Geometrische Reihe

@pple · 30 Januar 2008

S1=2
S3 ist um 8 größer als S2, also S3=S2+8

Berechnet werden soll S7.

Die Formel für die n-te Partialsumme Sn einer geometrischen Reihe berechnet sich nach der Formel

Sn= a1*(1-q^n)/(1-q)

a1 und q entstammen der zugrundeliegenden geometrischen Folge.

Ist S1=a1 bzw. S2=a1+a2 ?

Dann ist S3=a1+a2+8 ==> also lautet die geometrische Folge {2, 4, 8 ...}
mit a1*2^n-1, da S1=2, S2=6 und S3=14

S7=2*(1-2^n)/(1-2)=128

Ist das richtig so? :confused

ericdanone · 30 Januar 2008

Das Ergebnis ist richtig. Das zweite Glied der Folge könnte man auch berechnen (Bei der Basis 2 sieht man das aber noch sofort).
Gruß
Stefan

@pple · 2 Februar 2008

ericdanone schrieb:
Das Ergebnis ist richtig. Das zweite Glied der Folge könnte man auch berechnen (Bei der Basis 2 sieht man das aber noch sofort).
Gruß
Stefan

Wie wäre Deine Vorgehensweise, wenn die Aufgabe schwieriger ist und die Basis und somit die geometrische Reihe nicht sofort ersichtlich sind?

ericdanone · 2 Februar 2008

kathleen schrieb:
Wie wäre Deine Vorgehensweise, wenn die Aufgabe schwieriger ist und die Basis und somit die geometrische Reihe nicht sofort ersichtlich sind?

q stellt den Quotienten zweier aufeinanderfolgender Elemente der geometrischen Folge dar:

[tex](1) \qquad q=\frac{a_{m+1}}{a_m}
[/tex]

Das m-te Element einer geometrischen Folge lässt sich durch das erste Element und den Quotienten berechnen:

[tex](2) \qquad a_m=a_1\cdot q^{m - 1}[/tex]

Die geometrische Reihe Sn ist die Summe der einzelnen Glieder der geometrischen Folge:

[tex](3) \qquad S_n=\sum_{m=1}^{n}a_m=a_1 \cdot \frac{q^n \, - \, 1}{q-1}[/tex]

Im Beispiel war gegeben:

[tex]S_1=2[/tex] und [tex]S_3=S_2+8 [/tex]

Aus (3) folgt:

[tex]a_1=2[/tex]

Ferner gilt aus (3):

[tex]s_3=s_2+8[/tex]

[tex]a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + a_2 + 8[/tex]

[tex]a_3=8[/tex]

in (2):

[tex]8=2 \cdot q^{(3-1)}[/tex]

[tex]4=q^2[/tex]

[tex]q_1=2 \qquad q_2=-2[/tex]

Die zweite Lösung hatte ich auch übersehen. Aber hiermit kannst Du nun über Formel (3) unmittelbar S7 ausrechnen.

Viele Grüße
Stefan

@pple · 3 Februar 2008

ericdanone schrieb:
q stellt den Quotienten zweier aufeinanderfolgender Elemente der geometrischen Folge dar:

[tex](1) \qquad q=\frac{a_{m+1}}{a_m}
[/tex]

Das m-te Element einer geometrischen Folge lässt sich durch das erste Element und den Quotienten berechnen:

[tex](2) \qquad a_m=a_1\cdot q^{m - 1}[/tex]

Die geometrische Reihe Sn ist die Summe der einzelnen Glieder der geometrischen Folge:

[tex](3) \qquad S_n=\sum_{m=1}^{n}a_m=a_1 \cdot \frac{q^n \, - \, 1}{q-1}[/tex]

Im Beispiel war gegeben:

[tex]S_1=2[/tex] und [tex]S_3=S_2+8 [/tex]

Aus (3) folgt:

[tex]a_1=2[/tex]

Ferner gilt aus (3):

[tex]s_3=s_2+8[/tex]

[tex]a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + a_2 + 8[/tex]

[tex]a_3=8[/tex]

in (2):

[tex]8=2 \cdot q^{(3-1)}[/tex]

[tex]4=q^2[/tex]

[tex]q_1=2 \qquad q_2=-2[/tex]

Die zweite Lösung hatte ich auch übersehen. Aber hiermit kannst Du nun über Formel (3) unmittelbar S7 ausrechnen.

Viele Grüße
Stefan

Vielen Dank!

Zu Formel 3: muss es nicht
[tex](3) \qquad S_n=\sum_{m=1}^{n}a_m=a_1 \cdot \frac{1 \, - \, q^n}{1-q}[/tex] lauten?

Wie ermittelst Du a1 direkt aus dieser Formel, ohne q zu kennen?
Muss man a1 überhaupt "berechnen", wenn [tex]S_1[/tex] gegeben ist? Nach meinem Verständnis entspricht [tex]a_1[/tex] immer [tex]S_1[/tex].

[tex]S_7[/tex] ist dann 254 und nicht 128, oder?

ericdanone · 3 Februar 2008

kathleen schrieb:
Zu Formel 3: muss es nicht
[tex](3) \qquad S_n=\sum_{m=1}^{n}a_m=a_1 \cdot \frac{1 \, - \, q^n}{1-q}[/tex] lauten?

Beide Formeln drücken den gleichen Sachverhalt aus, welche man wählt ist reine Geschmackssache, da:

[tex]\frac{q^n \,- \, 1}{q-1}=\frac{-1}{-1} \cdot \frac{q^n \, - \, 1}{q-1}= \frac{- \, q^n \, + \, 1}{-q + 1} = \frac{1 - q^n}{1-q}[/tex]

Der Vorteil deiner Schreibweise ist jedoch, dass du nicht Gefahr läufst, die 1 bei dem Exponenten abzuziehen.

Wie ermittelst Du a1 direkt aus dieser Formel, ohne q zu kennen?
Muss man a1 überhaupt "berechnen", wenn [tex]S_1[/tex] gegeben ist? Nach meinem Verständnis entspricht [tex]a_1[/tex] immer [tex]S_1[/tex].

Stimmt. Das folgt unmittelbar aus Formel (3). Da n=1 ist, fällt der Bruch weg (wird zu 1).

[tex]S_7[/tex] ist dann 254 und nicht 128, oder?

Stimmt auch:

[tex]S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=2+4+8+16+32+64+128=254[/tex]

(@ 128: das sind meine typischen Flüchtigkeitsfehler, die mir dann immer die Note versauen 🙄)

Viele Grüße
Stefan

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