Grenzwertbetrachtung Betragsfunktion (Beispiel 1.1.3)

Auf Seite 6 findet eine Grenzwertbetrachtung für die Betragsfunktion, d.h. f(x) = |x|, statt am Punkt x0 = 0. Diese erfolgt zweimal je von einer anderen Seite.

lim x -> x0- : (f(x) - f(x0)) / (x -x0) =

lim x -> x0- : (|x| - 0) / (x - 0) =

lim x -> x0- : -x / x

Als Ergebnis kommt -1 heraus (bzw 1 bei rechtsseitiger Betrachtung, da im Zähler dann +x steht). Ist insoweit auch logisch, aber muss ich beim Bilden der Ableitung nicht vorher noch für x den Grenzwert (also x0 bzw. 0) einsetzen (bei Beispiel 1.1.2 wurde zum Schluss fürs x ja auch als letzter Schritt der Grenzwert eingesetzt...)? Dann hätte ich nämlich 0 durch 0, und das geht ja nicht.

😕

Danke für Antworten!

ich meine mich dunkel erinnern zu können, dass dann die Regel von L'Hospital greift. und da musste man doch erst ableiten und dann einsetzen.. (aber ich hoffe es kommen noch qualifizierte Antworten, is leider schon ne Weile her bei mir..)

da (|x|-0)/(x-0) = |x|/x an den stellen 0+ und 0- ein 0/0 ergibt, muss hier l'hospital angewendet werden, das ist korrekt.

somit bildet man den limes nicht mehr von |x|/x sondern von den jeweiligen ableitungen, sprich für x->0- wird ein -1/1 draus und für x->0+ wird ein 1/1 draus
(formeleditor wär klasse hier, fällt mir grad auf 😉 )

Klotzig schrieb:

Ist insoweit auch logisch, aber muss ich beim Bilden der Ableitung nicht vorher noch für x den Grenzwert (also x0 bzw. 0) einsetzen

Zum Vergrößern anklicken....

was genau meinst du mit dem bilden der ableitung, an der stelle 0 existiert keine ableitung für f(x) = |x|. den grenzwert für f(x0) hast du doch mit f(x0)=0 schon eingesetzt.

Danke für eure Antworten. 🙂

maxthew: Naja, siehe zum Beispiel Punkt 1.1.2.
Dort wird ja am Ende auch für x (nicht für x0) der Grenzwert (d.h. also x0) eingesetzt. 😉

Letzter Schritt:


lim x -> x0 : (x - 5) =

lim x -> 1 : (x - 5) = 1 - 5 = -4