Frage zum Unmöglichkeits - Theorem

Frage zum Unmöglichkeits - Theorem

Hallo,

vielleicht hat jemand Lust (und vor allem die Kenntnis dazu 😉) mir folgende Frage zum Unmöglichkeits Theorem von Arrow zu beantworten:

Angenommen es gibt eine Jury mit der Personen A - F, die unter den 3 Kandidation x, y, z die Plätze 1 - 3 verteilen. Die Stimmenverteilung sieht folgendermaßen aus:

_________A___B___C___D___E___F

Platz 1___x___y___z____x___y___z

Platz 2___y___x___x____y___x___x

Platz 3___z___z___y____z___z___y

Mein Lösungsvorschlag: x gewinnt über y, als xPy, und y gewinnt über z, also yPz. Gemäß Transitivität also xPz.

Frage: Welche der von Arrow genannten Bedingungen ist verletzt? Ich komme auf keine Lösung, da ja nicht 1 Diktator vorliegt, da ja A und D beide die Präferenz xPyPz haben.

Viele Grüße,

Verena

wahrscheinlich hast du mittlerweile die Lösung selbst gefunden, aber ich versuch's dennoch mal:

Würde sagen, die Bedingung I - Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen - ist verletzt.
Wenn du das Verfahren nach Borda (wie oben beschrieben) anwendest, gewinnt Alternative z mit 14 Punkten (y hat 12 und x 10).

Wenn du aber eine paarweise Abstimmung durchführst, gewinnt x gegen z, somit ist die Abstimmung nach Borda abhängig von der für die paarweise Abstimmung zwischen x und z irrelevanten Alternative z.

Wenn du das Verfahren nach Borda (wie oben beschrieben) anwendest, gewinnt Alternative z mit 14 Punkten (y hat 12 und x 10).

Gewinnt nicht beim Borda Verfahren die Alternative mit der niedrigsten Rangsumme?

Au ja, stimmt!
Na, dann weiß ich auch nicht weiter...

wenn man die Lösung durch paarweisen Vergleich der Alternativen bestimmt, entscheidet man doch nach der binären Entscheidungsregel. Kann es sein, dass diese eine gesellschaftsliche Entscheidungsfunktion (SDF) und keine gesellschaftliche Wohlfahrtsfunktion (SWF) ist und es deshalb möglich ist, dass die Bedingungen U, I, P und D alle erfüllt sind? Eine binäre Entscheidungsfunktion kann doch grundsätzlich (wenn auch nicht in vorliegendem Fall) zu zyklischen Präferenzen führen und die gesellschaftliche Präferenzrelation ist damit nicht immer eine Ordnung.
Ich bin mir bei der ganzen Sache aber keineswegs sicher.

LG Barbara

Ich glaube, so langsam dämmerts mir auch, ich seh das genau so wie Barbara:

Wie oben beschrieben findet eine jeweils paarweise Abstimmung statt zwischen den Alternativen. Dabei kommt die Gruppenpräferenz x P y P z zustande!

Das Unmöglichkeitstheorem von Arrow besagt, dass es bei n>=3 und mindestens 3 Alternativen keine soziale Wohlfahrtsfunktion gibt, die die 4 Bedingungen U, I, P und D erfüllt. Eine kollektive Entscheidungsregel ist eine soziale Wohlfahrtsfunktion, wenn die gesellschaftliche Präferenzrelation immer eine Ordnung ist. Eine kollektive Entscheidungsregel ordnet dabei jedem Vektor individueller Präferenzen eine gesellschaftliche Präferenzrelation zu.
Da es sich hier um eine binäre Abstimmungsregel - und zwar die einfache Mehrheitsregel - handelt, können zyklische Gruppenpräferenzen auftreten, damit handelt es sich nich um eine Ordnung und somit auch nicht um eine SWF.

Die Bedingungen U, I, P und D sind alle erfüllt.