Fragen zur Vektorrechnung

diekleinepille

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Huhu

Also ich bin seit dem SS08 dabei, also ganz frisch =)
Da ich einen Schock beim Anblick des Matheskriptes der Uni bekommen habe, habe ich mich dazu entschlossen, bevor ich das Skript überhaupt bearbeite, das Buch von Peter Dörsam "Mathe anschaulich dargestellt" durchzuarbeiten.

Nun bin ich bei der Vektorrechnung und hab einige Fragen, da ich das vorher nie hatte, auch nicht im Wirtschaftsabi.

Also:

1.) Wenn 3 Vektoren in einer Ebene liegen, dann sind sie l.a. Soweit so gut.
Wenn nun c=2*a+b ergibt, kann ich dann auch einfach rechnen b=c-a, wenn ich b rauskriegen möchte? Oder wie geht das vonstatten? für a steht im Buch a=0,5c-0,5b, das hab ich auch soweit verstanden.

2.) Die Komplanaritätsbedingungen lauten ja: la + mb = c oder a = lb
Jetzt steht darunter ein Satz, den ich nicht ganz nachvollziehen kann:
"Die erste Gleichung allein reicht nicht aus, denn wenn a und b schon untereinander l.a. sind, so liegen die drei Vektoren immer in einer Ebene, auch wenn sich c nicht als Linearkombination durch a und b darstellen lässt."
Also: Was bedeutet der Satz? Was genau bedeutet untereinander l.a. ? Was bedeutet es, wenn sich c nicht darstellen lässt?

Zuvor habe ich gelesen, dass Vektoren dann l.a. sind, wenn sich der eine durch ein Vielfaches des anderen darstellen lässt. Oder gilt diese Definition lediglich bei zwei Vektoren und nicht bei 3?

3.) - Was bedeutet zweidimensionale Vektoren?
(Einfach 2 Vektoren vorhanden?)
- Was bedeutet IR² und IR³ ?


Hoffe ich hab euch nicht zuviel Arbeit verschafft und ihr könnt mir helfen. Bin eine Mathenull daher bitte in verständlicher Weise erklären ^^ Danke=)

So dann wünsch ich euch mal viel Spaß *g*

Grüße
Simon
 
Ich versuch mal einen Anfang und hoffe, dass hier noch ein paar Wissende vorbeischauen.

Vektoren kann man sich als Bezeichner für einen Raum vorstellen. Die Anzahl der Dimensionen wird mit der Anzahl der linear unabhängigen Vektoren festgelegt. Ein schöner Begriff ist hier: Vektoren spannen einen Raum auf.

Recht einfach ist das im zweidimensionalen Raum, der sich mit einem Koordinatensystem auf einem Blatt Papier einfach vorstellen lässt. Hier sind zwei unabhängige Vektoren schon ausreichend.
Der dreidimensionale Raum (also auch die Bewegung in die Höhe) ist nur dann möglich, wenn es einen dritten unabhängigen Vektor gibt.
 
ninabendig schrieb:
Ich versuch mal einen Anfang und hoffe, dass hier noch ein paar Wissende vorbeischauen.

Vektoren kann man sich als Bezeichner für einen Raum vorstellen. Die Anzahl der Dimensionen wird mit der Anzahl der linear unabhängigen Vektoren festgelegt. Ein schöner Begriff ist hier: Vektoren spannen einen Raum auf.

Recht einfach ist das im zweidimensionalen Raum, der sich mit einem Koordinatensystem auf einem Blatt Papier einfach vorstellen lässt. Hier sind zwei unabhängige Vektoren schon ausreichend.
Der dreidimensionale Raum (also auch die Bewegung in die Höhe) ist nur dann möglich, wenn es einen dritten unabhängigen Vektor gibt.
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Also sehe ich das richtig, dass die Dimension nur was mit unabhängigen Vektoren zu tun hat?
 
diekleinepille schrieb:
Also sehe ich das richtig, dass die Dimension nur was mit unabhängigen Vektoren zu tun hat?
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Nur linear unabhängige Vektoren können einen Raum aufspannen. Diese bilden dann die Basis. Die Anzahl der Basisvektoren ergibt die Dimension des aufgespannten Raums. Dimensionen werden durch die Hochzahl beim R angegeben. btw: immer wieder mal in den Klausuren abgefragt worden, ob die gegebenen Vektoren einen Raum angeben und wenn ja, welchen.
 
und nach einem kurzen Kampf mit dem Formeleditor:

[tex] \mathbb{R}^0 [/tex] ist ein Punkt.
[tex] \mathbb{R}^1 [/tex] ist ein Linie (eindimensional).
[tex] \mathbb{R}^2 [/tex] ist ein Ebene (zweidimensional) => sowie ein Blatt Papier
[tex] \mathbb{R}^3 [/tex] ist ein Raum mit den uns vorstellbaren 3 Dimensionen (dreidimensional).

Es gibt Räume mit mehr Dimensionen, aber da macht mein Vorstellungskraft nicht so ganz mit. Ich hab´s einfach nur zur Kenntnis genommen.
 
Danke schon einmal für die Antworten =)

Ich merke schon, dass ich mich da doch intensiver reinlesen muss.

Im Dörsam sind das die Seiten zur Vektorenrechnung, speziell Seite 18-20 in der 13. Auflage.
Hoffe mir kann einer die übrigen Fragen auch noch beantworten.


Grüße

Simon
 
Also ich hatte inner Shule nur Mathegrundkurs und hab von Vektoren bis letzte Tage als ich das Skript angefangen habe noch nichts gehört.
Habe mir ein Buch aus der Bibliothek geholt:

Mathematik zum Studienbeginn
Arnfried Kemnitz
Vieweg Verlag
ISBN 3-528-56990-5

Das hat mir bis jetzt über alle Schwierigkeiten hinweggeholfen.

Falls das jemanden interessiert 🙄

LG und bloß nicht verzweifeln an Mathe. Das klappt schon. Sag ich mir immer
 
diekleinepille schrieb:
1.) Wenn 3 Vektoren in einer Ebene liegen, dann sind sie l.a. Soweit so gut.
Wenn nun c=2*a+b ergibt, kann ich dann auch einfach rechnen b=c-a, wenn ich b rauskriegen möchte?
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Wenn Du b = c - 2a schreibst, wird's richtig.

diekleinepille schrieb:
2.) Die Komplanaritätsbedingungen lauten ja: la + mb = c oder a = lb
Jetzt steht darunter ein Satz, den ich nicht ganz nachvollziehen kann:
"Die erste Gleichung allein reicht nicht aus, denn wenn a und b schon untereinander l.a. sind, so liegen die drei Vektoren immer in einer Ebene, auch wenn sich c nicht als Linearkombination durch a und b darstellen lässt."
Also: Was bedeutet der Satz? Was genau bedeutet untereinander l.a. ? Was bedeutet es, wenn sich c nicht darstellen lässt?
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Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist.

Zwei linear unabhängige Vektoren spannen eine Ebene auf. (Was das mathematisch genau bedeutet, lass ich jetzt mal weg. Stell Dir ein Blatt Papier, ein straff gespanntes Segel oder so ähnlich vor.) Diese Ebene wird von den Vektoren a und c aufgespannt.

Jetzt stell Dir den Vektor b als Bleistift vor. Dieser rage zunächst aus dem Papier heraus. Dann sind die drei Vektoren linear unabhängig. In diesem Fall lässt sich c nicht darstellen.

Nun liege der Bleistift auf dem Papier, das bedeutet, dass er ein "Teil" des Papiers, sprich der Ebene ist. Dann sind die Vektoren linear abhängig und c lässt sich durch a und b darstellen. Darstellen bedeutet gerade die Gleichung, die Du oben geschrieben hast:

[tex] \lambda a + \mu b = c[/tex]

Damit beantwortet sich auch diese Frage:

diekleinepille schrieb:
Zuvor habe ich gelesen, dass Vektoren dann l.a. sind, wenn sich der eine durch ein Vielfaches des anderen darstellen lässt. Oder gilt diese Definition lediglich bei zwei Vektoren und nicht bei 3?
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Das mit dem Vielfachen gilt nur bei zwei Vektoren. Für drei Vektoren brauchst Du die obige Gleichung. D.h. Du nimmst Vielfaches von den Vektoren a und b und addierst diese Vielfachen. Das nennt man Linearkombination.
 
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