Frage zum mengentheoretischen Durchschnitt

ich verstehe die oben genannte Aufgabe nicht:


(für alle die das Bild nicht sehen können, es geht um Aufgabe 3 von der Klausur vom 26.03.2007, Kennzahl 130)

Ich rechne mit Hilfe von Gauß und erhalte folgendes Tableau:

1 0 2 | 0
0 1 0 | 1
0 0 1 | 0

Welche Schlüsse kann ich jetzt aus diesem Tableau ziehen? Das, was ich sehe, wäre, dass es ein Punkt sein müsste, weil ja der Rang 3 ist (3 Stufen). D.h. A ist richtig.
Wenn B richtig wäre, müsste es der Rang 2 sein, oder?
Wie schauts mit C und D aus? Und was sagt E aus? Ich blick hier leider nicht durch, wäre super, wenn mir jemand jede Antwort mal erklären könnte...

Gruß,
Dux

dux,
um welche Aufgabe handelt es isch denn?. ich kann die datei leider nicht öffnen.
lg, basler

basler,

komisch, aber es ist die Aufgabe 3 von der Klausur vom 26.03.2007, Kennzahl 130.

Gruß,
Dux

dux,

1) Der mengentheoretische Durchschnitt ist ein Punkt (Dimension 0), wenn Matrix A|b vollen Rang hat wie in deinem Beispiel
2) Der mengentheoretische Durchschnitt ist eine Gerade (Dimension 1), wenn Matrix A|b (meistens ist A eine 3x3 Matrix) Rang 2 hat.
Oder noch ein Beispiel dazu, wenn A eine 2x3 Matrix (d.h. wir haben 2 Gleichungen und 3 Variablen):
1 0 2|0
0 1 0|1 => das ist auch eine Gerade (Dim. 1)
3) Der mengentheoretische Durchschnitt ist eine Ebene (Dimension 2), wenn Matrix A|b (A eine 3x3 Matrix) Rang 1 hat.
142|1
000|0
000|0
4) Der mengentheoretische Durchschnitt ist leer, wenn wir ein Widerspruch (Rg(A) ungleich Rg(A|b)) haben:
102|4
010|3
000|5 d.h. 0=5 ist ein Widerspruch

LG Irina

Vielen Dank, IrinaR!

Aber Antwort E leuchtet mir noch nicht ganz ein. Wenn die Gleichungen einen Unterraum von R^n bilden, heißt das dann, dass der Rang der Matrix kleiner n sein muss? Ist in dieser Aufgabe ja nicht gegeben. D.h. E wäre falsch, richtig?

ich habe hier was gefunden #?t=12314
Schau mal den Beitrag #5

LG Irina

dux,

die frage wurde schon mal im forum erklärt. schau dir mal fogenden link an:
#?t=36389
lg, basler

Welche Lösungen hat die Aufgabe denn jetzt?
A) und D) oder?!

Ja, A und D.

C ist von der Aussage her auch richtig: Natürlich gibt es immer einen (sogar unendlich viele) eindimensionale Hyperräume, die einen bestimmten Punkt enthalten. Ob das so spitzfindig gemeint ist, kann man nur mutmaßen. Wenn nicht, hätte man besser "die Punkte, für die dieses Gleichungssystem erfüllt ist, bilden einen eindimensionalen Hyperraum" geschrieben.

E ist falsch, weil der Nullpunkt keine Lösung ist.

wobei man beachten muss, dass der Begrif f"Hyperraum" in der Mathematik eine ganz andere Definition hat. Den hier definierten Begriff "Hyperraum" gibt es sonst nicht, trotzdem für die Klausur einfach lernen! Nur man kann den Begriff nirgends nachschlagen, in keinem Buch oder so. Etta, Mentorin am ehemaligen Studienzentrum Hildesheim

Als Mathematiker in spe gehe ich davon aus, dass mit "Hyperraum" ein affiner Raum und mit "Unterraum" ein Untervektorraum gemeint ist. Bisher bestätigt alles, was ich dazu hier gelesen habe, diese Annahmen. Oder?
Hyperraum kenn ich sonst auch nicht, nur Hyperebenen.

Ein Hyperraum ist ein Begriff aus der Topologie und hat was mit Einbettung zu tun. Daher ist das was hier im Kurs schlicht eine Teilmenge des Rn ist nichts mit dem Hyperraum zu tun. Außerdem könnte man noch bei Starwars nachsehen. Früher wurde als Hyperraum alles bezeichnet was ein Raum der Dimension 4 und höher war. Etta

ich hab mal eine Frage... wie kann ich mit Hilfe der Cramer'schen Regel erkennen welchen Mengentheoretischen Durchschnitt ein GLS hat? ich hab in vielen Klausuren die ich gemacht hab det ungleich 0 = nicht lösbar, leere Menge...
kann mir das jemand erklären?
Danke schon mal

Gar nicht, da die Cramersche Regel nur anwendbar ist, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich 0 ist. In diesem Fall weißt du aber schon, dass die Lösungsmenge des LGS genau ein Punkt ist.

Ganz vielleicht hilft ja mal was zum Angucken: Bilderbuch zur Mathematik: Veranschaulichung linearer Gleichungsysteme mit 3 Variablen Na ja das link-einfürgen hier muss ich noch lernen, geht wohl anders als in moodle. Einfach mal ansehen was es für Möglichkeiten gibt. Das heiß´t zwar mengentheoretischer Durchschnitt, gemeint ist aber in welchem geometrischen "Gebilde" sich die 3 Ebenen eines linearen Gleichungssystems schneiden. Und das richtet sich nur nach der Lösbarkeit. Übrigens, wenn die Determinante der Koefzientenmatrix ungleich 0 ist, ist das System eindeutig lösbar. Etta, Mentorin am ehemaligen Studienzentrum Hildesheim

Danke für die Grafiken, Walfängerin.

Ich hab zu jeder Grafik mal das Endtableau ausgerechnet und bin zu folgenden Ergebnissen gekommen:

Grafik 1:
1 0 0 | 1
0 1 -1| 0
0 0 0 | 0
Lösung: Rang 2, Dim 1 => Gerade, Unterraum von R^3, weil Nullvektor.

Grafik 2:
1 0 0 | 1
0 1 -1| 0
0 0 0 | 3
Lösung: Kein Rang, kein Dimension, kein Unterraum von R^3, weil nicht lösbar.

Grafik 3:
1 0 0 | 1
0 1 -1| 0
0 0 -2| -1
Lösung: Rang 3, Dim 0 => Punkt, Kein Unterraum von R^3, weil kein Nullvektor.

Grafik 4:
1 1 -1 | 1
0 0 0 | -2
0 0 0 | -4
Lösung: Kein Rang, keine Dimension, kein Unterraum von R^3, weil nicht lösbar.

Grafik 5:
1 1 -1 | 1
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
Lösung: Rang 1, Dim 2 => Ebene, Unterraum von R^3, weil Nullvektor.

Ist das alles richtig?

Gruß,
Dux

in Grafik1 schneiden sich die 3 Ebenen in einer Geraden, aber diese Gerade ist kein Unterraum des R3, da sie den Nullpunkt nicht enthält. Grundsätzlich sind nur Lösungen eines homogenen Geichungssystems Unterräume.Der Nullvektor der sich beim Gaußschen Algorithmus ergibt zeigt nur dass wenigstens eine Variable frei wählbar ist. In Grafik 2 schneiden sich jeweils 2 Ebenen in einer Geraden, aber nicht alle 3. Das Sstem ist nicht lösbar. Grafik sieht so aus als wären alle 3 Ebenen parallel, daher schneiden sie sich gar nicht.In Grafik 5 sind alle ebenen gleich, sie schneiden sich allenfalls in sich selbst... Es gibt bei 3 Ebenen, die nicht parallel sind, nur die Möglichkeiten, sie schneiden sich in einem Punkt, in einer Geraden oder gar nicht alle auf einmal. Die Lösungen eines linearen inhomogenen Gleichungssystem bezeichnet man auch als afffinen Raum, das ist aber ein rein mathematischer Begriff und kommt im Kurs absolut nicht vor. Daher braucht man ihn auch nicht zu lernen. Dieser affine raum wurde offensichtlich durch den selbst gewählten Begriff des Hyperraums ersetzt, den es aber in der Form in der MAthematik gar nicht gibt. Daher der gute Rat: einfach lernen für die Klausur, braucht man später nie wieder. Ein unterraum ist eine Teilmenge eines raums die selber wieder abgeschlosssen bezülich aller Operationen ist und daher auch den Nullpunkt enthalten muss. Etta

Walfängerin,

in Grafik 1 gibt es doch aber einen Nullvektor, deshalb müsste es doch ein Unterraum sein. Versteh ich nicht ganz. Kannst du mal ein Tableau zeigen, das Rang 2, Dim 1 hat und einen Unterraum von R^3 darstellt?
Und ist Grafik 5 jetzt ein Unterraum von R^3?

Nein, es gibt in grafik 1 keinen Nuillvektor. Im Tableau taucht eine komplette nullzeiele auf, daber das hei0ßt ja nru 0*x+0*y+0*z = 0, und diese Gleichung ist für lel x,y z aus R erfüllt. Und sie bedeutet nur dass man eine Variable frei wählen kann. Der Punkt (0,0,0) ist keine Lösung, wie man durch Einsetzen in die 1.Gleichung leicht prüfen kann. Grafik 5 ist kein Unterraum, da auch der Punkt 80,0,0) die Gleichungen nicht erfüllt. Ich hoffe Du weißt was ein homogenes gleichungssystem ist, das it eins mit rechter Seite komplett gleich 0. Und das hat auf jeden Fall den Nullpunkt als Lösung und daher bilden die Lösungen einen Unterraum. ein nicht-lösbares homogenes gleichungssystem gibt es nicht. Es ist doch nicht soo schwer zu merken: nur die LÖsungen eines homogeneen Gleichungssystems bilden einen unterraum. Etta

Ok, danke, Walfängerin.

da ich auch meine großen Probleme mit dieser Aufgabenstellung habe, bitte ich Euch um folgendes: Kann mir vielleicht jemand zum Verständnis folgende Dinge erlären bzw. bestätigen?

1.) Um die Schnittflächen/-geraden/-punkte der Ebenen auszurechnen benutze ich einfach "Gauß" bis das Gleichungssystem gelöst ist. Richtig? (siehe oben)

2.) Dimension 0 = Punkt, Dimension 1 = Gerade, Dimension 3 = Ebene. Richtig?

3.) Wie prüfe ich, ob es sich um einen Unterraum vom R³ handelt?


Danke Euch vielmals im Voraus für Eure Antworten!

1) Ja
2) Ja
3) Es ist nur dann ein Unterraum, wenn GLS homogen ist (alle Gleichungen = 0)