Gleichsetzung Durchschnittsertrag & Grenzertrag

Auf Seite 73 im BWL Skript KE I ist zu sehen, dass der Durchschnittsertrag an der Stelle am höchsten ist, an der er die Grenzertragskurve schneidet.
Wiiiieso ? 😕
Meine Gedanken enden an folgendem Punkt:
Das Verhältnis von Ausbringungsmenge zu Einsatz (hier der variable Faktor...sei es einfach mal Arbeitskräfte), ist an der Stelle am höchsten an der sie gleich dem Steigungswert der Gesamtertragskurve ist.
Ab hier bildet sich ein Knoten im Oberstübchen 😉
Warum sind diese beiden Werte genau dort gleich ?

Henrik

Hat sich erledigt...Knoten ist geplatzt 😉.
Mein Verständnis jetzt:
An dieser Stelle ist der Fahrstrahl genau so, dass er auch die Tangente zur Gesamtertragsfunktion darstellt und daher auch seiner Steigung entspricht, was ja wiederum der Granzertragsfunktionswert an genau dieser Stelle ist....

Evtl. doch zu müde heut'
Henrik

Henrik,

Sei M(x) die Ertragsfunktion des Faktors x

Dann ist M'(x) (erste Ableitung von M nach x) die Grenzertragsfunktion

und DM(x) = M(x)/x die Druchschnittsertragsfunktion

Extrempunkt der Druchschnittsertragsfunktion DM(x) berechnen:

DM'(x) = (M'(x) * x - M(x) * 1) / x^2 (Quotientenregel)

DM'(x) = 0 falls M'(x) * x - M(x) * 1 = 0 (also falls Zähler = 0) also falls M'(x) = M(x)/x

Falls M'(x) = M(x)/x, d.h. im Schnittpunkt von Grenzertragskuve M'(x) und Durchschnittsertragskurve M(x)/x , hat die Durchschnittsertragskurve DM(x) also immer einen Extrempunkt. Das muss nicht unbedingt ein Maximum sein, es kann auch ein Minimum oder Sattelpunkt sein, das hängt von der zweiten Ableitung DM''(x) ab. Falls DM''(x) an dieser Stelle negativ ist, liegt tatsächlich ein Maximum vor. Falls DM''(x) positiv liegt ein Minimum und falls DM''(x) = 0 liegt ein Sattelpunkt vor.

Liebe Grüße

DM'(x) = 0 falls M'(x) * x - M(x) * 1 = 0 (Nenner = 0) also falls M'(x) = M(x)/x

Dieser Teil ist die Erleuchtung.
Dass es grafisch so ist, konnte man ja sehen. Aber warum das mathematisch auch so ist....das hatte ich nicht probiert!
Vielen Dank!

Kommt es denn in der Praxis (oder auch Prüfung) vor, dass Extrempkt der Durchschnittsertragskurve (der Name ist übrigens komisch) kein Max ist?

Henrik

Eine wichtige Gruppe von Produktionsfunktionen sind die neoklassischen, die definitionsgemäß positive und abnehmende Grenzerträge haben (also M'(x) > 0 und M''(x) < 0 für jede positive Menge jedes Faktors) und damit stets sinkende Durchschnittserträge, also überhaupt keinen Extrempunkt beim Durchschnittsertrag. Das liegt daran, dass sich Grenz- und Durchschnittsertragskurve nicht schneiden. Beide Kurven sind Hyperbeln und die Durchschnittsertragskurve verläuft stets oberhalb der Grenzertragskurve.

Beispiel: M = x^1/2 * y^1/2 ist eine neoklassische Produktionsfunktion

M'(x) = 1/2 * x^-1/2 * y^1/2

M(x)/x = x^-1/2 * y^1/2

Es gilt also für alle x > 0: M'(x) = 1/2 * M(x)/x d.h. der Grenzertrag ist immer halb so groß wie der Durchschnittsertrag, beide nehmen ab.

Liebe Grüße

Danke für deine Erklärungen Chrissi!
Eines noch:
Was sagt es genau aus, dass die Steigung von M(x) in Pkt p genau M(x)/x ist wenn es ein Maximum ist?
Ich kann das Maximum doch auch auf die altmodische Art mit Differenzieren von M(x)/x bestimmen.
Kann es mir da nicht völlig egal sein, dass dieser Pkt p nun halt auch zufällig dem Steigungswert von M(x) entspricht?🙄
Oder habe ich da jetzt etwas grundsätzlich nicht verstanden....

Der Kurvenverlauf von M(x)/x hängt nicht von M'(x) ab, d.h. die Kurvendiskussion von M(x)/x wird wie immer gemacht. Daneben gilt wie gezeigt, dass in einem Schnittpunkt mit der Grenzertragskurve (wenn es einen gibt) die Steigung von M(x)/x null ist, d.h. M(x)/x dort einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt hat.

Rechne einfach mal ein Beispiel: M(x) = x^2 - 5 * x + 12

Damit ist:

Grenz(ertrags)funktion: M'(x) = 2 * x - 5

Durchschnitts(ertrags)funktion: M(x)/x = x - 5 + 12/x


1. Extrempunkt von M(x)/x

[M(x)/x]' = 1 - 12/x^2 = 0 falls x = 12^1/2

[M(x)/x]'' = 24/x^3 > 0 für alle x > 0

Also: Bei x = 12^1/2 hat M(x)/x ein (das einzige) Minimum


2. Schnittpunkt von M'(x) und M(x)/x

M(x)/x = x - 5 + 12/x = 2 * x - 5 = M'(x)

x - 5 + 12/x = 2 * x - 5

12/x = 2 * x - 5 - x + 5

12/x = x

12 = x^2

x = 12^1/2

Also: M'(x) und M(x)/x schneiden sich bei x = 12^1/2


1. und 2. zusammen: M'(x) und M(x)/x schneiden sich im Minimum von M(x)/x, nämlich bei x = 12^1/2


Beachte: Dass es sich um eine Ertragsfunktion handelt, spielt keine Rolle. Oft wird auch eine Kostenfunktion und ihre Durchschnittskostenfunktion (Synonym: Stückkostenfunktion) betrachtet (M könnte also auch eine Kostenfunktion sein) und auch hier gilt die bedeutende (mathematische) Eigenschaft, dass sich Grenzkosten- und Durchschnittskosten(funktion) im Minimum der Durchschnittskosten(funktion) schneiden, wenn sie sich überhaupt schneiden (Kostenfunktionen sind hierbei so "gestrickt", dass sie tatsächlich ein Minimum haben). Spätestens in Theorie der Marktwirtschaft wird Dir das im Zusammenhang mit der Preisbildung auf einem Konkurrenzmarkt (vollkommene Konkurrenz) begegnen.

Liebe Grüße