Frage zur Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

Frage zur Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

Tach zusammen,

im VWL-Skript 1 wird in Kapitel 4.2.22 (Gewinnmaximierung) die Umkehrfunktion der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion gebildet um die variablen Kosten zu erhalten. Wie ich's auch versuche, ich komme nicht auf die Umkehrfunktion. Könnt ihr mir weiterhelfen?

"Die variablen Kosten Kj^var, die Lohnkosten, erhält man, indem man die Umkehrfunktion der Produktionsfunktion (4.9) x = A * v1^a * v2^b bildet, also den Zusammenhang v1j = v1j(xj) herstellt, der angibt wie viel Arbeit v1j für die Produktion einer bestimmten Menge xj benötigt wird."
Das Ergebnis laut Skript (4.19): v1j(xj) = 1/v2j^b * xj^1/a

Danke Euch
Michael

Also, sooo schwer ist das gar nicht, die Umkehrfunktion zu bilden.

Du hast: x(v1,v2)= A* v1^a * v2^b mit v1,v2>0, 0<a,b<1, A>0
Um nun die umkehrfunktion zu bilden, muss man diese Gleichung einfach nach v1 (bzw.v2) auflösen:
Man teilt zuerst durch den Faktor v2^b (der im Allgemeinen dann als konstant vorrausgesetzt wird) und erhält
x/(v2^b) =v1^a
Nun kann man auf beiden Seiten die a-te Wurzel ziehen (falls die Voraussetzungen v2>0 erfüllt sind, ist hier)
(x/(v2^b))^1/a=v1
oder anders geschrieben:
x^1/a * v2^a/b = v1(x,v2)

das wars auch schon.

(x/(v2^b))^1/a = x^1/a * (v2^-b)^1/a = x^1/a * v2^-b/a

oder?

Is richtig, ja.

Rolf,
danke für den Lösungsweg, ist tatsächlich nicht so kompliziert, wie ich erwartet hatte. Da habe ich bei meinen Umformversuchen wohl zu umständlich gedacht.
Danke Dir
Michael