Fragen von @pple

@pple · 16 Februar 2008

Da ich hier so viele Beiträge einstelle, dass die der anderen Nutzer auf die zweite Seite gedrängt werden, habe ich beschlossen, ein Sammelthread für
meine Fragen zu erstellen. Wie Ihr bestimmt schon bemerkt habt, muss ich noch eine Menge bis zur Klausur tun und ich hoffe sehr, dass Ihr nicht so schnell die Geduld verliert und ich den Mathe-Schein endlich hinter mich bringen kann. Damit der Überblick nicht verloren geht, werde ich die Aufgaben durchnummerieren. Die Aufgaben, zu denen ich noch keine Antwort erhalten habe, habe ich rot markiert.

Ich weiß Eure Hilfe sehr zu schätzen!!! :danke:

PS. Die meisten Aufgaben stammen aus den Brückenkurs-Klausuren, für die ich keine Musterlösung habe.

@pple · 16 Februar 2008

Aufgabe 1

Eine Nachricht soll nach dem Schneeball-System verbreitet werden.
Zu Beginn werden 8 Briefe abgesandt mit der Bitte an alle Empfänger, jeweils weitere 8 Personen anzuschreiben. Dieser Bitte kommen in jeder Runde die Hälfte der Empfänger nach.

Es soll die Anzahl der Briefe, die in den ersten fünf Runden insgesamt versendet werden, ermittelt werden.

Die Partialsumme einer geometrischen Reihe ist also gesucht und ich bin wie folgt an die Aufgabe rangegangen:

Ich habe die Aufgabe so verstanden, dass der Erstversand, der das Schnellball-System anstößt, nicht als Runde mitgezählt werden soll.

8 => Erstversand
1. Runde: 4*8=32
2. Runde: 16*8=128
3. Runde: 64*8=512
4. Runde: 256*8=2048
5. Runde: 1024*8=8192

Die geometrische Folge lautet also (32, 128, 512, 2048, 8192)
also bin ich auf das Bildungsgesetz 4^n*8 gekommen und Summe der Folgenglieder ist 10912.

Wenn ich nun die Formel für die n-Partialsumme angebe, erhalte ich aber
S5=a1*(1-q^n)/1-q=32*(1-8^5)/1-8=149.792

Wo liegt der Fehler?

@pple · 16 Februar 2008

Degressive Abschreibung

Aufgabe 2

L kauft zu Beginn eines Jahres Mähdrescher. AK 200TGE
Wertverlust nach Ablauf eines Jahres beträgt 10% vom jeweiligen Wert zu Beginn des Jahres.

Zeigen, dass geometrische Folge vorliegt sowie aus allgemeinem Bildungsgesetz der geom. Folge die Bestimmungsgl. für Restwert y nach Ablauf von x= 5 Jahren ermitteln

a1=200T*0,9
a2=a1*0,9
a3=a2*0,9
.
a5=a1*0,9^n-1
= 118.098GE

Ist das ok?

@pple · 16 Februar 2008

3. Aufgabe

Von dem Polynom P5(x)=x^5-11x^4+32x^3-4x^2-48x seien die Nullstellen
x1=2 und X2=4 bekannt.

Ermitteln Sie die übrigen Nullstellen und zerlegen Sie das Polynom vollständig
in Linearfaktoren.

Erst habe ich x ausgeklammert und somit an der Stelle 0 eine weitere NST erhalten. Bei der verbliebenen Funktion 4. Grades habe ich durch Probieren
die Nullstelle (-1,0) gefunden. Nun fehlte mir noch eine NST, da P5, also
wollte ich folgende Polynomdivision durchführen
(x^4-11x^3+32x^2-4x-48)/(x+1)
Dort habe ich dann aber einen Rest von 8 erhalten und bin also nicht weitergekommen.

Da die Linearfaktorzerlegung durchgeführt werden soll, könnte ich die Nullstellen ja daraus ableiten, wenn ich fünf Terme erhalte. Leider weiß ich nicht wie ich eine Funktion mit einem Grad dieser Größenordnung zerlegen soll. Ich kann mir nur ableiten, dass folgende Terme enthalten sein müssen (x-2)*(x-4)*(x+1)

Fehlen also noch zwei Terme...

ericdanone · 16 Februar 2008

@pple schrieb:
Aufgabe 1

Wo liegt der Fehler?

Das erste Element ist 8 und der "Wachstumsfaktor" ist 4.

@pple · 16 Februar 2008

ericdanone schrieb:
Das erste Element ist 8 und der "Wachstumsfaktor" ist 4.

Vielen Dank!

Weil auf 8 Empfänger 4 weitere Briefe kommen und der Erstversand mitgezählt wird?
Jetzt kommt allerdings eine krumme Zahl raus.

ericdanone · 16 Februar 2008

@pple schrieb:
Aufgabe 2

118.098GE

Ist das ok?

Der Wert ist richtig, die Formel jedoch nicht ganz. Bei der geometrischen Folge gibt es einen festen Quotienten q zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Elementen, der hier 0,9 ist. Du hast diesen Quotienten allerdings schon in das erste Element a1 eingebaut. Am einfachsten ist, wenn du definierst, dass deine Folge mit a0=200 beginnt.

Gruß
Stefan

ericdanone · 16 Februar 2008

@pple schrieb:
3. Aufgabe

Das Ausklammern von x war richtig, d.h. du hast eine weitere Nullstelle mit x=0. Um die übrigen Nullstellen zu finden, hilft raten aber nicht unbedingt weiter. Da ja zwei Nullstellen gegeben sind, ist eine Polynomdivision angesagt. Dies geht mit dem Horner-Schema. Hier dividierst du die Gleichung, die du nach dem Ausklammern von x erhalten hast durch (x-2) und das Ergebnis dann nochmal durch (x-4). Du hast dann eine quadratische Gleichung, die du mit der pq-Formel lösen kannst.

Gruß
Stefan

ericdanone · 16 Februar 2008

@pple schrieb:
Jetzt kommt allerdings eine krumme Zahl raus.

Sollte nicht passieren. Bitte nochmal nachrechnen. Du musst hier jedoch auch n um eins erhöhen, d.h. bis zur Runde 6 rechnen oder aber mit a0=8 beginnen.

@pple · 16 Februar 2008

ericdanone schrieb:
Der Wert ist richtig, die Formel jedoch nicht ganz. Bei der geometrischen Folge gibt es einen festen Quotienten q zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Elementen, der hier 0,9 ist. Du hast diesen Quotienten allerdings schon in das erste Element a1 eingebaut. Am einfachsten ist, wenn du definierst, dass deine Folge mit a0=200 beginnt.

Gruß
Stefan

Wenn ich dann in der Formel a1 durch a0 ersetzte, würde es also wieder stimmen.

@pple · 16 Februar 2008

ericdanone schrieb:
Das Ausklammern von x war richtig, d.h. du hast eine weitere Nullstelle mit x=0. Um die übrigen Nullstellen zu finden, hilft raten aber nicht unbedingt weiter. Da ja zwei Nullstellen gegeben sind, ist eine Polynomdivision angesagt. Dies geht mit dem Horner-Schema. Hier dividierst du die Gleichung, die du nach dem Ausklammern von x erhalten hast durch (x-2) und das Ergebnis dann nochmal durch (x-4). Du hast dann eine quadratische Gleichung, die du mit der pq-Formel lösen kannst.

Gruß
Stefan

Und was sagst Du zu der Linearfaktorzerlegung, die in der Aufgabenstellung gefragt ist? Weißt Du wie es bei dieser Aufgabe funktioniert?
Könnte ich diese dann nicht auch zur Nullstellenbestimmung nutzen?

@pple · 16 Februar 2008

ericdanone schrieb:
Sollte nicht passieren. Bitte nochmal nachrechnen. Du musst hier jedoch auch n um eins erhöhen, d.h. bis zur Runde 6 rechnen oder aber mit a0=8 beginnen.

Jetzt komme ich auf die 10.920

Zwei Dinge verunsichern mich allerdings. Mit meinem falschen Lösungsansatz bin ich auf die 10912 gekommen, also ohne die 8 Erstbriefe. Erst bei Verwendung der Partialsummenformel zeigt sich, dass da etwas nicht stimmt.
Ist das ein Zufall, der an der Zahlenkonstellation liegt?
Und wenn ich z.B. ein Glied der Folge berechnen würde, z.B. für die 5. Runde,
dann rechne ich a1*4^6-1. Aber eigentlich rechnet man doch schon q^n-1,
damit das erste Glied nicht betroffen ist. Dass in a1 kein q enthalten sein darf, habe ich verstanden. Dass nun hier um eins erhöht werden muss, liegt doch nur daran, dass a1 nicht der ersten Runde entspricht (bzw. in der Abschreibungsaufgabe ist der Wert für das erste Jahr=a2), oder?

D.h. würden die Aufgabenstellungen lauten: Ermittle nur den Folgeversand bzw. den Restwert zu Beginn des Folgejahres, dann bräuchte man n nicht um eins erhöhen. Ist das so oder sollte ich für heute lieber Feierabend machen? :confused

ericdanone · 17 Februar 2008

@pple schrieb:
Jetzt komme ich auf die 10.920

Zwei Dinge verunsichern mich allerdings. Mit meinem falschen Lösungsansatz bin ich auf die 10912 gekommen, also ohne die 8 Erstbriefe. Erst bei Verwendung der Partialsummenformel zeigt sich, dass da etwas nicht stimmt.
Ist das ein Zufall, der an der Zahlenkonstellation liegt?
Und wenn ich z.B. ein Glied der Folge berechnen würde, z.B. für die 5. Runde,
dann rechne ich a1*4^6-1. Aber eigentlich rechnet man doch schon q^n-1,
damit das erste Glied nicht betroffen ist. Dass in a1 kein q enthalten sein darf, habe ich verstanden. Dass nun hier um eins erhöht werden muss, liegt doch nur daran, dass a1 nicht der ersten Runde entspricht (bzw. in der Abschreibungsaufgabe ist der Wert für das erste Jahr=a2), oder?

D.h. würden die Aufgabenstellungen lauten: Ermittle nur den Folgeversand bzw. den Restwert zu Beginn des Folgejahres, dann bräuchte man n nicht um eins erhöhen. Ist das so oder sollte ich für heute lieber Feierabend machen? 😕

Eine Folge beginnt meistens mit den Index 1. Wenn Du dann noch 5 Runden durchlaufen willst, muss der Index bis 1+5=6 gehen. Das ist manchmal verwirrend. Eine Nebenrechnung zur Kontrolle ist manchmal sinnvoll.

ericdanone · 17 Februar 2008

@pple schrieb:
Und was sagst Du zu der Linearfaktorzerlegung, die in der Aufgabenstellung gefragt ist? Weißt Du wie es bei dieser Aufgabe funktioniert?
Könnte ich diese dann nicht auch zur Nullstellenbestimmung nutzen?

Linearfaktorzerlegung und Polynomdivision sind Synonyme. Nach der Linearfaktorzerlegung hat du ein Produkt aus 5 Faktoren, von denen eines das x und die anderen vier Klammern mit Summen und Differenzen sind. Wenn du x so wählst, dass eine dieser Klammern Null wird, hast du eine Nullstelle gefunden.

Es wurde zwei Nullstellen vorgegeben: x1=2 und x2=4 hieraus kannst du folgende Klammern ableiten: (x-2) und (x-4). Nach dem Ausklammern von x bleibt folgender Term übrig:

[tex]1 \cdot x^4-11 \cdot x^3+32 \cdot x^2-4 \cdot x-48[/tex]

Dieser wird nun durch die erste Klammer (x-2) dividiert. Das Ergebnis dann durch die zweite Klammer. Das geht mit dem Hornerschema. Vgl. hierzu beiliegende pdf.

Gruß
Stefan

@pple · 17 Februar 2008

ericdanone schrieb:
Eine Folge beginnt meistens mit den Index 1. Wenn Du dann noch 5 Runden durchlaufen willst, muss der Index bis 1+5=6 gehen. Das ist manchmal verwirrend. Eine Nebenrechnung zur Kontrolle ist manchmal sinnvoll.

Ähm also doch die Begründung, die in meinem letzten Absatz steht?! Aber jetzt habe ich es definitiv verstanden. Werde lieber das Erhöhen von n als die Einführung von a0 favorisieren, damit die Formel stimmt, die sie haben wollen.

@pple · 17 Februar 2008

ericdanone schrieb:
Linearfaktorzerlegung und Polynomdivision sind Synonyme. Nach der Linearfaktorzerlegung hat du ein Produkt aus 5 Faktoren, von denen eines das x und die anderen vier Klammern mit Summen und Differenzen sind. Wenn du x so wählst, dass eine dieser Klammern Null wird, hast du eine Nullstelle gefunden.

Es wurde zwei Nullstellen vorgegeben: x1=2 und x2=4 hieraus kannst du folgende Klammern ableiten: (x-2) und (x-4). Nach dem Ausklammern von x bleibt folgender Term übrig:

[tex]1 \cdot x^4-11 \cdot x^3+32 \cdot x^2-4 \cdot x-48[/tex]

Dieser wird nun durch die erste Klammer (x-2) dividiert. Das Ergebnis dann durch die zweite Klammer. Das geht mit dem Hornerschema. Vgl. hierzu beiliegende pdf.

Gruß
Stefan

Vielen Dank! Meine Güte, Du stehst Sonntags aber früh auf. Mich hat gerade die Prüfungsangst aus dem Bett getrieben... 😛

@pple · 17 Februar 2008

Aufgabe 4

Von den Gesamtkosten K einer Bleistiftfabrik nimmt man an, dass sie durch ein Polynom dritten Grades beschrieben werden kann, folgende Angaben liegen dabei vor:

Fixkosten: 12GE
Grenzkosten K'(2)=0
Grenzkostenfunktion besitzt an der Stelle 2 ein Minimum
Die Gesamtkosten für x=2 belaufen sich auf 20GE

Bestimmen Sie die Kostenfunktion?

Hinweis: Beachten Sie, dass es sich um ein Minimum der Grenzkostenfunktion K'(x) handelt.

Daraus habe ich mir folgende "Skizze" gebastelt:

K(x)=20
K'(x) hat an der Stelle 2 eine Nullstelle, also K'(2)=0
K''(x)>0, da Minimum vorliegen soll

Gesucht ist die Kostenfunktion für 2ME mit dem Ergebnis 20
Für folgende Funktion wäre die Gleichung erfüllt
K(2)=x^3+x^2+12

Also habe ich die abgeleitet und versucht aus der Funktion die Nullstellen zu ermitteln, in der Hoffnung, dass eine davon 2 ist und K(x) ok ist.
Natürlich hat das nicht funktioniert (unter der Wurzel ergibt sich sogar ein Negativbetrag), weil sich die 20 ja auch durch andere Konstellationen ergeben können. Z.B. Ergeben auch x^3+12 und x^3+2x+12 auch 20

Zwischenzeitlich dachte ich auch K'(2)=0 ist so zu interpretieren, dass bei 2ME keine variablen Kosten anfallen, was auch unlogisch ist und dann wäre K ja 12 und nicht 20.

Wie löst man die Aufgabe ohne endloses Rumprobieren?

@pple · 17 Februar 2008

Augabe 5

Ein Ball wird vom Rand eines Turmes in eine Ebene hinabgeworfen. Die Flugbahn wird dabei durch die Funktion f(x)= -1/20x^2+x+40 beschrieben.

a) Stellen Sie eine Wertetabelle auf und zeichnen Sie den Funktionsverlauf der Flugbahn.

Die Wertetabelle ergibt folgende Wertepaare (10/40), (20/40), (30/40), (40/0)

Der Turm ist also ca. 40 Meter hoch und der Ball fliegt erstmal 30 Meter geradeaus, fällt dann runter und kommt nach weiteren 10 Metern auf dem Boden auf.

b) Berechnen Sie mit Mitteln der Differentialrechnung den höchsten Punkt der Flugbahn.

Die erste Ableitung würde den höchsten Wert an der Stelle 10 ergeben, also 40 Meter. Aber liegt bei einem Extrema nicht eine "Spitze" vor oder ist der höchste Punkt einfach nur ein globales Extrema, dass dann auch an den Stellen 20 und 30 vorliegt?

c) Bestimmen Sie die Entfernung vom Turm aus, nachdem der Ball den Boden berührt hat, indem Sie die entsprechende NST der Funktion berechnen.

Durch die Wertetabelle ergibt sich doch die Nullstelle bei 40 Metern. Was soll ich denn da noch berechnen??

ericdanone · 17 Februar 2008

@pple schrieb:
Aufgabe 4

Die Kostenfunktion lautet allgemein:

[tex]K(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex]

Es sind auch einige Punkte gegeben, die sich jedoch auf verschiedene Ableitungen beziehen. Beachte, dass hier auf das Minimum der Grenzkostenfunktion verwiesen wird, d.h. K''(2)=0. Gleichzeitig gilt K(2)=20, K'(2)=0 und K(0)=12. Einfach die Punkte in die unterschiedlichen Gleichungen einsetzen und das Gleichungssystem auflösen.
Gruß
Stefan

@pple · 17 Februar 2008

ericdanone schrieb:
Die Kostenfunktion lautet allgemein:

[tex]K(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex]

Es sind auch einige Punkte gegeben, die sich jedoch auf verschiedene Ableitungen beziehen. Beachte, dass hier auf das Minimum der Grenzkostenfunktion verwiesen wird, d.h. K''(2)=0. Gleichzeitig gilt K(2)=20, K'(2)=0 und K(0)=12. Einfach die Punkte in die unterschiedlichen Gleichungen einsetzen und das Gleichungssystem auflösen.
Gruß
Stefan

Ich probiere das mal aus. Danke!
Darf ich mit der Formel 20=ax^3+b^x^2+cx+d arbeiten, da dort bereits festgelegt ist, dass die Gleichung für x=2 stimmen muss?

Redest Du von einem normalen Gleichungssystem oder von der Lagrange-Technik? (Habe eben was dazu im Dörsam gefunden)

ericdanone · 17 Februar 2008

@pple schrieb:
Darf ich mit der Formel 20=ax^3+b^x^2+cx+d arbeiten,

Für x musst du hier 2 einsetzen und hast schon eine der Gleichungen. Mit Gleichungssystem meine ich ein einfaches lineares, das man z.B. mit dem Gauß-Algorithmus lösen kann. Variablen sind a, b, c, d. D.h. du brauchst vier Gleichungen.
Gruß
Stefan

ericdanone · 17 Februar 2008

@pple schrieb:
Augabe 5
Die Wertetabelle ergibt folgende Wertepaare (10/40), (20/40), (30/40), (40/0)

Die Werte solltest du nochmal nachrechnen, dann lösen sich die anderen Fragen auch wie von selbst.

@pple · 18 Februar 2008

Frage 7

Ich habe hier zwei Fragen zur Klausur 03/00

Zur Aufgabe 6:
Sehe ich das richtig, dass hier nur die Determinante berechnet wird? Ist das die allgemeine Schreibweise für die Determinante?

Zur Aufgabe 15:
Was bedeutet die (2) über dem Dreieck? Es soll die 2. Differenz-"Ebene" ermittelt werden?

Leider stehen die Klausuren erst ab 09/01 online, sonst hätte ich verlinkt.

loddar · 18 Februar 2008

@pple schrieb:
Frage 6: zur Binomischen Formel:

[tex](0,05x-3)^3=((0,05x)^3-3\cdot(0,05x)^2\cdot3^1-3\cdot(0,05x)^1\cdot3^2+3^3)[/tex]

Ist das richtig?

Nein, die beiden letzten Vorzeichen sind verkehrt.

@pple schrieb:
Kann man wirklich die [tex]3^3[/tex], die nicht von x abhängig ist und zu den fxen Kosten gehört, einfach so aus der binomischen Formel nehmen?

Ja, du sagst es ja selbst "DIE NICHT VON X ABHÄNGIG IST"

loddar · 18 Februar 2008

@pple schrieb:
Frage 7

Ich habe hier zwei Fragen zur Klausur 03/00

Zur Aufgabe 6:
Sehe ich das richtig, dass hier nur die Determinante berechnet wird? Ist das die allgemeine Schreibweise für die Determinante?

das ist die Alternativschreibweise zu 'det A'

@pple schrieb:
Zur Aufgabe 15:
Was bedeutet die (2) über dem Dreieck? Es soll die 2. Differenz-"Ebene" ermittelt werden?

Ja, Es soll das 3. Folgenglied der zweiten Differenzenfolge berechnet werden

@pple · 18 Februar 2008

loddar schrieb:
das ist die Alternativschreibweise zu 'det A'

Ja, Es soll das 3. Folgenglied der zweiten Differenzenfolge berechnet werden

@pple · 18 Februar 2008

ericdanone schrieb:
Die Werte solltest du nochmal nachrechnen, dann lösen sich die anderen Fragen auch wie von selbst.

Die neue Wertetabelle lautet: (10/45), (20/40), (30,25), (40/0)

Nun habe ich eine leicht konkave (fallende) Kurve. Wenn ich Werte wähle, die kleiner als 10 sind, werden die y-Werte kleiner und ich habe an der Stelle 10 tatsächlich eine Spitze (Maximum). Die Entfernung vom Turm beträgt nach meinem Verständnis weiterhin 40m, da dort der Punkt (40/0) liegt.
Die Nullstellenberechnung ergibt Nullstellen bei -20 und 40. Werde das einfach hinschreiben, wenn gefordert und die Grafik als zusätzliche Orientierung ansehen. Ich bin bei Wiki darauf gestoßen, dass bei einer konkaven Funktion die erste Ableitung fallend sein muss und wollte das natürlich ausprobieren. Habe die Ableitung [tex]f'(x)=-\frac{1}{10}x+1[/tex] gezeichnet und festgestellt, dass der Graph für die Werte 10, 20, 30, 40 eine fallende Gerade ergibt, aber wenn ich z.B. für die Stellen 5 oder 15 zeichne, liegen die Werte vor und hinter der Nullstelle eng an der x-Achse und es ist vorbei mit der Geraden. Ist das einfach nur eine Verzehrung aufgrund des Maßstabs?

@pple · 19 Februar 2008

loddar schrieb:
Nein, die beiden letzten Vorzeichen sind verkehrt.

Vielen Dank! Jetzt haut es hin mit den 26€.

Ja, du sagst es ja selbst "DIE NICHT VON X ABHÄNGIG IST"

Trotzdem noch eine blöde Frage zur Sicherheit. Wäre es ein [tex]3^2[/tex], d.h. die zusätzlichen fixen Kosten wären in einer [tex](....)^2[/tex] gewesen, hätte ich fixe Kosten in Höhe von 109€ erhalten, oder?

loddar · 19 Februar 2008

@pple schrieb:
Wäre es ein [tex]3^2[/tex], d.h. die zusätzlichen fixen Kosten wären in einer [tex](....)^2[/tex] gewesen, hätte ich fixe Kosten in Höhe von 109€ erhalten, oder?

richtig, in diesem Fall wären es 109 €.

@pple · 19 Februar 2008

ericdanone schrieb:
Linearfaktorzerlegung und Polynomdivision sind Synonyme. Nach der Linearfaktorzerlegung hat du ein Produkt aus 5 Faktoren, von denen eines das x und die anderen vier Klammern mit Summen und Differenzen sind. Wenn du x so wählst, dass eine dieser Klammern Null wird, hast du eine Nullstelle gefunden.

Es wurde zwei Nullstellen vorgegeben: x1=2 und x2=4 hieraus kannst du folgende Klammern ableiten: (x-2) und (x-4). Nach dem Ausklammern von x bleibt folgender Term übrig:

[tex]1 \cdot x^4-11 \cdot x^3+32 \cdot x^2-4 \cdot x-48[/tex]

Dieser wird nun durch die erste Klammer (x-2) dividiert. Das Ergebnis dann durch die zweite Klammer. Das geht mit dem Hornerschema. Vgl. hierzu beiliegende pdf.

Gruß
Stefan

Ich habe jetzt zusätzlich die Nullstellen

[tex]x_0=0[/tex], [tex]x_3=6[/tex] und [tex]x_4=-1[/tex] erhalten.

Die Zerlegung lautet also: [tex]x_o\cdot(x_1-2)\cdot(x_2-4)\cdot(x_3-6)\cdot(x_4+1)[/tex]

NBl · 19 Februar 2008

@pple schrieb:
Ich habe jetzt zusätzlich die Nullstellen

[tex]x_0=0[/tex], [tex]x_3=6[/tex] und [tex]x_4=-1[/tex] erhalten.

Die Zerlegung lautet also: [tex]x_o\cdot(x_1-2)\cdot(x_2-4)\cdot(x_3-6)\cdot(x_4+1)[/tex]

Setz doch mal x_0 = 0 in Deine Gleichung ein, Du mußt dann (mal wieder) eine wahre Aussage erhalten.

[tex] 0^4 -11 \cdot 0^3 + 32 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 - 48 = 0 \Rightarrow -48 = 0 [/tex]

Folglich ist x_0 = 0 falsch... (Man kann es ganz schnell auch daran erkennen, daß Du, falls Du Deine Zerlegung ausmultiplizierst, eine Gleichung mit x^5 erhalten würdest...)

Alle anderen Nullstellen stimmen 🙂

----

Nachtrag: Deine Formulierung ist so nicht ganz korrekt. Du darfst bei der Zerlegung keine Indizes an die "x" machen - sonst sind das ja verschiedene Größen.

Besser:

[tex]
(x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot (x-x_3) \cdot (x-x_4) = 0
[/tex]

Jetzt kannst Du Deine Nullstellen

[tex]
x_1 = 2 \quad x_2 = 4 \quad x_3 = 6 \quad x_4 = -1
[/tex]

einsetzen und erhälst:

[tex]
(x-2) \cdot (x-4) \cdot (x-6) \cdot (x- (-1) ) = 0
[/tex]

Allgemein könntest Du also schreiben:

[tex]
\prod_i^{NN} (x-x_i) = 0 \qquad \mbox{mit } NN = \mbox{Anzahl der Nullstellen}
[/tex]

@pple · 19 Februar 2008

ericdanone schrieb:
Für x musst du hier 2 einsetzen und hast schon eine der Gleichungen. Mit Gleichungssystem meine ich ein einfaches lineares, das man z.B. mit dem Gauß-Algorithmus lösen kann. Variablen sind a, b, c, d. D.h. du brauchst vier Gleichungen.
Gruß
Stefan

Ich habe jetzt folgende Gleichungen ermittelt:

[tex]20=8a+4b+2c+d[/tex]

[tex]Null=12a+4b+c[/tex]

[tex]x=12a+2b[/tex] Da das Ergebnis [tex]>0[/tex] sein soll

Jetzt habe ich aber das Problem, dass mein Endtabelau wie folgt aussieht:

[tex]8 .... 4 ....2.... 1 .............20[/tex]

[tex]0.... -8 ....-8 ....-6....... -120[/tex]

[tex]0.... 0 ......-2 ....-3 .......x-60[/tex]

[tex]0.... 0 ......0........1......... 12 [/tex]

Nun habe ich beim Rückwärtsauflösen das Problem, dass in der vorletzten Zeile noch 2 Unbekannte stehen.

@pple · 19 Februar 2008

NBl schrieb:
Setz doch mal x_0 = 0 in Deine Gleichung ein, Du mußt dann (mal wieder) eine wahre Aussage erhalten.

[tex] 0^4 -11 \cdot 0^3 + 32 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 - 48 = 0 \Rightarrow -48 = 0 [/tex]

Folglich ist x_0 = 0 falsch... (Man kann es ganz schnell auch daran erkennen, daß Du, falls Du Deine Zerlegung ausmultiplizierst, eine Gleichung mit x^5 erhalten würdest...)

Alle anderen Nullstellen stimmen 🙂

Aber ergibt das ausgeklammerte x nicht immer eine Nullstelle bei 0?
Ach nein, bei 1 oder? Sonst würde man beim Ausklammern den neu gewonnenen Term wieder verschwinden lassen...

Dass ich mich schon bei solch einfachen Überlegungen vertun muss, ist echt frustrierend...

NBl · 19 Februar 2008

@pple schrieb:
Aber ergibt das ausgeklammerte x nicht immer eine Nullstelle bei 0?
Ach nein, bei 1 oder?

Kopf hoch!

Du hast recht, ein ausgeklammertes und alleinstehendes "x" gibt eine Nullstelle bei x=0 - aber Deine Gleichung hat da doch keine Nullstelle, oder???

Du kannst ja mal Deine Zerlegung x (x-2) (x-4) (x-6) (x+1) = 0 ausmultiplizieren und das mit der ursprünglichen Gleichung vergleichen. Du mußt natürlich die ursprüngliche Gleichung wieder erhalten...

Hier habe ich die ursprüngliche Funktion mal geplottet - leider keine Nullstelle bei x=0...

@pple · 19 Februar 2008

NBl schrieb:
Kopf hoch!

Du hast recht, ein ausgeklammertes und alleinstehendes "x" gibt eine Nullstelle bei x=0 - aber Deine Gleichung hat da doch keine Nullstelle, oder???

Du kannst ja mal Deine Zerlegung x (x-2) (x-4) (x-6) (x+1) ausmultiplizieren und das mit der ursprünglichen Gleichung vergleichen. Du mußt natürlich die ursprüngliche Gleichung wieder erhalten...

Hier habe ich die ursprüngliche Funktion mal geplottet - leider keine Nullstelle bei x=0...

Hat es etwas damit zu tun, dass ich nur ausklammern kann, wenn kein absolutes Glied vorhanden ist? Ich komm nicht drauf... :aergern: ... der Plotter, den ich im Netz gefunden habe, scheint wohl doch nicht so gut zu sein, weil er die Fkt. nicht zeichnet.

Für die Funktion

[tex]\frac{1}{3}x^3-x^2-\frac{1}{3}x+1[/tex]

habe ich die Nullstellen bei [tex]x_1=1, x_2=3 und x_3=-1[/tex] ermittelt und somit folgende Zerlegung aufgestellt

[tex](x-1)\cdot(x-3)\cdot(x+1)[/tex]

Wenn ich das auflöse, erhalte ich allerdings

[tex]x^3-3x^2-x+3[/tex]

Die Funktion müsste also nochmal durch 3 geteilt werden, um auf die Ausgangsfunktion zu kommen. Geht es darum oder habe ich ein neues Fass aufgemacht?

NBl · 19 Februar 2008

@pple schrieb:
Die Funktion müsste also nochmal durch 3 geteilt werden, um auf die Ausgangsfunktion zu kommen.

Durch 3 teilen? Sehr richtig!

Rezept:
1. Die Variablen nach absteigender Potenz ordnen (meist in der Aufgabenstellung schon so vorgegeben)

2. Den Faktor vor der höchsten Potenz ausklammern

[tex] \frac 1 3 \cdot (x^3 - 3 x^2 - x + 3) = 0 [/tex]

3. Linearfaktorzerlegung nur auf den Klammerausdruck anwenden (das 1/3 vor der Klammer bleibt also erhalten - Du operierst nur "in" der Klammer)

[tex] \frac 1 3 \left( (x-1)\cdot(x-3)\cdot(x+1) \right) = 0[/tex]

4. Kontrolle durch Ausmultiplizieren

[tex]
\frac 1 3 \left( (x-1)\cdot(x-3)\cdot(x+1) \right) = 0 \\
\frac 1 3 x^3 - x^2 - \frac 1 3 x + 1 = 0
[/tex]

5. Freuen, daß es so einfach geht 🙂

PS: Dein Plotter kann das schon, Du solltest nur den Plotbereich einschränken. Da Du bereits die Nullstellen kennst, bietet sich an, hier von -2 bis 4 zu plotten.

NBl · 19 Februar 2008

@pple schrieb:
Was sagst Du denn zu meinen neuen Zwischenergebnissen zu Aufgabe 4?

Auf die Schnelle:

Ein Polynom dritten Grades lautet beispielsweise

[tex]
K(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d
[/tex]

Dabei sind die Parameter a, b, c und d noch unbekannt und müssen noch bestimmt werden. Dazu dienen die angegebenen Bedingungen:

(1) K(x=0) = 12
(2) K'(x=2) = 0
(3) K(x=2) = 20
(4) K''(x=2) = 0

Ableitungen:

[tex]
K'(x) = 3 a x^2 + 2 b x + c \\
K''(x) = 6 a x + 2 b
[/tex]

Es ist also

[tex]
(1) \quad K(x=0) = a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d = 12 \\
(2) \quad K'(x=2) = 3 a 2^2 + 2 b 2 + c = 0 \\
(3) \quad K(x=2) = a \cdot 2^3 + b \cdot 2^2 + c \cdot 2 + d = 20 \\
(4) \quad K''(x=2) = 6 a 2 + 2 b = 0
[/tex]

Das sind vier Gleichungen für vier Unbekannte. Aus Gleichung (1) folgt d = 12. Das in Gleichung (3) liefert zusammen mit (2) und (4) ein Gleichungssystem für a, b und c. Das könntest Du mit der Cramerregel auflösen.

Du mußt also, wenn ich mich gerade nicht vertan habe, folgendes Gleichungsssytem lösen:

[tex]
\begin{pmatrix} 12 & 4 & 1 \\ 8 & 4 & 2 \\ 12 & 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix}
[/tex]

Die Koeffizientendeterminante dieses Gleichungssystems lautet

[tex]
\Delta = \begin{vmatrix} 12 & 4 & 1 \\ 8 & 4 & 2 \\ 12 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 16
[/tex]

Die Matrizen für a, b und c lauten
[tex]
\Delta_a = \begin{vmatrix} 0 & 8 & 0 \\ 8 & 4 & 2 \\ 12 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 192\\
\Delta_b = \begin{vmatrix} 12 & 4 & 1 \\ 0 & 8 & 0 \\ 12 & 2 & 0 \end{vmatrix} = -96 \\
\Delta_c = \begin{vmatrix} 12 & 4 & 1 \\ 8 & 4 & 2 \\ 0 & 8 & 0 \end{vmatrix} = -128
[/tex]

Somit ist

[tex]
a = \frac{\Delta_a}{\Delta} = \frac{192}{16} = 12
b = \frac{\Delta_b}{\Delta} = \frac{-96}{16} = -6 \\
c = \frac{\Delta_c}{\Delta} = \frac{-128}{16} = -8 \\
[/tex]

Damit lautet die Kostenfunktion

[tex]
K(x) = 12 \cdot x^3 -6 \cdot x^2 -8 \cdot x + 12
[/tex]

-> Rechne das noch mal nach - ich habe das eben auf die Schnelle gemacht - könnte Fehler beinhalten...

@pple · 19 Februar 2008

Aufgabe 8

Bei den den beiden Folgen komme ich leider nicht auf das Bildungsgesetz

(-14, -9, -4, 1, 6...)

und

(-10,-7, -4, -1, 2, 5...)

Bei der ersten Folge gilt d=5, bei der zweiten d=3.
Ich weiß, dass ich eine konstante Zahl finden muss, auf die ich bei jedem Glied zurückgreife und in Verbindung mit n auf eine Zahl komme, die um 5 größer ist als der Vorgänger. Folge 2 analog. Aber leider komme ich nicht drauf...

Das Ergebnis/Bildungsgesetz der nächsten beiden Folgen stelle ich nur zur Kontrolle ein, da ich ja keine Musterlösung habe.

[tex](2, -\frac{3}{2}, 1, -\frac{5}{8}, \frac{6}{16},...)

=\frac{n+1}{2^{n-1}}[/tex]

und

[tex](1, -\frac{3}{4}, \frac{3}{5}, -\frac{3}{6}, \frac{3}{7},...)

=(-1)^n\cdot\frac{3}{n+2}[/tex]

--------------------------------------------------------------

(Wie mache ich mit LaTex ein Leerzeichen?)

NBl · 19 Februar 2008

@pple schrieb:
(Wie mache ich mit LaTex ein Leerzeichen?)

mit \, ~ \quad \qquad - je nachdem, wie groß der Abstand sein soll...

@pple · 19 Februar 2008

NBl schrieb:
Auf die Schnelle:

Ein Polynom dritten Grades lautet beispielsweise

[tex]
K(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d
[/tex]

Dabei sind die Parameter a, b, c und d noch unbekannt und müssen noch bestimmt werden. Dazu dienen die angegebenen Bedingungen:

(1) K(x=0) = 12
(2) K'(x=2) = 0
(3) K(x=2) = 20
(4) K''(x=2) = 0

Ableitungen:

[tex]
K'(x) = 3 a x^2 + 2 b x + c \\
K''(x) = 6 a x + 2 b
[/tex]

Es ist also

[tex]
(1) \quad K(x=0) = a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d = 12 \\
(2) \quad K'(x=2) = 3 a 2^2 + 2 b 2 + c = 0 \\
(3) \quad K(x=2) = a \cdot 2^3 + b \cdot 2^2 + c \cdot 2 + d = 20 \\
(4) \quad K''(x=2) = 6 a 2 + 2 b = 0
[/tex]

Ich sehe es, ich habe die Gleichung d=12 vergessen. Darf man bei der 4. Gleichung einfach [tex]Null=[/tex] schreiben? In der Aufgabenstellung wird ja so eindringlich auf den Tiefpunkt hingewiesen. Oder nutzt man die Tatsache [tex]K''(2)>0 => Tiefpunkt[/tex] zum Schluss nur zur Kontrolle?

Vier Gleichungen für vier Unbekannte. Aus Gleichung (1) folgt d = 12 - Das in Gleichung (3) liefert zusammen mit (2) und (4) ein Gleichungssystem für a, b und c. Das könntest Du mit der Cramerregel auflösen.

Du mußt also, wenn ich mich gerade nicht vertan habe, folgendes Gleichungsssytem lösen:

[tex]
\begin{pmatrix} 12 & 4 & 1 \\ 8 & 4 & 2 \\ 12 & 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix}
[/tex]

Ich werde mir das anschauen und melde mich dazu heute abend wieder.

loddar · 19 Februar 2008

@pple schrieb:
die Tatsache
$mimetex.cgi$

2 Anmerkungen:

1. Die angebliche "Tatsache" lautet tatsächlich K'''(2) > 0
2. Abgesehen davon wird sie weder für eine Kontrolle noch für irgend etwas anders benötigt.

loddar · 19 Februar 2008

@pple schrieb:
(-14, -9, -4, 1, 6...)

Bildungsgesetz: an = -14 + (n-1)*5

@pple schrieb:
(-10,-7, -4, -1, 2, 5...)

Bildungsgesetz: an = -10 + (n-1)*3

Beim nächsten Beispiel fehlt der Faktor (-1) hoch (n+1)

Im letzten Fall lautet der Exponent nicht n, sondern n+1

@pple · 19 Februar 2008

loddar schrieb:
2 Anmerkungen:

1. Die angebliche "Tatsache"

Ich werde in Zukunft weniger vollmundig formulieren, wenn ich schon keine Ahnung habe 😉

lautet tatsächlich K'''(2) > 0

Dann habe ich den Hinweis wohl genauso verstanden wie ich ihn nicht verstehen sollte. Die richtige Interpretation für das Minimum der Grenzkostenfunktion wäre also:

K' entspricht K
K'' entspricht K'
K''' entspricht K'' und muss größer Null sein, damit ein Tiefpunkt vorliegt

2. Abgesehen davon wird sie weder für eine Kontrolle noch für irgend etwas anders benötigt.

Sie wird also nur erwähnt, um die Aufgabe schwieriger erscheinen zu lassen?

@pple · 19 Februar 2008

loddar schrieb:
Bildungsgesetz: an = -14 + (n-1)*5

Bildungsgesetz: an = -10 + (n-1)*3

Beim nächsten Beispiel fehlt der Faktor (-1) hoch (n+1)

Im letzten Fall lautet der Exponent nicht n, sondern n+1

Vielen Dank!!! Bei den ersten beiden hätte ich ja nur das allgem. BG nehmen brauchen. :auweia

@pple · 19 Februar 2008

Aufgabe 9

Auf dem Ölmarkt ergibt sich für Heizöl die folgende Preisfunktion mit entsprechenden Preisreduktionen:

Preis pro Liter bis 3000 Liter Abnahmemenge: 0,35€
Preis pro Liter bei einer Abnahmemenge bei mehr als 3000 bis 5000 Litern: 0,32€
Preis pro Liter bei einer Abnahmemenge bei mehr als 5000 bis 10000 Litern: 0,3€

1. Gesucht ist d. Funktion d. Preises p(x) in Abhängigkeit von d. Stückzahl x.
2. Der Graph soll gezeichnet werden.

Meine Lösung:

p(x)= 0,35x für x kleiner gleich 3.000
0,32x für 3.000 < x kleiner gleich 5.000
0,3x für 5.000< x kleiner gleich 10.000

Meine Fragen:

1. Ist das richtig?

2. Ich habe hier gelesen, dass die Preisfunktion durch Umformung der Nachfragefunktion entsteht. Also [tex]N(p)=a+b\cdot p[/tex] wird umgeformt zu [tex]p=\frac{-a}{b}[/tex]. Da die Abnahmemenge x die Nachfrage darstellt, komme ich zu [tex]p=\frac{-x}{b}[/tex]. Eigentlich müsste ich doch mit dieser Formel arbeiten, da ich in meiner Lösung den Gesamtpreis dargestellt habe und nicht den Einfluß der Abnahmemenge auf den Preis, oder? Oder ist es das Gleiche, weil der Gesamtpreis intervallweise gemäß der Abnahmemenge ermittelt wird? In der Ausgangsfunktion N(p) habe ich die Variable b so verstanden, dass bei steigendem Preis die Nachfrage abnimmt und b somit das Verhältnis zwischen Nachfragerückgang/anstieg und Preisanstieg/rückgang darstellt. In der umgestellten Formel erscheint mir b jedoch ganz abstrakt. Wird da eine Kennzahl z.B. Preiselastizität eingesetzt?

3. Wenn die Aufgabenstellung so lauten würde, dass z.B. ab dem 11. Liter ein anderer Durchschnittspreis gilt, der Durchschnittspreis für die ersten 10 Liter aber erhalten bleibt, müsste die Lösung anders lauten z.B. würde die Funktion für das Intervall ab 11 Litern die Konstante "10 Liter*alter Durchschnittspreis" enthalten, oder?

4. Zur Grafik: Muss ich die Treppenstufen "schließen" oder bleiben es einfach die versetzten waagerechten Striche? Habe ich an den Punkten, wo der eine Strich aufhört und der nächste anfängt, eine Unstetigkeitsstelle wie bei der sgn-Funktion?

loddar · 19 Februar 2008

@pple schrieb:
Aufgabe 9

1. ja
2. Warum machst du dir das Leben eigentlich so schwer. Der Sinn der Aufgabe ist doch lediglich, zu überprüfen, ob der Kandidat das Unterkapitel "Abschnittsweise definierte Funktion" verstanden hat. Dies ist ja bei dir eindeutig der Fall.
Trotzdem zu dem "Fass", was du da aufgemacht hast: Die von dir aufgeworfene Klassische Thematik Preis-Absatz-Funktion ist etwas grundsätzlich anderes als die mengenabhängigen Staffelpreise in dieser Aufgabe.
3. Absolut richtig
4. - Die Unstetigkeitsstellen auf keinen Fall zeichnerisch "schließen"
- Aber für die Unstetigkeitsstellen zeichnerisch durch kleine Kreise (siehe Skript) zum Ausdruck bringen, welchen der beiden möglichen Werte die Fkt. an der Unstetigkeitsstelle annimmt.
- Bemerkung zu deinem Text: Die "Treppenstufen" verlaufen in diesem Beispiel übrigens nicht waagerecht.

@pple · 19 Februar 2008

loddar schrieb:
1. ja
2. Warum machst du dir das Leben eigentlich so schwer. Der Sinn der Aufgabe ist doch lediglich, zu überprüfen, ob der Kandidat das Unterkapitel "Abschnittsweise definierte Funktion" verstanden hat. Dies ist ja bei dir eindeutig der Fall.
Trotzdem zu dem "Fass", was du da aufgemacht hast: Die von dir aufgeworfene Klassische Thematik Preis-Absatz-Funktion ist etwas grundsätzlich anderes als die mengenabhängigen Staffelpreise in dieser Aufgabe.
3. Absolut richtig
4. - Die Unstetigkeitsstellen auf keinen Fall zeichnerisch "schließen"
- Aber für die Unstetigkeitsstellen zeichnerisch durch kleine Kreise (siehe Skript) zum Ausdruck bringen, welchen der beiden möglichen Werte die Fkt. an der Unstetigkeitsstelle annimmt.
- Bemerkung zu deinem Text: Die "Treppenstufen" verlaufen in diesem Beispiel übrigens nicht waagerecht.

Vielen Dank für Deine Geduld!

Zu 2.) Dann bin ich froh, dass da kein Zusammenhang besteht, den habe ich nämlich gesucht, aber nicht gefunden. Mein mathem. Selbstvertrauen ist sehr schlecht und an vielen Stellen zu Recht.

zu. 4.) auch wenn ich nicht zeichnerisch auf Unstetigkeitsstellen schließen darf... liegen hier nun welche vor? Auch wenn ich mich jetzt wieder blamiere: rechnerisch wird die Unstetigkeit über den Grenzwert überprüft oder? und jede Treppestufe hat einen eigenen Grenzwert (0,35/0,32/0,3) und dort wo die Stufe aufhört (bei =3000, =5000, =10.000), muss ich diesen Unstetigkeitspunkt setzen, oder?

Die Treppen sehen nicht so aus?

_____________________
.................................._________________
.............................................................________________

Mir fällt gerade auf, ich habe das wohl wieder falsch gemacht.
Habe mich von den Intervallen in die Irre führen lassen. Ich hätte Treppen, wenn ich für ein Intervall ein Festpreis hätte. Deshalb heißt es auch sprungfixe Funktion.

Habe nochmal das vorgegebene Diagramm angesehen:

Schau mal hier, Seite 9

https://www.fernuni-hagen.de/BWLOR/assets/klausuren/bk-2002_09.pdf

Deshalb habe ich die Stufen gezeichnet, nicht y wird berücksichtigt, sondern der Preis
pro Liter.

@pple · 19 Februar 2008

Was bedeutet das Argument x0+Delta x ?

Hat sich erledigt!

loddar · 20 Februar 2008

@pple schrieb:
rechnerisch wird die Unstetigkeit über den Grenzwert überprüft oder?

genau

@pple schrieb:
dort wo die Stufe aufhört (bei =3000, =5000, =10.000), muss ich diesen Unstetigkeitspunkt setzen, oder?

exakt

@pple · 20 Februar 2008

loddar schrieb:
genau

exakt

Vielen Dank, loddar!

@pple · 20 Februar 2008

NBl schrieb:
Auf die Schnelle:

Ein Polynom dritten Grades lautet beispielsweise

[tex]
K(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d
[/tex]

Dabei sind die Parameter a, b, c und d noch unbekannt und müssen noch bestimmt werden. Dazu dienen die angegebenen Bedingungen:

(1) K(x=0) = 12
(2) K'(x=2) = 0
(3) K(x=2) = 20
(4) K''(x=2) = 0

Ableitungen:

[tex]
K'(x) = 3 a x^2 + 2 b x + c \\
K''(x) = 6 a x + 2 b
[/tex]

Es ist also

[tex]
(1) \quad K(x=0) = a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d = 12 \\
(2) \quad K'(x=2) = 3 a 2^2 + 2 b 2 + c = 0 \\
(3) \quad K(x=2) = a \cdot 2^3 + b \cdot 2^2 + c \cdot 2 + d = 20 \\
(4) \quad K''(x=2) = 6 a 2 + 2 b = 0
[/tex]

Das sind vier Gleichungen für vier Unbekannte. Aus Gleichung (1) folgt d = 12. Das in Gleichung (3) liefert zusammen mit (2) und (4) ein Gleichungssystem für a, b und c. Das könntest Du mit der Cramerregel auflösen.

Du mußt also, wenn ich mich gerade nicht vertan habe, folgendes Gleichungsssytem lösen:

[tex]
\begin{pmatrix} 12 & 4 & 1 \\ 8 & 4 & 2 \\ 12 & 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix}
[/tex]

Die Koeffizientendeterminante dieses Gleichungssystems lautet

[tex]
\Delta = \begin{vmatrix} 12 & 4 & 1 \\ 8 & 4 & 2 \\ 12 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 16
[/tex]

Die Matrizen für a, b und c lauten
[tex]
\Delta_a = \begin{vmatrix} 0 & 8 & 0 \\ 8 & 4 & 2 \\ 12 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 192\\
\Delta_b = \begin{vmatrix} 12 & 4 & 1 \\ 0 & 8 & 0 \\ 12 & 2 & 0 \end{vmatrix} = -96 \\
\Delta_c = \begin{vmatrix} 12 & 4 & 1 \\ 8 & 4 & 2 \\ 0 & 8 & 0 \end{vmatrix} = -128
[/tex]

Somit ist

[tex]
a = \frac{\Delta_a}{\Delta} = \frac{192}{16} = 12
b = \frac{\Delta_b}{\Delta} = \frac{-96}{16} = -6 \\
c = \frac{\Delta_c}{\Delta} = \frac{-128}{16} = -8 \\
[/tex]

Damit lautet die Kostenfunktion

[tex]
K(x) = 12 \cdot x^3 -6 \cdot x^2 -8 \cdot x + 12
[/tex]

-> Rechne das noch mal nach - ich habe das eben auf die Schnelle gemacht - könnte Fehler beinhalten...

Ich habe als Lösung die Kostenfunktion [tex]K(x)=x^3+6x^2-12x+12[/tex]

Wenn ich die 2ME einsetze, erhalte ich 20GE.

Ich habe das GS laut deinem Lösungsvorschlag über die Cramersche Regel gelöst. Als Determinante der Koeffizientenmatrix hatte ich [tex]-16[/tex] raus, da über die Sarrusregel der erste Term (Summe der Produkte der Haupdiagonalen) [tex]Null[/tex] wurde und der zweite Term [tex]16[/tex].
Das ist eine Sache, bei ich auch bei der Grenzwertberechnung jedes Mal unsicher bin: wenn ich a-b habe und a=0 wird, rechne ich dann mit -b oder einfach mit b weiter?

Ich habe mit deiner 16 weitergerechnet und nicht jede Zeile durch den Vektor b ersetzt, sondern jede Spalte. Für die Determinanten a, b, c habe ich erhalten:

[tex]a=16[/tex]

[tex]b=96[/tex]

[tex]c=-192[/tex]

geteilt durch 16:

[tex]a=1[/tex]

[tex]b=6[/tex]

[tex]c=-12[/tex]

Ist das ok?

Wovon machst Du abhängig, ob die mit der Cram. Regel oder mit dem Gauß-Algorithmus rechnest?

NBl · 20 Februar 2008

@pple schrieb:
[tex] K(x) = x^3 + 6 x^2 - 12 x + 12 [/tex]

Diese Lösung ist leider genauso falsch, wie das, was ich gestern in der Mittagspause "mal eben so" gemacht habe...

Diese Funktion hat nämlich ihr lokales Minimum bei

[tex] x = 2 (-1 + \sqrt 2 ) \neq 2 [/tex]

Der zugehörige Funktionswert lautet

[tex] K(x= 2 (-1 + \sqrt 2 ) ) = 52 - 32 \sqrt 2 \approx 6.74517 \neq 20 [/tex]

Sieht also nicht so gut aus...

@pple schrieb:
Das ist eine Sache, bei ich auch bei der Grenzwertberechnung jedes Mal unsicher bin: wenn ich a-b habe und a=0 wird, rechne ich dann mit -b oder einfach mit b weiter?

Wenn Du a-b rechnen willst und a gleich Null ist, dann mußt Du 0-b rechnen, es geht also mit -b weiter!

@pple schrieb:
Wovon machst Du abhängig, ob die mit der Cram. Regel oder mit dem Gauß-Algorithmus rechnest?

Bei 2x2 und 3x3 - Gleichungssystemen rechne ich immer mit der Cramerschen Regel (es sei denn, daß in der speziellen Aufgabe der Mathe-Klausur etwas anderes gefordert ist.)

@pple · 20 Februar 2008

NBl schrieb:
Kopf hoch!

Du hast recht, ein ausgeklammertes und alleinstehendes "x" gibt eine Nullstelle bei x=0 - aber Deine Gleichung hat da doch keine Nullstelle, oder???

Du kannst ja mal Deine Zerlegung x (x-2) (x-4) (x-6) (x+1) = 0 ausmultiplizieren und das mit der ursprünglichen Gleichung vergleichen. Du mußt natürlich die ursprüngliche Gleichung wieder erhalten...

Hier habe ich die ursprüngliche Funktion mal geplottet - leider keine Nullstelle bei x=0...

Also diese Aufgabe macht mich konfus. Ein ausgeklammertes x ist eine Nullstelle an der Stelle 0 (die Betonung auf alleinstehend verstehe ich nicht ganz, weil ein ausgeklammertes x steht doch allein), aber diese Funktion hat an der Stelle 0 keine Nullstelle. 😕

Wenn ich meine Zerlegung x (x-2) (x-4) (x-6) (x+1) = 0 ausmultipliziere, erhalte ich [tex]x^5-9x^3-8x^2-12x[/tex], was schon mal falsch aussieht.

Ich kann immer noch nicht erkennen, was mit [tex]x_0[/tex] ist und wie die richtige Zerlegung lauten muss.

Könntest Du mich bitte erlösen? Da habe ich doch was Grundlegendes nicht verstanden, oder?

NBl · 20 Februar 2008

@pple schrieb:
Wenn ich meine Zerlegung x (x-2) (x-4) (x-6) (x+1) = 0 ausmultipliziere, erhalte ich [tex]x^5-9x^3-8x^2-12x[/tex], was schon mal falsch aussieht.

Die Funktion hat bei x = 0 keine Nullstelle. Ergo lautet die Zerlegung

[tex] (x-2) (x-4) (x-6) (x+1) = 0 [/tex]

Das gibt ausmultipliziert:

[tex] x^4 - 11 x^3 + 32 x^2 - 4x - 48 = 0 [/tex]

also die urspüngliche Funktion - wie gewünscht! 🙂

Wieso kommst Du denn auf die Idee, daß die Funktion bei x=0 eine Nullstelle hätte? Der Funktionswert f(x=0) ist doch -48. Siehe auch der obige Plot in der pdf-Datei.

@pple · 20 Februar 2008

NBl schrieb:
Die Funktion hat bei x = 0 keine Nullstelle. Ergo lautet die Zerlegung

[tex] (x-2) (x-4) (x-6) (x+1) = 0 [/tex]

Das gibt ausmultipliziert:

[tex] x^4 - 11 x^3 + 32 x^2 - 4x - 48 = 0 [/tex]

also die urspüngliche Funktion - wie gewünscht! 🙂

Wieso kommst Du denn auf die Idee, daß die Funktion bei x=0 eine Nullstelle hätte? Der Funktionswert f(x=0) ist doch -48. Siehe auch der obige Plot in der pdf-Datei.

Wir haben ja das x ausgeklammert, um auf die Funktion 4. Grades zu kommen. Bisher habe ich die Sache so verstanden: wenn kein absolutes Glied verhanden ist, kann ich ausklammern und das ausgeklammerte x stellt bereits eine Nullstelle bei x=0 da. Dass dem wohl nicht so ist, sehe ich jetzt an dieser Aufgabe. Also was mache ich zukünftig mit dem ausgeklammerten x?

NBl · 20 Februar 2008

@pple schrieb:
Wir haben ja das x ausgeklammert, um auf die Funktion 4. Grades zu kommen. Bisher habe ich die Sache so verstanden: wenn kein absolutes Glied verhanden ist, kann ich ausklammern und das ausgeklammerte x stellt bereits eine Nullstelle bei x=0 da. Dass dem wohl nicht so ist, sehe ich jetzt an dieser Aufgabe. Also was mache ich zukünftig mit dem ausgeklammerten x?

Aber Du hat doch gesehen, daß die Ausmultiplizierung Deiner Zerlegung zu einer Funktion 5ten Grades (x^5 +... ) führt...

Ausklammern sollst Du ja auch nicht ein x, sondern den Faktor vor der höchsten Potenz - hier also eine 1:

[tex] 1 \cdot \left( x^4 - 11 x^3 + 32 x^2 - 4x - 48 \right) = 0 [/tex]

(Das heißt, daß Du Dir in diesem speziellen Fall das Ausklammern sparen kannst.)

---

Dein zweites Beispiel lautete

[tex]
\frac 1 3 x^3 - x^2 - \frac 1 3 x + 1 = 0
[/tex]

Hier lautet der Faktor vor der höchsten Potenz [tex]\frac 1 3[/tex]. Also mußt Du diesen Faktor ausklammern und erhälst

[tex]
\frac 13 \cdot \left( x^3 - 3 x^2 - x + 3 \right) = 0
[/tex]

Jetzt kannst Du die Zerlegung auf diese Klammer anwenden und erhälst schließlich
[tex]
\frac 1 3 \cdot \left ((x-3) (x-1) (x+1) \right) = 0
[/tex]

Das ausmulitplziert liefert wieder die urspüngliche Gleichung:

[tex]
\frac 1 3 x^3 - x^2 - \frac 1 3 x + 1 = 0
[/tex]

🙂

---
edit:

Unter "absolutes Glied" versteht man den Term, der ohne x auskommt. Das ist bei der ersten Aufgabe "-48" und bei dem zweiten Beispiel "1". Daß Du ein "x" ausklammern darfst, wenn kein absolutes Glied vorhanden ist, ist schon richtig, aber diese beiden Beispiele haben ja gerade ein absolutes Glied!

Bei folgender Aufgabe dürftest Du so vorgehen, wie Du das verstanden hast:

[tex] x^3 + x^2 - 2 x = 0[/tex]

Da es hier kein absolutes Glied gibt, führt die erste Umformung auf

[tex] x \cdot \left( x^2 + x -2 \right) = 0[/tex]

Nun kannst Du die Linearfaktorzerlegung auf die Klammer anwenden und bekommst:

[tex] x \cdot (x-1) \cdot (x+2) = 0[/tex]

loddar · 20 Februar 2008

@pple schrieb:
Wir haben ja das x ausgeklammert, um auf die Funktion 4. Grades zu kommen. Bisher habe ich die Sache so verstanden: wenn kein absolutes Glied verhanden ist, kann ich ausklammern und das ausgeklammerte x stellt bereits eine Nullstelle bei x=0 da. Dass dem wohl nicht so ist, sehe ich jetzt an dieser Aufgabe. Also was mache ich zukünftig mit dem ausgeklammerten x?

Die URSPRUNGSFKT., dargestellt in der Linearfaktorzerlegung

x(x-2)(x-4)(x-6)(x+1) oder mal noch "deutlicher" dargestellt

(x-0)(x-2)(x-4)(x-6)(x+1)

hat selbstverständlich an der Stelle X=0 eine Nullstelle

NBl · 20 Februar 2008

Moment: Jetzt wird auch mir einiges klar:

Hier steht die Ursprungsfunktion:

@pple schrieb:
3. Aufgabe

Von dem Polynom P5(x)=x^5-11x^4+32x^3-4x^2-48x seien die Nullstellen
x1=2 und X2=4 bekannt.

Damit ist das ja bereits alles schon richtig! - Wozu diese Diskussion? 🙂

loddar schrieb:
x(x-2)(x-4)(x-6)(x+1)

Prima! - Jetzt sind wir alle auf einem Nenner.

@pple · 20 Februar 2008

NBl schrieb:
Moment: Jetzt wird auch mir einiges klar:

Hier steht die Ursprungsfunktion:

Damit ist das ja bereits alles schon richtig! - Wozu diese Diskussion? 🙂

Prima! - Jetzt sind wir alle auf einem Nenner.

Jetzt bin ich beruhigt 😀😀😀

Vielen Dank! Die Diskussion hat auf jeden Fall dazu beigetragen, die Dinge zu festigen 😀.

@pple · 20 Februar 2008

Frage zur Eigenwerten

Hallo NBI,

Du hast ja folgendes in einem anderen Thread gepostet:

NBl schrieb:
[tex]
|| {\bf A} - \lambda ~ {\bf I} || = 0
[/tex]

[tex] \bf A[/tex] ist Deine Matrix, [tex] \lambda [/tex] der Eigenwert und [tex] \bf I[/tex] ist die Einheitsmatrix. Wenn Du die Determinante hiervon bildest, kommst Du auf die charakteristische Gleichung.

Da ich nicht überall rumspammen will, stell ich einfach in meinem Thread die Frage:

Bedingung für die Eigenwerte ist ja, dass die Triviallösung ausgeschlossen ist, d.h. die Determinante muss 0 sein. Wenn ich nun feststelle, dass meine quadratische Lösung keine Nullstellen hat (Wenn die Diskriminante [das was unter der Wurzel steht] negativ ist, oder?), kann ich dann darauf schließen, dass die Determinante ungleich 0 ist und die Vektoren der Matrix dann linear unabhängig sind? Oder ist dieser Rückschluss nicht möglich?

NBl · 20 Februar 2008

@pple schrieb:
Frage zur Eigenwerten
Bedingung für die Eigenwerte ist ja, dass die Triviallösung ausgeschlossen ist, d.h. die Determinante muss 0 sein. Wenn ich nun feststelle, dass meine quadratische Lösung keine Nullstellen hat (Wenn die Diskriminante [das was unter der Wurzel steht] negativ ist, oder?), kann ich dann darauf schließen, dass die Determinante ungleich 0 ist und die Vektoren der Matrix dann linear unabhängig sind? Oder ist dieser Rückschluss nicht möglich?

Das ist aber ein heißes Eisen - da möchte ich mich nicht in die Nesseln setzen. Wenn Du wissen willst, ob das immer so gilt, mußt Du einen Mathematiker fragen... 😀

(Für die charakteristische Gleichung erhälst Du nur dann eine quadratische Gleichung, wenn Du eine 2x2-Matrix untersuchst.)

@pple · 20 Februar 2008

NBl schrieb:
Das ist aber ein heißes Eisen - da möchte ich mich nicht in die Nesseln setzen. Wenn Du wissen willst, ob das immer so gilt, mußt Du einen Mathematiker fragen... 😀

Na gut, dann hoffe ich einfach still und heimlich, dass das irgendwann ein gelangweilter Mathematiker liest... 😀

(Für die charakteristische Gleichung erhälst Du nur dann eine quadratische Gleichung, wenn Du eine 2x2-Matrix untersuchst.)

Ansonsten ensprechnend der Ordnung oder wie man das bei Matrizen nennt und dann kann ich ja so rangehen wie wir das hier besprochen haben... das lamda ist ja dann so wie das x.

ericdanone · 20 Februar 2008

@pple schrieb:
Aufgabe 10
Darf ich aus

[tex]2\cdot cosx\cdot x^{-4}= \frac{2cos}{x^3}[/tex] machen?

Nein, da das x Argument von cos ist. cos ohne Argument macht keinen Sinn.

@pple · 20 Februar 2008

ericdanone schrieb:
Nein, da das x Argument von cos ist. cos ohne Argument macht keinen Sinn.

loddar · 20 Februar 2008

@pple schrieb:
Wäre es denn so richtig wie ich das gelöst habe?

(Natürlich) nicht. Denn du unterstellst bei deinem Ansatz ja, dass die gegebene Funktion f(x) = cos(-x) identisch wäre mit der Funktion f(x) = -cos(x). Das ist eindeutig nicht der Fall. Mach doch wieder mal eine Wertetabelle dazu mit den von mir bereits genannten Argumenten 0, pi/2, usw. und du siehst das direkt.

loddar · 20 Februar 2008

@pple;487687Vielleicht erklärst Du mir bitte nochmal die genaue Vorgehensweise. Ich weiß nicht schrieb:
Die äußere Funktion - ich nenne sie mal ä(x) - lautet ä(x) = cos(x) und die innere Fkt - ich nenne sie mal i - lautet i(x) = -x.

Damit gilt für die Ableitung der zusammengesetzten Fkt. ä(i(x)) gemäß der Kettenregel:

ä'(i(x)) * i'(x) = -sin(-x) * (-1) = sin(-x)

@pple · 20 Februar 2008

loddar schrieb:
(Natürlich) nicht. Denn du unterstellst bei deinem Ansatz ja, dass die gegebene Funktion f(x) = cos(-x) identisch wäre mit der Funktion f(x) = -cos(x). Das ist eindeutig nicht der Fall. Mach doch wieder mal eine Wertetabelle dazu mit den von mir bereits genannten Argumenten 0, pi/2, usw. und du siehst das direkt.

Meine neue Erkenntnis:

[tex]cos(-x)=cos(x)[/tex]

[tex]sin(-x)=\,~ -sin(x)[/tex]

In welche Richtung sich die Kurve dann "bewegen" würde, hängt davon ab, ob das eingesetzte Bogenmaß positiv oder negativ ist.

Der zweite Rückschluss mit dem sin(x) scheint aber falsch zu sein, obwohl beim Plotten das Gleiche rauskam.

Ich rechne mal beide Varianten:

[tex]f(x)=cos(-x)=cos(x)\qquad f'(x)=\,~-sin(x)\qquad f''(x)=\,~-cos(x)[/tex]

Jetzt die zweite Variante entsprechend deinem Ergebnis:

[tex]f(x)=cos(-x)=cos(x)\qquad f'(x)=\,~sin(-x)\qquad f''(x)=\,~cos(-x)\cdot(-1)=\,~-cos(-x)[/tex]

Was mir ja nicht in den Schädel will: Warum ergibt sich dann für [tex]sin(-x)=\,~ -sin(x)[/tex] die gleiche Grafik?

NBl · 20 Februar 2008

@pple schrieb:
[tex]cos(-x)=cos(x)[/tex]

[tex]sin(-x)=\,~ -sin(x)[/tex]

In welche Richtung sich die Kurve dann "bewegen" würde, hängt davon ab, ob das eingesetzte Bogenmaß positiv oder negativ ist.

Ich würde Deine Aussage so auffassen, daß für den Cosinus gilt
[tex]f(x)=f(-x)[/tex]

So eine Funktion nennt man - wenn ich mich recht erinnere - eine "gerade Funktion".

Der sinus hingegen ist eine "ungerade Funktion", da gilt:
[tex]f(x)=-f(-x)[/tex]
(Das ist Deine Aussage einmal mit -1 durchmultipliziert)

Ein weiteres Beispiel für eine gerade Funktion wäre
[tex]
f(x) = x^2,
[/tex]
da
[tex]
f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)
[/tex]
ist.

Eine ungerade Funktion wäre
[tex]
f(x) = x^3,
[/tex]
da gilt:
[tex]
-f(-x) = -( (-x)^3 ) = -( - x^3 ) = x^3 = f(x)
[/tex]

("Gerade" beziehungsweise "ungerade" heißen diese Fuktionen, da die Exponenten "gerade" oder "ungerade" Zahlen sind.)

Die von Dir genannten Beziehungen sind also allgemeine Eigenschaften der Sinus- bzw. Cosinusfunktion.- IMHO hat das also nichts mit "bewegen" zu tun; vielmehr handelt es sich um eine Eigenschaft, die man beispielsweise verwenden kann, wenn man Kurvendiskussion betreibt.

PS: "\," setzt in LaTeX ein kleines Leerzeichen, "~" ein etwas größeres und "\quad" bzw. "\qquad" noch größere freie Bereiche.

loddar · 20 Februar 2008

Prima Darstellung, noch eine kleine Ergänzung:

Eine Fkt, für die gilt f(x) = f(-x) heißt achsensymmetrisch (zur y-Achse) und eine Fkt. mit f(-x) = -f(x) heißt punktsymmetrisch (zum Ursprung)

@pple · 20 Februar 2008

Vielen, lieben Dank Euch beiden!!!

Könntet ihr bitte trotzdem noch mal kurz auf die letzte Passage in meinem letzten Beitrag eingehen bzgl. der graphischen Darstellung? Irgendwie beiße
ich mich da gerade dran fest...

NBl · 20 Februar 2008

@pple schrieb:
Was mir ja nicht in den Schädel will: Warum ergibt sich dann für [tex]sin(-x)=\,~ -sin(x)[/tex] die gleiche Grafik?

Weil der Sinus - wie loddar bemerkt hat - eine zum Koordinatenursprung punktsymmetrische Funktion ist! ( sin(x) = - sin(-x) )

@pple · 20 Februar 2008

NBl schrieb:
Weil der Sinus - wie loddar bemerkt hat - eine zum Koordinatenursprung punktsymmetrische Funktion ist! ( sin(x) = - sin(-x) )

Ok, das lass ich mir noch mal durch den Kopf gehen.

ericdanone · 21 Februar 2008

@pple schrieb:
[tex]cos(-x)=cos(x)[/tex]

[tex]sin(-x)=\,~ -sin(x)[/tex]

Stell dir doch ein x-y-Koordinatensystem vor, um dessen Ursprung ein Kreis mit Radius r=1 gezeichnet ist. Wenn du die x-Achse mit cos und die y-Achse mit sin beschriftest, kannst du für jedes Bogenmaß den sin- bzw. cos-Wert abschätzen. "Null-Punkt" ist der Schnittpunkt des Kreises mit der positiven x-Achse. Bei positivem Bogenmaß läufst du die Kreislinie entgegen dem Uhrzeigersinn ab, bei negativem Bogenmaß entsprechend im positiven Sinn. Als Eselsbrücke musst du dir nur merken: cos (0) = 1.

Gruß
Stefan

@pple · 21 Februar 2008

ericdanone schrieb:
Stell dir doch ein x-y-Koordinatensystem vor, um dessen Ursprung ein Kreis mit Radius r=1 gezeichnet ist. Wenn du die x-Achse mit cos und die y-Achse mit sin beschriftest, kannst du für jedes Bogenmaß den sin- bzw. cos-Wert abschätzen. "Null-Punkt" ist der Schnittpunkt des Kreises mit der positiven x-Achse. Bei positivem Bogenmaß läufst du die Kreislinie entgegen dem Uhrzeigersinn ab, bei negativem Bogenmaß entsprechend im positiven Sinn. Als Eselsbrücke musst du dir nur merken: cos (0) = 1.

Gruß
Stefan

@pple · 22 Februar 2008

Klappt es nun besser mit dem Logarithmus?

[tex]log\,\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\,[log(x-1)-log\,8][/tex]

[tex]log\,\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\,log\,\frac{x-1}{8}[/tex]

[tex]log\,\frac{1}{2}=\,log\frac{3^sqrt{x-1}}{2}[/tex]

[tex]x=2[/tex]

@pple · 23 Februar 2008

Aufgabe zum Zinseszins

Die Ursprungsaufgabe lautet wie folgt:

Ein Immobilienfonds wuchs in 7 Jahren auf 148,2% seines ursprünglichen Wertes. Welchem Zinssatz würde bei Anlage würde bei Anlage auf Zinseszins dieser Steigerung entsprechen.

Bei 100 Euro hätte man nach 7 Jahren 148,20 GE.

[tex]q^7= \frac{148,2}{100}=1,482[/tex]

[tex]q=\7 sqrt{1,482}=1,0578[/tex]

(bekomme leider die 7. Wurzel nicht hin)

p=5,78%

Nun wollte ich sehen, ob man daraus auch die geometrische Folge nachweisen bzw.
das Bildungsgesetz angeben kann.

Jedoch ist [tex]a_7=100\cdot 1,0578081^6=140,10\,GE[/tex]

Warum lässt sich das so nicht rechnen?

loddar · 23 Februar 2008

@pple schrieb:
Jedoch ist [tex]a_7=100\cdot 1,0578081^6=140,10\,GE[/tex]

Warum lässt sich das so nicht rechnen?

"hoch 6" wäre doch nach dem 6. Jahr. Du musst als Exponent 7 wählen.

@pple · 23 Februar 2008

Irgendwie komme ich immer durcheinander mit [tex]a_n=a_1\cdot q^{n-1}[/tex].
Diese Formel wird im Bk verwendet, um eine Kapitalmehrung durch Zinseszins zu ermitteln
und bei der geometrischen Folge brauche ich ja immer eine "Basis", die ich in jedem Jahr
mit q multipliziere. Ich schau mir das noch mal an, irgendein Detail übersehe ich wohl...

ericdanone · 23 Februar 2008

@pple schrieb:
Aufgabe 3, Klausur 09/04

Die Inverse von [tex]\begin{pmatrix}
1 & 1 \\ 0 & 1
\end{pmatrix}[/tex] ist [tex]\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}[/tex].
Für a=1 gibt es somit eine Lösung.

NBl · 25 Februar 2008

@pple schrieb:
[tex]log\,\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\,[log(x-1)-log\,8][/tex]

[...]

[tex]x=2[/tex]

Das ist perfekt!

Trotzdem eine kleine Anmerkung:

Eigentlich gibt es die Funktion "log", so wie Du das schreibst, nicht. Es muß immer die Basis b mit angegeben werden: \log_{b}

Im besonderen gilt:

natürlicher Logarithmus log_e = ln -> in TeX: \ln
dekadischer Logarithmus log_{10} = lg
binärer Logarithmus log_2 = lb

Wenn Du auf beiden Seiten der Gleichung den gleichen Logarithmus meinst (davon ist ja auszugehen), dann ist Deine Umformung richtig.

(Ja, auf dem Taschenrechner ist die Taste "log" also falsch bedruckt - sie führt zu dem dekadischen Logarithmus! 😛)

@pple · 25 Februar 2008

Vielen Dank! Da ich die Aufgabe so abgeschrieben habe, heißt es dann der Logerithmus von [tex]\frac{1}{2}[/tex] zur Basis 10, ja?

ericdanone · 25 Februar 2008

@pple schrieb:
Vielen Dank! Da ich die Aufgabe so abgeschrieben habe, heißt es dann der Logerithmus von [tex]\frac{1}{2}[/tex] zur Basis 10, ja?

Nein, auf das Endergebnis wirkt sich der log nicht mehr aus, da hier ja ein ganzzahliger Wert (x=2) rauskommt.

Gruß
Stefan

@pple · 26 Februar 2008

Wann streng konvex bzw. streng konkav?

Ich habe mich zwar mit dem Zusammenhang zwischen der 1. und der 2. Ableitung und dem Krümmungsverhalten einer Funktion auseinandergesetzt,
aber woran erkenne ich nun, ohne die Funktion zu zeichnen, ob eine Funktion
z.B. "nur" konkav oder aber streng konkav ist?

loddar · 27 Februar 2008

Streng Konkav: f''(x) < 0
konkav: f''(x)<= 0

@pple · 27 Februar 2008

Vielen Dank!! Ich brauche zwischendurch einen Schlag auf den Hinterkopf... :rolleyes

@pple · 29 Februar 2008

Klausur 09/08, Aufgabe 6

Dort besteht ja die Antwortmöglichkeit, ob unabhängig von der Zielvariablen
noch Simplexschritte durchgeführt werden können. Würdet Ihr das als richtige Lösung ankreuzen? Das ist eine Grundsatzfrage, d.h. egal ob nun eine optimale oder nicht optimale Lösung vorliegt, oder?

chasey82 · 29 Februar 2008

Ich habe da jetzt A, D und F als richtig. Wenn ich die Zielvariable nicht betrachte sind alle anderen Werte aus der Zielfunktion positiv (d.h. ich habe das Optimum gefunden) Deshalb ist es nicht mehr notwendig einen weiteren Schritt durchzuführen! (so habe ich das verstanden... )

@pple · 29 Februar 2008

Die Frage ist doch aber, ob es geht und nicht, ob es notwendig ist...

chasey82 · 1 März 2008

@pple schrieb:
Die Frage ist doch aber, ob es geht und nicht, ob es notwendig ist...

ich denke dass es mathematisch bestimmt noch möglich ist weiterzurechnen. nur macht es wenig sinn wenn wir schon das Optimum erreicht haben. Ich denke das die Aufgabe aus Sicht der LOP zu betrachten ist und aus der Sichtweise sind wir an der Stelle dann fertig. :rolleyes

@pple · 1 März 2008

Diese zweideutigen Fragen sind bei der Art der Punkteverteilung wirklich ärgerlich... Hast Du schon eine "Probeklausur" gerechnet also ohne nachschlagen und genau zwei Stunden? Bei mir sieht es bisher nicht so gut aus, weil ich mich bei den einfachen Aufgaben auch noch verrechne...

chasey82 · 1 März 2008

@pple schrieb:
Diese zweideutigen Fragen sind bei der Art der Punkteverteilung wirklich ärgerlich... Hast Du schon eine "Probeklausur" gerechnet also ohne nachschlagen und genau zwei Stunden? Bei mir sieht es bisher nicht so gut aus, weil ich mich bei den einfachen Aufgaben auch noch verrechne...

Jepp habe ich, im STZ Herford haben wir eine Probeklausur, die uns unser Mentor gestellt hat durchgerechnet. Mit den 2 Std. bin ich locker hingekommen. Bei mir heißt es jetzt noch üben, üben, üben damit ich diese kagg Flüchtigkeitsfehler nicht mehr so häufig mache :rolleyes

@pple · 1 März 2008

Lineare Unabhängigkeit

Wenn ich drei Vektoren des [tex]R^3[/tex] habe, die zueinander orthogonal sind, also eine Orthogonalbasis bilden, dann brauche ich doch nicht mehr die Determinante berechnen, um festzustellen, dass sie linear unabhängig sind, oder?

loddar · 1 März 2008

@pple schrieb:
Lineare Unabhängigkeit

... also eine OrthogonalBASIS bilden, ..., dass sie LINEAR UNABHÄNGIG sind

Allgemein gilt: BASIS ==> L.U.,
also der "Umweg" über die Determinante ist überflüssig.

@pple · 1 März 2008

Wollte mich nur noch mal vergewissern, da in der Musterlösung (Übungsaufgaben vom Lehrstuhl) die Determinante ermittelt wird. Da die Determinante zuerst ermittelt wurde, könnte es auch so gemeint sein, dass weder Orthogonal- noch Orthonormalbasis vorliegen, wenn die Determinante 0 ist und man dann nicht weiterrechnen braucht.

Was hat eigentlich die Permutation mit den Determinanten zu tun (ÜA befindet sich in dieser Rubrik)?

loddar · 2 März 2008

@pple schrieb:
Was hat eigentlich die Permutation mit den Determinanten zu tun (ÜA befindet sich in dieser Rubrik)?

1. Den Grund, warum sich die ÜA in der Rubrik Determinanten befindet, siehst du auf Seite des Skripts, KE 2.
2. Abgesehen davon brauchst du bei der (konkreten) Berechnung von Determinanten nichts über Permutationen zu wissen.

@pple · 4 März 2008

So langsam rücken die Klausurtermine immer näher... 😱
Heute muss ich nochmals einige Fragen stellen und hoffe, nicht gesteinigt zu werden, weil ich bereits ähnliche Fragen gestellt habe.

@pple · 4 März 2008

Logarithmus

Es soll die Basis a bestimmt werden. [tex]log_a b^3=\frac{3}{2}[/tex]

Mein bisheriger Lösungsweg:

[tex]3log_a b= \frac{3}{2}[/tex]

[tex]log_a b=2[/tex]

[tex] \frac{logb}{loga}=2[/tex]

[tex]a^2=b[/tex]

Nun komme ich leider nicht weiter. Hätte ich oben die 3 nicht wegkürzen dürfen?

Es soll x ermittelt werden.

[tex]log4=\frac{1}{2}log64-log(x-1)[/tex]

[tex]log4=log\sqrt {64}-log(x-1)[/tex]

[tex]log4=log8-log(x-1)[/tex]

[tex] \frac{log4}{log10}=\frac {log8}{log(x-1)}[/tex]

Wie wird die Gleichung nun wahr, damit ich x ermitteln kann?

@pple · 4 März 2008

Betriebskostenfunktion soll bestimmt werden

Produktion eines Gutes:
-vier Produktionslinien stehen zur Verfügung
-Fixkosten 60€
-Kosten für Inbetriebnahme einer bzw. jeder weiteren Linie 240GE
-jede Linie ist auf 100ME begrenzt

Erst dachte ich an eine abschnittsweise definierte Funktion. Da aber für alle Linien das Gleiche gilt, habe ich folgende Funktion aufgestellt:

[tex]f(x)=\frac{960}{400}x+60[/tex] für x<=400

Ist das ok?

chasey82 · 4 März 2008

Wo haste denn so eine Aufgabe her??? :eek

@pple · 4 März 2008

chasey82 schrieb:
wo haste denn so eine Aufgabe her??? 😱

Ich schreibe zusätzlich den Brückenkurs, zu dem ich mir mangels Übungsmaterial (nur ÜA im Skript und alte Klausuren o. ML) alles selbst zusammenreimen muss. Die Aufgabe stammt aus einer alten BK-Klausur.

Fragen von @pple

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