Grenzerlös bei der Hälfte der Sättigungsmenge

ich habe eine grundsätzliche Frage, warum schneidet die Grenzerlöskurve genau bei der Hälfte der Sättigungsmenge? Ich weiß dass rechts davon der unelastische Bereich ist und links der elastische, aber wie kann man das erklären bzw. herleiten?
Grüße

Inverse Nachfragefunktion: P(X) = a - b * X

Umsatz: U(X) = X * P(X) = X * (a - b * X) = a * X - b * X^2

Grenzumsatz: U'(X) = a - 2 * b * X = 0

Also: Umsatzmaximum ist bei X = 1/2 * a/b

Preiselastizität e im Umsatzmaximum X = 1/2 * a/b:

e
= (dX/X) / (dP/P)
= (dX/dP) * P/X
= -1/b * (a - b * X) / X
= -1/b * (a/X - b)
= -1/b * (a/[1/2 * a/b] - b) ......// X = 1/2 * a/b einsetzen
= -1/b * (2 * b - b)
= -1/b * b
= -1

Die Preiselastizität ist also im Umsatzmaximum X = 1/2 * a/b immer e = -1

e
= -1/b * P/X
= -1/b * (a - b * X) / X
= -1/b * (a/X - b)

Für X < 1/2 * a/b ist e < -1, d.h. die Nachfrage reagiert elastisch (Für X = 0 geht e nach -oo)

Für X > 1/2 * a/b ist e > -1, d.h. die Nachfrage reagiert unelastisch (für X = a/b ist e = 0)


Liebe Grüße

Super, vielen Dank, ich hatte gehofft, dass du antwortest, weil ich dich noch in so guter Erinnerung als VWL-Crack hatte