Geometrische Reihe

Frau R. gibt jährlich 1500 DM für Zigaretten aus. Über welchen Betrag verfügte sie nach 25 Jahren bei einer jährlichen Verzinsung von 4%, wenn sie das Rauchen aufgeben und am Ende eines jeden Jahres 1500 DM auf ihr Konto einzahlen würde?

a) Zeigen Sie, dass es sich hier um eine geometrische Folge handelt (Angabe des Anfangsglied a1 und des konstanten Quotienten q).

b) Ermitteln Sie aus dem allgemeinen Bildungsgesetz (an=a1*q1^n-1) den angesparten Betrag, wenn in der Zwischenzeit kein Geld abgehoben wird.

Wenn es um einen festen Betrag ginge, der sich einfach durch Zinseszins vermehrt, würde mir die Aufgabe keine Schwierigkeiten bereiten.
Aber nun soll ja gleichzeitig jedes Jahr ein Betrag von 1500 DM hinzukommen und im Folgejahr wiederrum mitverzinst werden.

Zu a) habe ich folgendes:

a1=1500
a2=a1+a1*4/100+a1 = a1*(1+4/100+1) = a1*2,04
a3=a1*2,04+a1= a1*(2,04+1) = a1*3,04

Damit hätte ich für q=(n+i/100).

Diese Berechnung scheint aber total falsch zu sein, da kein Zinseszins entsteht. Wenn ich a1 und q in die unter b) genannte Formel einsetze, zeigt sich gleich, dass die Berechnung nicht stimmen kann.
Unter a3 fehlt ja eigentlich schon die Verzinsung von a2, aber wenn ich
(a1*2,04)*1,04+a1 rechne, wird es noch konfuser...

Ich schätze hier handelt es sich um die allseits beliebte Formel für den Rentenendwertfaktor, d.h es wird jedes Jahr ein konstanter Betrag eingezahlt und mitverzinst und am Ende will man wissen, wieviel man angespart hat.
Ich nehme mal die Formel aus EBWL(Finanzierung):

Rente(konstanter Betrag, der jedes Jahr eingezahlt wird) X REF
= Endwert einer Rente(angepsartes Geld nach 25 Jahren)

In unserem lautet der Endwert:
1500DM x [(1,04 hoch25 - 1) / 1,04 - 1] = 62468,86DM
Soviel Geld hat man also angespart.

@pple schrieb:

Zu a) habe ich folgendes:

a1=1500
a2=a1+a1*4/100+a1 = a1*(1+4/100+1) = a1*2,04
a3=a1*2,04+a1= a1*(2,04+1) = a1*3,04

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Es ist vielleicht einfacher, wenn du für die 1500€ mit r und an Stelle des Zinses i gleich mit dem Faktor q = 1+i rechnet (q wäre hier 1,04):

[tex]s_1=r[/tex]

[tex]s_2=r + q \cdot s_1=r + q \cdot r = r \cdot (1 + q) [/tex]

[tex]s_3=r + q \cdot s_2 = r + q \cdot r \cdot (1+q)=r \cdot (1 + q + q^2)[/tex]

Du siehst hier sehr schön, wie sich der Zinseszins aufbaut. Allgemein:

[tex]s_n=r \cdot (1 + q + q^2 + ... + q^{n-1})[/tex]

Diese Gleichung nun mit dem Faktor (q-1) multiplizieren und nach [tex]s_n[/tex] auflösen. Es entsteht so die bekannte Formel für den Endwert einer nachschüssigen Rente.

Gruß
Stefan