Grenzwert ausklammern L'Hôpital

irgendwie verwirren mich diese Grenzwerte.

z.B. Seite 44 KE 1 (Mathe II Analysis), Aufgabe v)

Warum kann ich da nicht einfach ausklammern? Und woran erkenne ich das ich einfach ausklammern kann oder nicht?

Aufgabe:

lim x gegen unendlich (2x² -1) / (x² - 6x + 1)

Ich habe bei meiner Lösung einfach x² ausgeklammert und hatte als Ergebnis - 1/3 raus. Laut Skript aber falsch. Da wird wohl oben und unten erst abgeleitet. Ergebnis ist dann 2. Warum?

Viele Grüße

[tex]\frac{2x^2-1}{x^2-6x+1} = \frac{x^2\cdot(2 - \frac{1}{x^2})}{x^2\cdot(1-\frac{6}{x}+\frac{1}{x^2})} = \frac{2 - \frac{1}{x^2}}{1-\frac{6}{x}+\frac{1}{x^2}} \longrightarrow \frac{2}{1} = 2[/tex], da die Brüche [tex]\frac{1}{x^2}[/tex] und [tex]\frac{1}{x}[/tex] für [tex]x\rightarrow\infty[/tex] gegen 0 gehen.

Ah okay. Vielen Dank! Jetzt sehe ich meinen Fehler. Ich habe unter der 6 kein x geschrieben. Darum kam ich auf 1/3

Wenn du nen Polynom n-ten Grades im Zähler hast und n-ten Grades im Nenner, dann ist das Grenzwert für x --> unendlich immer der Quotient der Koeffizienten des Monoms höchsten Grades aus den beiden Polynomen.

Grad im Zahler = 2 = Grad im Nenner.
Monom höchsten Grades im Zähler logischerweise 2*x²
Monom höchsten Grades im Nenner logischerweise 1*x²

Davon der Quotient: 2/1 = 2

Hihihi.

Nochwas:
Ist der Zählergrad < Nennergrad (beim Polynom!), dann ist der Grenzwert = 0 für x --> unendlich.

Ist Zählergrad > Nennergrad, dann muss Polynomdivision (Zähler durch Nenner) gemacht werden. Der Rest, der dann entstehen wird wird nicht beachtet und man hat, wenn man den Rest nicht beachtet eine Asymptote. Dessen Grenzwert kann leichter berechnet werden (durch Hinsehen)

Oh jeeeeeeeee!

Ich glaub, dass steht so auch nicht im Skript, keine Sorge.