu rechnen. Zuerst sollte man ja versuchen durch einsetzen sofort zu sehen, wohin der Term geht. Wenn ich 0 einsetze ist der Term ja automatisch null. Da brauche ich mir gar nicht die Mühe zu machen, irgendwie rum zu rechnen.
 
Aber kein Punkt, an dem der Grenzwert betrachtet werden soll. An der Stelle ist das auch egal, es wurde ja nicht nach der Grenzwertbestimmung gefragt (auch wenn die Überschrift was anderes sagt), sondern nach einer bestimmten Umformung, die dabei immer wieder auftaucht.
 
Ich muss sagen cris* hat recht, es ging mir um die Umformung.
Im nachhinein würde ich das Thema denn auch "Polynomdivision" nennen, was dann aber auch Antwort auf meine Frage wäre 🙂

Trotzdem: der Tipp mit der "separaten" Ableitung bei einfachen Bruchtermen ist gut, danke.

warscheinlich wurde es im Skript für diese Funktion nicht gemacht, weil L'Hospital (auch diesem Hinweis bin ich promt nachgegangen) noch nicht erklärt wurde.

Es sieht mir im ersten Moment einfacher aus, allerdings müsste man ja wirklich erst ma prüfen, ob nicht der Zählerterm in der Umgebung meiner Polstellen "aus versehen" = 0 ist, dann wäre die Regel (so wie ichs verstanden hab) nicht anwendbar.
Vielleicht kann da ma nochma einer was zu sagen, ist das in der Prüfung nötig (der nachweis) bzw. ist das eher einfach bei den meißten Funktionen, oder kann das komplizierter werden, gesetzt den fall, dass ich ja den Verlauf innerhalb der Kurvendiskursion erst noch ermitteln muss?

Speziell auf diese Funktion bezogen finde ich die Überlegung zur grenzwertbetrachtung gegen unendlich eh überzogen, wenn "oben" hoch 3 und "unten" hoch 2 steht, ist doch klar wohin der hase läuft.

Zu guter letzt:
es interresiert mich sehr, ob der ben benannte Term => 2x * cos(2*pi*x)<=
entsprechend umgeformt werden kann: (selbstversuch der 1.)

2x / (cos(2*pi*x)^-1 => 2 / ((-sin(2*pi*x)^-1)*2*pi)
(ist das richtig, is doch kette oder)

was sagt mir das jetzt? was ist denn sin(unendlich)?

Verwirrung!!!!
 
Miles Lorenz schrieb:
es interresiert mich sehr, ob der ben benannte Term => 2x * cos(2*pi*x)<=
entsprechend umgeformt werden kann: (selbstversuch der 1.)
Zum Vergrößern anklicken....

Da hab ich mich etwas vergaloppiert. Das ist ein (nicht so gutes) konstruiertes Beispiel für eine Folge (dann 2n cos(2 pi n)), die gegen unendlich geht, aber wo die l'Hospitalsche Regel nicht anwendbar ist, da die Voraussetzungen nicht vorliegen. Man kann natürlich trotzdem Zähler und Nenner getrennt abzuleiten, wozu auch immer:

2x / (cos(2*pi*x)^-1 => 2 / ((-sin(2*pi*x)^-1)*2*pi)
(ist das richtig, is doch kette oder)
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Die Ableitung von [tex]\frac{1}{\cos 2\pi x}[/tex] ist nach der Kettenregel [tex]\frac{2\pi \sin 2\pi x}{\cos^2 2\pi x}[/tex]. <- nach Hinweis korrigiert.

was sagt mir das jetzt? was ist denn sin(unendlich)?
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Nichts. Der Grenzwert existiert nicht, nichtmal uneigentlich (also unendlich oder minus unendlich).
 
Wenn ich mal die Kristallkugel bemühe, scheinst du mit der ersten Frage auf die Quotientenregel anzuspielen. Die hab ich nicht verwendet, aber das spielt eigentlich überhaupt keine Rolle, es muss ja dasselbe rauskommen. Aber was du eigentlich fragen willst, ist mir nicht klar.

Mit der zweiten Frage hast du recht, ich hab das Minus vom Sinus vergessen. Ich werd das mal editieren.
 
Ja, nee...

ich wolt nur sichergehen, dass ich die Herleitung deines ergebnisses korrekt nachvollzogen habe. Ich dachte du hättest die quotientenregel verwendet.
anscheinend hast du das aber nicht. wie bist du also dann auf das ergebnis gekommen? gibs nen einfacheren Weg?

Und wenn wa schon ma so am schnacken sind 😉
Ich kann nicht nachvollziehen wie die im Skript "differenzengleichungen"

die Funktion h(y,y) = x² * e^xy zu h'x(x,y) = (2 + xy) * xe^xy

ableiten... Verwende ich da die Produktregel:

h'x(x,y) = 2x * e^xy + x²ye^xy ? oder anders?

Verändert sich der Exponent von e garnicht beim ableiten? Das hab ich bisher nirgens rauslesen können?

Wäre also die ableitung von f(x) = e^3+x => f'(x) = (3 + x)*e^3+x ?

Und wie leite ich g(x) = e^3+x³ ab ? Könntest du mir da bite die allgemeine Regel nennen, die find ich nirgens.

im übrigen nochmals danke für deine Mühen, so langsam schöpfe ich Hoffnung für die Prüfung.
 
Miles Lorenz schrieb:
Ich dachte du hättest die quotientenregel verwendet.
anscheinend hast du das aber nicht. wie bist du also dann auf das ergebnis gekommen? gibs nen einfacheren Weg?
Zum Vergrößern anklicken....
Wenn du die Quotientenregel auf eine Funktion der Art [tex]\frac{1}{f(x)}[/tex] anwendest, bekommst du wegen dem konstanten Zähler immer zuerst mal ein [tex]0\cdot f(x)[/tex] im Zähler der Ableitung. Direkter ist da die Potenzregel, da das ja nichts anderes als [tex](f(x))^{-1}[/tex] ist. Ableitung dann nach der Kettenregel: [tex]-1\cdot (f(x))^{-2} \cdot f'(x) = \frac{-f'(x)}{(f(x))^2}[/tex].

Ich kann nicht nachvollziehen wie die im Skript "differenzengleichungen"

die Funktion h(y,y) = x² * e^xy zu h'x(x,y) = (2 + xy) * xe^xy

ableiten... Verwende ich da die Produktregel:

h'x(x,y) = 2x * e^xy + x²ye^xy ? oder anders?
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Ja, die Produktregel. Du kannst da jetzt [tex]x e^{xy}[/tex] ausklammern und bekommst das Ergebnis aus dem Script.

Verändert sich der Exponent von e garnicht beim ableiten? Das hab ich bisher nirgens rauslesen können?
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Nein, die Ableitung von e^x ist e^x. Für komplexere Exponenten wird wieder die Kettenregel angewendet: [tex](e^{f(x)})' = e^{f(x)}\cdot f'(x)[/tex], z.B. [tex](e^{3+x^3})' = 3x^2 e^{3+x^3}[/tex]
 
Kompliziert aber macht sinn...

ich muss auch gleich nochma zu nem andern Thema nachboren:

amoroso-robinson: in der Herleitung wird gesagt, dass

q:= N(p) ist, das leuchtet ein, aber

U(q) = q*N^-1(q) verstehe ich nicht.
Wieso ist, wie auch weiter unten erwähnt wird
N^-1(q) = p ? Irgendwie fehlt mir da n Zwischenschritt:eek
 
Wieso "+"? Und wo kommt das "-" vorne her? Wenn du Probleme hast, die Kettenregel anzuwenden, dann schreib dir doch erstmal auf, was die innere und was die äußere Funktion ist. Dann leitest du die einzeln ab und multiplizierst die Ergebnisse.
 
Wenn die Funtion u(x1,x2)=
mimetex.cgi



und die Nebenbedingung M=x1*p1+x2*p2


gegeben ist wie bestimme ich dann das hinreichende Kriterium für mein Maximum


im kritischen Punkt (M/2p2 , M/2p1) ?


Kannst du mir ma den Ansatz dafür erläutern, im Skript steht an der Stelle auch nur

"Die berechnung der 2. Ableitung bleibt dem Leser überlassen" ...ja aber wovon denn genau?

In der Aufgabenstellung steht es soll mittels Substituzionsverfahren geschehen... wenn dir das was sagt
 
Ja ich weiß, aber da du eh der einzige bist, der mir bisher sinnvoll und zeitnah geantwortet hat, kann ichs doch auch gleich hier fragen...


Also aufgepasst:

ich möchte
[tex]f(x) = \sqrt r [/tex]
ableiten, wobei r eine Funktion mit einer Variablen und mehreren ist:

[tex] f'(x) = \frac {r'} {2 \sqrt r} (Kettenregel) [/tex]

[tex] f''(x) = \frac {r'' * (2 \sqrt r) - r' * { \frac {r'} {4 \sqrt r } } } {4r}[/tex]

(Ketten- und Quotientenregel)

Kann das stimmen? wirkt mir so komplex, obwohl ich die eigentliche Funktion schon ersetzt habe....
 
Miles Lorenz schrieb:
Ja ich weiß, aber da du eh der einzige bist, der mir bisher sinnvoll und zeitnah geantwortet hat, kann ichs doch auch gleich hier fragen...
Zum Vergrößern anklicken....
Ich kenne aber nicht alle Themen aus eurem Mathekurs.

ich möchte
[tex]f(x) = \sqrt r [/tex]
ableiten, wobei r eine Funktion mit einer Variablen und mehreren ist:
Zum Vergrößern anklicken....
und mehreren was?

[tex] f'(x) = \frac {r'} {2 \sqrt r} (Kettenregel) [/tex]

[tex] f''(x) = \frac {r'' * (2 \sqrt r) - r' * { \frac {r'} {4 \sqrt r } } } {4r}[/tex]
Zum Vergrößern anklicken....
fast: [tex]f''(x) = \frac {r'' (2 \sqrt r) - r' \frac {r'} {\sqrt r } } {4r}[/tex]
Die 2 kürzt sich gegen die 2 aus der Ableitung der Wurzel. Groß aufhübschen kann man das nicht mehr, höchstens noch einmal mit [tex]\sqrt{r}[/tex] erweitern:
[tex]f''(x) = \frac {2r r'' - (r')^2} {4r\sqrt{r}}[/tex]
 
Ich hätte gedacht die in der 2. Ableitung neu entstehende 2 steht auch mit unterm Bruchstrich bei der 2 aus der 1. Ableitung im Zähler.
so das deren Produkt eben 4 ist.

Wenn ich dich richtig verstehe kommt aber ...[tex] -r' * \frac {2r'} {2\sqrt r} [/tex] raus ja? Das merk ich mir... wer ich nicht drauf gekommen,
 
Ja sogesehen...

Aber ich sitz auch schon wieder in der nächsten falle: Integrale

Bei [tex] \frac {sin(x)} {(cos(x) + 2)^2} [/tex]

sehe ich das mit f =1/y => F= ln lyl so, das ich - ln (cos(x) + 2)² + c hätte, kommt mir aber sehr falsch vor. aber ich weiß auch nicht wie sonst.
???
 
Im Skript steht f=1/y => F = ln (betrag von) y

drunter steht noch [tex] \frac {g'} {g} dx => ln (betrag von) g + c [/tex]

Is fall drei von vier spezialfällen!???

Ich find sonst keinen anhaltspunkt wie ich Produkte und Quotienten integriere
 
Jaja, aber das kannst du oben bei sin und cos nicht anwenden......das gilt wirklich nur wenn du wie du schon geschrieben hast ein y oder ein x im Nenner hast, und entsprechend jener integrieren mußt. Du weißt, die Ableitung von ln x --> 1/x....

In diesem Fall läßt du am besten erst mal den Nenner verschwinden und schreibst ihn in den zähler mit ^(-2), dann könntest du dir aus sinx, die Ableitung vom cosx bilden
(f´(cosx) = -sinx), also die Vorzeichen ändern und dann hast du die innere Ableitung der Klammer und wenn du das dann integrierst, dann kommst du schließlich auf 1/(cosx+2)
 
Das mit dem substituieren raff ich irgendwie garnicht...

wenn ich dann [tex] \frac { sin(x)} {z^2} [/tex]habe was mach ich dann damit?

ist das dann [tex] \frac {-cos(x) } {1/3 z^3} [/tex]

und für z setz ich dann ein?: sin(x) + 2x
 
Unde der andere Weg sähe dann so aus?:

f = sin(x) * (cos(x) + 2)^-2
und wieder steh ich vor dem Problem das ich mit dem * nichts anfangen kann...

kommt dann?: -cos(x) * (-1/3)(sin(x) + 2x)^-3 raus?
 
Miles Lorenz schrieb:
unde der andere Weg sähe dann so aus?:

f = sin(x) * (cos(x) + 2)^-2
und wieder steh ich vor dem Problem das ich mit dem * nichts anfangen kann...

kommt dann?: -cos(x) * (-1/3)(sin(x) + 2x)^-3 raus?
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Du hast dann das Intgral (cosx+2)^-2+sinx dx. So jetzt mußt du ein wenig tricksen: So wie ich das rechnen würde wäre wie folgt:
Wenn ich cosx ableiten habe ich -sinx. Oben in der Gleichung habe ich allerdings +sinx stehen. Also bastel ich mir daraus doch ein -sinx und komm dann auf:
MINUS Integral (cosx+2)^-2 * (-sinx)dx
wenn ich dann integriere bleibt folgendes übrig:
minus (cosx+2)^-1/-1 und wenn ich das dann umforme bekomme ich 1/(cosx+2) und dann könnte ich meine Grenzen wunderbar einsetzen......
 
MINUS Integral (cosx+2)^-2 * (-sinx)dx
wenn ich dann integriere bleibt folgendes übrig:
minus (cosx+2)^-1/-1
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ich frag jetz ma ganz blöde: wieso?
also das aus ^-2 => ^1 kann ich irgendwie noch nachvollziehn wird ja auf und nich abgeleitet...

aber wo das (-sinx)dx und die innere Funktion der klammer hinschwinden, das raff ich nich erklärs bitte noch ma fürn dummi, ich hör auch genau hin versprochen
 
Das zu erklären ist nicht ganz so einfach. Wenn ich eine Funktion habe die lautet (cosx+2)^-1 und ich die dann ableite, dann erhalte ich -(cosx+2)^-2*(-sinx)
--> -sinx ja als innere Ableitung. Und hier hast du ja nun mal fast die innere Ableitung im Zähler stehen. Ich weiß wirklich nicht, wie ich dir das erklären soll, soll ich sagen du mußt ein Auge darauf haben wie die Funktion lautet?? Ich meine es ist ja auch bekannt, dass 1/x integriert lnx ergibt. Du hast nun mal oben mit dem sinx (fast) die innere Ableitung von der Klammer.....Diesen kleinen "Trick" kenn ich nun mal.....mir fällt leider nichts weiter dazu ein, als zu sagen, schau dir die Funktion(en) genau an und schau, ob du in solchen Fällen die innere Ableitung irgendwie hinbekommst.....hier war es ja durch eine Vorzeichenänderung prima möglich......ansonsten mußt du dir das noch mal mit der substitution erklären lassen, da kann ich dir allerdings nicht wirklich weiterhelfen.......
 
Ja doch ich glaub langsam dämmerts...
Ich fasse noch ma zusammen:

1. Umschreiben der Funktion:f(x) = sin(x)*(cos(x)+2)^-2 = -1*(-sin(x))*(cos(x)+2)^-2
2. Klammer Integrieren: = -1*(-sin(x)) * [-1*(cos(x)+2)^-1 * (-sin(x))]
3. Innere Aufleitung und "Zähler" kürzen:
= -1*(-1) * (cos(x)+2)^-1 = fertig!!!

Und ich kann die sin einfach wegkürzen, obwohl ich es selbst noch nicht aufgeleitet habe? steht das irgendwo, das ich mir das nochma anschauen kann???
 
[FONT=Verdana ! important]das mit dem substituieren raff ich irgendwie garnicht...

wenn ich dann
mimetex.cgi
habe was mach ich dann damit?

ist das dann
mimetex.cgi


und für z setz ich dann ein?: sin(x) + 2x

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das is natürlich auch voll der Käse...

F(x)= [tex] \frac {-cos(x)} {-1*z^1} [/tex] scheint mir richtiger...

und wie gehts dann weiter?
 
Miles Lorenz schrieb:
ja doch ich glaub langsam dämmerts...
Ich fasse noch ma zusammen:

1. Umschreiben der Funktion:f(x) = sin(x)*(cos(x)+2)^-2 = -1*(-sin(x))*(cos(x)+2)^-2
2. Klammer Integrieren: = -1*(-sin(x)) * [-1*(cos(x)+2)^-1 * (-sin(x))]
3. Innere Aufleitung und "Zähler" kürzen:
= -1*(-1) * (cos(x)+2)^-1 = fertig!!!

Und ich kann die sin einfach wegkürzen, obwohl ich es selbst noch nicht aufgeleitet habe? steht das irgendwo, das ich mir das nochma anschauen kann???
Zum Vergrößern anklicken....


STOPP! So nicht.......
Es geht doch sicher um die Aufgabe 4a in der einsendeaufgabe oder? Willst du die abgeben, dann schreib das bitte anders und KÜRZEN tust du NICHT!!
Das schon mal vorab......
 
Also meinen Rechenweg kann ich dir erklären, aber bei dem substituieren tu selbst ich mir schwer, da frag bitte jemand anderes.....damit hab ich mich (noch) nicht viel beschäftigt, weil ich es eben wie oben beschrieben gerechnet habe......
 
Wie, doch nicht? kürzen würd ich nicht schreiben, würd ich einfach machen, die subtrahieren einander weg wäre besser gesagt und im letzen ausdrück neutralisieren sich die 2 -1en.
Dann muss ich für die EA's noch die obere und untere Grenze einsetzen um das bestimmte Integral zu erhalten...

aber wenn ich in 1/(cos(x)+2 pi und pi halbe einsetze komm ich auch irgendwie nich auf 0,5? muss ich noch dran feilen
 
und wenn ich das dann umforme bekomme ich 1/(cosx+2) und dann könnte ich meine Grenzen wunderbar einsetzen......
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bis auf die letzte klammer is es doch genau der ausdruck den du vorher beschrieben hast oder nicht? [tex] \frac 1 {cos(x) + 2} [/tex]

=> Obergrenze : [tex] \frac 1 {cos(pi) + 2} [/tex] = 0,3335004 ?
=> Untergrenze: [tex] \frac 1 {cos(pi/2) + 2} [/tex] = 0,333375092 ?

da kann doch irgend was nicht stimmen...
 
Kool danke, das 2. sin... ja dass... war ne persönliche Denkstütze... vielleicht n bissl unglücklich!

Aber dein Tipp, pi nicht einzusetzen sondern die Funktionen zu zeichnen, meinst du das ernst, ich mein ich mach doch jetz nich noch ne kurvendisursion oder steh ich schon wieder im wald?
 
Du mußt es nicht zeichnen, überleg und du hast es. Weißt du wie cos und sin verlaufen und wo sie die x - achse schneiden? An der Stelle pi/2 schneidet zB cos x die x - achse; was folgt daraus --> 0. An der Stelle pi liegt der cos bei -1 und somit hast du schon die werte, die du eintragen mußt.
 
Dr Franke Ghostwriter
Wenn ich (Integral 1-0 von: )x²e^x errechne, mit der partiellen Integration, erhalte ich:

1² * e - 0² * e^0 - (Integral 1-0 von: ) 2xe^x
= e - 1² * e - 0² * e^0 = 0 ?????????

Mein Ansatz: Wenn f=x², dann f=2x ; Wenn g'=e^x dann g=e^x

Wäre kuhl wenn einer bis 19:30 was sagen könnte(also wo der Fehler is 😉 )
 

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