Frage zur Ableitung

snowie · 26 August 2008

ich habe gerade ein Brett vor dem Kopf! 😕 Im Skript Analysis I+II, Übungsaufgabe 11.6.2. i

f(x)= 2x/ 1+x²
ich habe ein Problem bei der Bildung der zweiten Ableitung
die erste Ableitung ist für mich kein Thema
f'(x)= -2x² + 2/ (1+x²)²

kann mir jemand Schritt für Schritt erklären wie ich die zweite Ableitung bilde?

Danke schön!

Blockhaun · 27 August 2008

Das Bilden der Ableitung ist auch bei der ersten noch für Dich ein Thema, da Deine so flasch ist.

f(x)=u/v
f'(x)=(u'v-v'u)/u²

u=2x
u'=2
v=1+x²
v'=2x

f'=(2x(1+x²)-2x*2x)/(1+2x²)²
=(2x+2x³-4x²)/(1+2x²)²
=(-2x²+2x³)/(1+2x²)²

Bei f'' das selbe nochmal

u=2x³-2x²
u'=6x²-4x
v=(1+2x²)²
v'=2(1+2x²)4x

f''=((6x²-4x)(1+2x²)²-8x(1+2x²)(6x²-4x))/(1+2x²)^4
(1+2x²) kürzen
f''=((6x²-4x)(1+2x²)-8x(6x²-4x))/(1+2x²)^3

NBl · 27 August 2008

Blockhaun schrieb:
Das Bilden der Ableitung ist auch bei der ersten noch für Dich ein Thema, da Deine so flasch ist.

Sorry, Blockhaun, aber das gilt leider auch für Deine Ableitung...😉

Natürlich ist die Anwendung der Quotientenregel richtig. Man erhält:

[tex]
f(x) = \frac{2 x}{x^2 + 1} \\
f'(x) = \frac{2}{x^2 + 1} - \frac{4 x^2}{(x^2 + 1)^2} \\
f''(x) = \frac{16 x^3}{(x^2 + 1)^3} - \frac{12 x}{(x^2 + 1)^2}
[/tex]

Ich habe zur Kontrolle die Funktion (blau) sowie ihre erste (rot) und zweite (grün) Ableitung angehängt.

Cordl · 27 August 2008

Blockhaun;565525 f(x)=u/v f'(x)=(u'v-v'u)/u² f'=(2x(1+x²)-2x*2x)/(1+x²)² =(2x+2x³-4x²)/(1+x²)² =(-2x²+2x³)/(1+x²)² [/quote schrieb:
Hallo Blockhaun,

kann es sein, dass sich bei dir ein kleiner rechenfehler eingeschlichen hat?
die erste ableitung des zählers lautet doch meines wissens nach:

die Aufgabe lautet:
2x/1+x²

u= 2x
u´= 2
v= 1+x²
v´= 2x

f´= 2(1+x²)-2x*2x/(1+x²)²
also:
f´= 2+2x² -4x²/(1+x²)²
f`= -2x²+2/(1+x²)²

daraus folgt die 2. ableitung:

u= -2x²+2
u´= -4x
v=(1+x²)²
v´= 2(1+x²)*2x = 4x(1+x²) = 4x+4x³

f´´= -4x*(1+x²)² - ((-2x²+2)*4x(1+x²)) / (1+x²)^4
(1+x² kürzen)
f´´= -4x*(1+x²) - ((-2x²+2)*4x) / (1+x²)³
f´´= -4x- 4x³ +8x³ -8x / (1+x²)³
f``= 4 x³ -12x / (1+x²)³

Täusche ich mich, oder hat sich ein fehler eingeschlichen?

liebe grüße

Blockhaun · 27 August 2008

NBl schrieb:
Sorry, Blockhaun, aber das gilt leider auch für Deine Ableitung...😉

Natürlich ist die Anwendung der Quotientenregel richtig. Man erhält:

[tex]
f(x) = \frac{2 x}{x^2 + 1} \\
f'(x) = \frac{2}{x^2 + 1} - \frac{4 x^2}{(x^2 + 1)^2} \\
f''(x) = \frac{16 x^3}{(x^2 + 1)^3} - \frac{12 x}{(x^2 + 1)^2}
[/tex]

Ich habe zur Kontrolle die Funktion (blau) sowie ihre erste (rot) und zweite (grün) Ableitung angehängt.

Upsi, war wohl schon zu spät, da habe ich doch glatt uv statt u'v für die erste ableitung verwendet. Den Fehler sehe ich aber auch ohne lustige Anhänge ein 😉

Ich würde die erste aber nicht in zwei Brüche aufteilen. Es Kommt zwar immer darauf an, was man hinterher damit machen soll, aber meistens soll man doch die kritischen Stellen berechnen und da setze ich lieber nur den Zähler null.

[tex]f'(x) = \frac{2-2x^2}{{(x^2 + 1)}^2} [/tex]
und damit für die zweite:
[tex]f''(x) = \frac{-16x^3-4x}{{(x^2 + 1)}^3} [/tex]

@cordl, ja hat sich, wie NBI auch schon bemerkt hat, aber nochmal an Dich und an den die OP, bitte entwerder Tex oder Klammern setzen
f´= 2(1+x²)-2x*2x/(1+x²)²
ist so eigentlich:
[tex]f'(x) = 2(1+x^2)-\frac{2x*2x}{{(x^2 + 1)}^2} [/tex]

was nicht das ist, was Du gemeint hast

snowie · 27 August 2008

Bin jetzt im Bild. Danke schön

Cordl · 27 August 2008

Blockhaun schrieb:
[tex]f'(x) = \frac{2-2x^2}{{(x^2 + 1)}^2} [/tex]
und damit für die zweite:
[tex]f''(x) = \frac{-16x^3-4x}{{(x^2 + 1)}^3} [/tex]

@cordl, ja hat sich, wie NBI auch schon bemerkt hat, aber nochmal an Dich und an den die OP, bitte entwerder Tex oder Klammern setzen
f´= 2(1+x²)-2x*2x/(1+x²)²
ist so eigentlich:
[tex]f'(x) = 2(1+x^2)-\frac{2x*2x}{{(x^2 + 1)}^2} [/tex]

was nicht das ist, was Du gemeint hast

Stimmt, jetzt stehts unentschieden 🙄

werde mir jetzt gleich mal angewöhnen, mit tex zu arbeiten... mal sehen, obs klappt...

wie du auf die erste ableitung kommst, ist mir klar.

ich hätte nur eine Frage bezüglich der zweiten, denn ich bekomme da etwas anderes heraus... weiß auch nicht, wo mein fehler liegt! vielleicht kannst du mir auf die sprünge helfen...

ich werds mal schrittweise aufschreiben:

nach der ersten ableitung wäre u=-2x²+2; u´=-4x; v= (x²+1)²; v´= 4x³+4x

jetzt setze ich ein:

[tex]f''(x) = \frac{-4x(x^2+1)^2-(-2x^2+2)(4x^3+4x)}{{(x^2 + 1)}^3} [/tex]

dann komm ich zu folgenden ergebnis:

[tex]f''(x) = \frac{4x^5-8x^3-12x}{{(x^2 + 1)}^3} [/tex]

und irgendwie ist das ein anderes als deines :hmmm:vielleicht kannst du mir helfen!

Blockhaun · 27 August 2008

Ich versuche es nochmal von vorne, hoffentlich komme ich wieder auf das selbe Ergebnis, vielleicht sollte man die Rechnerei doch lieber auf einem Zettel machen anstatt im Browserfenster.

[tex]f'(x)= \frac{2-2x^2}{{(x^2+1)}^2} [/tex]
[tex]u=2-2x^2[/tex]
[tex]u'=-4x[/tex]
[tex]v=(x^2+1)^2[/tex]
[tex]v'=2(x^2+1)2x=4x(x^2+1)[/tex]

[tex]f''(x)= \frac{-4x(x^2+1)^2-(2-2x^2)4x(x^2+1)}{{(x^2+1)}^4}[/tex]
[tex]f''(x)= \frac{-4x(x^2+1)-(2-2x^2)4x}{{(x^2+1)}^3}[/tex]
[tex]f''(x)= \frac{-4x^3-4x-8x+8x^3}{{(x^2+1)}^3}[/tex]
[tex]f''(x)= \frac{4x^3-12x}{{(x^2+1)}^3}[/tex]

Und damit mal wieder was anderes, sollte aber so endlich stimmen.

NBl · 28 August 2008

Blockhaun schrieb:
[...]

[tex]f''(x)= \frac{4x^3-12x}{{(x^2+1)}^3}[/tex]

Und damit mal wieder was anderes, sollte aber so endlich stimmen.

Ja, jetzt stimmt's. :goodposti

Cordl schrieb:
nach der ersten ableitung wäre u=-2x²+2; u´=-4x; v= (x²+1)²; v´= 4x³+4x

jetzt setze ich ein:

[tex]f''(x) = \frac{-4x(x^2+1)^2-(-2x^2+2)(4x^3+4x)}{{(x^2 + 1)}^3} [/tex]

Dein kleiner Fehler hat sich bei der Anwendung der Quotientenregel im Nenner selbiger versteckt:

[tex] f'(x) = \frac{u' \, v - u \, v'}{v^2} [/tex]

Für die zweite Ableitung ist

[tex]v = (x^2 + 1)^2[/tex].

Folglich ist

[tex]v^2 = (x^2 + 1)^4[/tex]

im Nenner einzusetzen. ([tex](a^2)^2 = a^{2 \cdot 2}[/tex])

Den Ausdruck [tex]x^2 + 1[/tex] kann man dann einmal kürzen (wenn Du die "4" aus der dritten Klammer des Zählers ausklammerst) und erhält das obige von Blockhaun.

@Blockhaun: Längere Gleichungen musst Du nicht zeilenweise in neue TeX-Tags setzen. Du kannst stattdessen den Zeilenumbruch mit \\ erzwingen. 😉

Nachtrag: Das hier ist natürlich auch richtig, wenn Du im Nenner die Potenz 4 wählst:

Cordl schrieb:
[tex]f''(x) = \frac{4 x^5 - 8 x^3 - 12 x}{{(x^2 + 1)}^3} [/tex]

Also:
[tex]f''(x) = \frac{4 x^5 - 8 x^3 - 12 x}{{(x^2 + 1)}^4} [/tex]

Du erhälst dann das Ergebnis von Blockhaun, wenn Du nun einmal eine Polynomdivision durchführst. Der Zähler wird also zu:

[tex] (4 x^5 - 8 x^3 - 12 x) : (x^2 + 1) = 4 x ^3 - 12 x [/tex]

Du hast also richtig gerechnet. - Nur weil Du nicht gekürzt hast, musst Du, wenn Du den gleichen Ausdruck haben willst, eine Polynomdivision durchführen. Am schnellsten überzeugt man sich davon, dass beide Funktionen gleich sind, wenn man sie plottet - das Hochladen der lustigen Graphiken spare ich mir aber jetzt...

Cordl · 28 August 2008

Super, danke euch beiden! Dann bin ich beruhigt, dass meine Grundrechnerei richtig war...😀

Viel Erfolg noch in den weiteren Wochen beim lernen

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