Grenzproduktivität der Arbeit bei Solow

kann mir vielleicht jemand den Weg von Y=N*F(k, AN) zu dem Ergebnis auf Seite 94 vorrechnen. Ich komme da mit dem zweiten Teil (-k *@F(k,A)/@k) nicht zurecht. Ich hänge ab F(kA) + N* @F(f,A)/@N. Wie bekomme ich den? Vielen Dank schon mal

habe dasselbe Problem... Wäre klasse wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.

Da muss man ein bisschen um die Ecke knobeln, um darauf zu kommen.

Also: Y=F(K,AN). [tex]y=\frac{Y}{N}=F(k,A)[/tex], das ist die Aussage von (6.7).

Daraus folgt: Y=N*F(k,A).

So, das kann man jetzt mit Produkt-, Quotienten- und Kettenregel (denn k=K/N) nach N ableiden. Zuerst nach dem ersten N – das ist: F(k,A).

Jetzt nach dem N im Nenner von k. Kettenregel ist äußere mal innere Ableitung. Äußere ist [tex]\frac{\partial F(k,A)}{\partial k}[/tex].

Und die innere Ableitung ist (Quotientenregel) [tex](-1)\frac{K}{N^2}[/tex].

Die einzelnen Teilableitungen werden ja addiert (Produktregel), was wir jetzt mal machen.

[tex]\frac{\partial Y}{\partial N}=F(k,A)+N\cdot (-1)\cdot \frac{K}{N^2}[/tex].

Im zweiten Term kann man einmal N rauskürzen, dann hat man K/N=k da stehen. Fertig.

Vielen Dank,

hatte ganz vergessen das rausgezogene N abzuleiten....das konnte ja dann nix werden.
Nur eine Frage noch... warum leitet man bei der äußeren Ableitung nach k und nicht nach K ab?...da fehlt mir irgendwie das Verständnis.
Danke nochmal

Äääh, wieso sollte man nach K ableiten? Das gibt weder inhaltlich noch mathematisch Sinn. Inhaltlich nicht, weil Du ja die Reaktion von Y auf eine Änderung von N wissen willst und nicht auf K (das ist die Formel dadrüber).

Und mathematisch nicht, weil die Kettenregel so nicht funktioniert: Du hast eine zusammengesetzte Funktion f(g(x)), die Du nach x ableiten willst. Nun definierst Du: g(x)=z. Jetzt hast Du f(z) da stehen. Das kannst Du nach z ableiten (äußere Ableitung) und z nach x (innere Ableitung), denn z ist ja eine Funktion von x.

Auf unser Problem angewendet ist k=K/N das z. Du musst also zuerst F nach k ableiten und dann das k selbst nach N.

Ach, da fällt mir gerade auf – die Ableitung von k nach N geht natürlich nicht nach der Quotientenregel, denn hier stehen ja nicht zwei Funktionen auf dem Bruch, nach denen ableitet wird. Es geht also nach der ganz normalen Regel für eine herkömmliche Funktion.

Es ist [tex]k=\frac{K}{N}=K\cdot N^{-1}[/tex], und das abgelitten ist: [tex](-1)K\cdot N^{-2}=-\frac{K}{N^2}[/tex].

Die Ableitung selbst war also richtig, aber der name war falsch. Das nur so der Vollständigkeit halber... :feiff

Alles kapiert 😀

Vielen Dank nochmal!