Frage zu VWL-Aufgabe mit Grenzproduktivitäten

Thorsten83 · 7 Februar 2010

Frage zu VWL-Aufgabe mit Grenzproduktivitäten

Hallo zusammen,

ich habe Probleme mit folgender Aufgabe, stammend aus der VWL-Klausur WS 08/09, Aufgabe 3:

Gegeben sei folgende neoklassische Produktionsfunktion:
[tex]x = 6 * v_1^{2/3} * v_2{1/3} [/tex]
Dabei sei x die jeweils produzierte Menge, [tex]v_1[/tex] die eingesetzte Menge des Produktionsfaktors Arbeit und [tex]v_2[/tex] die eingesetzte Menge des Produktionsfaktors Kapital.

Berechnen Sie die Grenzproduktivitäten der Produktionsfaktoren Arbeit ([tex]x_v_1[/tex]) und Kapital ([tex]x_v_2[/tex]) für einen Arbeitseinsatz [tex]v_1[/tex] in Höhe von 64 und einen Kapitaleinsatz [tex]v_2[/tex] in
Höhe von 64.

Mein Ansatz war der folgende:
- Die Produktionsfunktion partiell nach [tex]v_1[/tex] ableiten, um die Grenzproduktivität der Arbeit zu bekommen.

- Die Produktionsfunktion partiell nach [tex]v_2[/tex] ableiten, um die Grenzproduktivität des Kapitals zu bekommen.

- Danach in die jeweils partiell abgeleiteten Funktionen die die gegebenen Werte einsetzen.

Ist da schon mein Ansatz falsch oder habe ich vielleicht falsch abgeleitet? Da ich im partiellen Ableiten nicht ganz so fit bin, wäre es nett, wenn mir jemand die Ableitungen nennen könnte.

Viele Grüße & schönen Sonntag!
Thorsten

Ste82 · 7 Februar 2010

Hier meine Ableitungen. Ich hoffe du steigst durch, der übernimmt die Formeln aus meinem Formelprogramm nämlich nicht und deshalb mußte ich es auf diese Weise schreiben:
nach v1
x= 2/3*6*v1^-1/3*v2^1/3
nach v2
x=1/3*6*v1^2/3*v2^-2/3

Ste82 · 7 Februar 2010

Mal eine andere Frage, wo liegt jetzt eigentlich GENAU dein Problem, was bekommst du denn als Lösungen raus??

ChrissiLLB · 7 Februar 2010

Thorsten83 schrieb:
habe ich vielleicht falsch abgeleitet?

Hallo Thorsten,

Du hast Deine Ableitungen gar nicht hingeschrieben. Du kannst Deine Lösungen auch mit der Musterlösung vergleichen. Hast Du dasselbe raus?

https://www.fernuni-hagen.de/ls_wagner/download/40501/musterloesung_teilklausur_ws0809.pdf

x = 6 * v1^2/3 * v2^1/3

dx/dv1
= 6 * 2/3 * v1^-1/3 * v2^1/3
= 4 * v1^-1/3 * v2^1/3

v1 = v2 = 64:

xv1 = 4 * 64^-1/3 * 64^1/3 = 4

dx/dv2
= 6 * 1/3 * v1^2/3 * v2^-2/3
= 2 * v1^2/3 * v2^-2/3

v1 = v2 = 64:

xv2 = 2 * 64^2/3 * 64^-2/3 = 2

Liebe Grüße

Thorsten83 · 7 Februar 2010

danke für Eure Antworten!
Ich habe die gegebenen Werte in die Ableitungen von Ste82 eingesetzt und damit die richtige Lösung herausbekommen, d.h. ich habe die partiellen Ableitungen falsch gemacht. Mist, dachte ich weiß ungefähr wie das geht...
Könnt ihr mir vielleicht kurz erklären, wie man die Ableitungen bildet. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, welche Bestandteile der ursprünglichen Funktion ich belasse und welche ich mit ableite...

Gruß
Thorsten

ChrissiLLB · 7 Februar 2010

Thorsten,

es gibt Ableitungsregeln, die must Du kennen, siehe hier oder in einem Mathelehrbuch:

Differentialrechnung ? Wikipedia unter Abschnitt Ableitungsregeln

Das Beispiel von oben:

x = a * v1^b * v2^c

Dann ist

dx/dv1 = b * a * v1^(b-1) * v2^c

dx/dv2 = c * a * v1^b * v2^(c-1)

Hier werden also Faktorregel und Potenzregel (siehe Wikipedia-Artikel) angewendet.

Liebe Grüße

Thorsten83 · 7 Februar 2010

also mal doof gefragt 🙂
Wenn f(x) = x^n, dann ist ja f'(x) = n + x^(n-1). Soweit ist mir die normale Ableitung natürlich klar.
Muss ich dann bei der partiellen Ableitung den ursprünglichen Exponenten n immer vor die gesamte Funktion ziehen??

Gruß
Thorsten

Ste82 · 7 Februar 2010

Moment
f(x)=x^n --> f´(x) = n*x^(n-1)....du darfst nicht addieren.....

ChrissiLLB · 7 Februar 2010

Thorsten83 schrieb:
Hallo Chrissi,

also mal doof gefragt 🙂
Wenn f(x) = x^n, dann ist ja f'(x) = n + x^(n-1). Soweit ist mir die normale Ableitung natürlich klar.
Muss ich dann bei der partiellen Ableitung den ursprünglichen Exponenten n immer vor die gesamte Funktion ziehen??

Nein, wenn f(x) = x^n ist dann ist f'(x) = n * x^(n-1) und nicht "...+...".

Ja, das ist die Potenzregel, die geht so: (x^n)' = n * x^(n-1), dabei wird der Exponent vor die Variable als Faktor (*) geschrieben (nicht vor die Funktion) und der Exponent um eins verringert.

Liebe Grüße

Thorsten83 · 7 Februar 2010

Sorry, hab + mit * auf der Tastatur verwechselt. Es heißt dann natürlich f'(x) = n * x^(n-1).

Aber bei deinen Lösungen oben sieht es aus, als wenn du den Exponent immer vor die Funktion ziehst:
x = 6 * v1^2/3 * v2^1/3

dx/dv1
= 6 * 2/3 * v1^-1/3 * v2^1/3
= 4 * v1^-1/3 * v2^1/3

v1 = v2 = 64:

xv1 = 4 * 64^-1/3 * 64^1/3 = 4

dx/dv2
= 6 * 1/3 * v1^2/3 * v2^-2/3
= 2 * v1^2/3 * v2^-2/3

Oder sehe ich das falsch?

SChon mal lieben Dank für deine Hilfe!

Ste82 · 7 Februar 2010

In diesem Fall kannst du den Exponenten vor die Funktion ziehen, weil du nur multiplizierst, wenn du aber zwischenzeitlich addieren oder subtrahieren solltest, dann ziehst du ihn nur vor die Variable. Ich hoffe du meintest das.....??

ChrissiLLB · 7 Februar 2010

Thorsten83 schrieb:
Aber bei deinen Lösungen oben sieht es aus, als wenn du den Exponent immer vor die Funktion ziehst

Das liegt daran, dass der Funktionsterm nur aus einem Produkt besteht, allgemein gilt das nicht.

Beispiel:

f(x) = x^2 + 2 * x^3

Das ist eine Summe von Produkten

Ableitung f'(x) = 2 * x + 6 * x^2

Du siehst, die Exponenten werden jeweils nicht vor die Funktion geschrieben, sondern nur als Faktor vor die Variablen. Im übrigen kommen hier drei Ableitungsregeln zur Anwendung, nämlich

1) Summenregel: (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)

Also: "Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen der Summanden"

Im Beispiel ist: f(x) = x^2 und g(x) = 2 * x^3

2) Faktorregel: (a * f(x))' = a * f'(x)

3) Potenzregel: (x^n)' = n * x^(n-1)

Liebe Grüße

Thorsten83 · 7 Februar 2010

Danke, ihr habt etwas Licht ins dunkle gebracht!
Ist ja gar nicht so schwer, wenn man mal ein par Beispiele gerechnet hat!

Wünsch Euch noch einen schönen Sonntag! Lernt nicht zu viel 😉

LG Thorsten

ChrissiLLB · 7 Februar 2010

Thorsten83 schrieb:
Ist ja gar nicht so schwer, wenn man mal ein par Beispiele gerechnet hat!

Es ist so einfach, dass das sogar dumme Computer hinkriegen. Letztlich ist Funktionsableitung nur fortgesetzte (ausschließlich syntaktische) Termersetzung nach einem Regelsystem (eben den Ableitungsregeln).

Liebe Grüße

Lando32 · 12 Februar 2011

habe mir diese Aufgabe angeschaut und dachte das ich die Rechnung soweit verstanden hatte, nun habe ich versucht mir die gleiche Aufgabe aus der Übungsklausur SS2010 Nr.6 durch zu rechnen. X=5*V1^2/5 * V2^3/5 meine Ergebnisse waren für die Werte V1=V2=32
V1= 2
V2=3
Bei der Rechnung bin ich so vorgegangen:
Xv1=5*2/5V1^-3/5*v2^3/5
32 für V1 und V2 eingesetzt =>
Xv1=2*32^-3/5 * 32^3/5 = 2 laut Musterlösung aber 3
Xv2=5*V1^2/5*3/5*V2^-2/5
32 für V1 und V2 eingesetzt =>
Xv2=5*32^2/5*3/5*32^-2/5 = 3 Laut Musterlösung 5
Wo liegt mein Fehler könnte mir da wer weiter helfen?
mfg Alex

ChrissiLLB · 12 Februar 2011

Alex,

Du musst die Aufgabenstellung richtig lesen!

In 09/2010 Aufgabe 6a) ist nach der Grenzproduktivität von Kapital (v2) gefragt,
also dx/dv2, für Arbeit v1 = Kapital v2 = 32

dx/dv2
= 3/5 * 5 * v1^2/5 * v2^-2/5
= 3 * v1^2/5 * v2^-2/5

Für v1 = v2 = 32: 3 * 32^2/5 * 32^-2/5 = 3 * 32^0 = 3 * 1 = 3

In 09/2010 Aufgabe 6a) ist nach der Durchschnittsproduktivität von Kapital (v2) gefragt,
also x/v2, für Arbeit v1 = Kapital v2 = 32

x/v2
= (5 * v1^2/5 * v2^3/5) / v2
= 5 * v1^2/5 * v2^3/5 * v2^-1
= 5 * v1^2/5 * v2^-2/5

Für v1 = v2 = 32: 5 * 32^2/5 * 32^-2/5 = 5 * 32^0 = 5 * 1 = 5

Liebe Grüße

Lando32 · 12 Februar 2011

danke für die schnelle Antwort, ja das war wohl eindeutig unsauber gelesen.
mfg Alex

Cronkalonca · 9 März 2011

kurze frage zur Sicherheit. Bei der Aufgabe 6 in der Klausur 09/2010, Teil c) Da muss ich doch folgendes rechnen: dx/dv2 * v2/x da dx/v2 in a schon ausgrechnet wurde, weiss ich das es 3 ist. v2/x ist ja die Lösung aus b) nur umgekehrt, also 1/5. Ergebnis ist dann 0,6. Ist das soweit richtig? Danke schon mal.

Christoph-HH · 18 März 2011

Die Frage ist zwar schon ein paar Tage alt, aber falls du nochmal eine Bestätigung brauchst: Ja, das ist richtig - Behaupten zumindest das Skript und die Musterlösung

risma · 19 März 2011

woher habt ihr die Lösung vom September 2010? Kann mir die jemand schicken oder mir sagen, wo ich sie bekomme? habe nur die Klausuren 09/2008 bis 03/2010
wäre echt sehr nett!

jessi2011 · 19 März 2011

Unter fernuni-hagen.de/wiwi einfach den Link "Lehrstuhl" anklicken, dann den von Prof. Wagner aufrufen, dort gibt´s seit Ende Januar die Aufgaben samt Lösungen wie gehabt als pdf-Datei!

DB17 · 11 März 2016

Das Thema ist zwar schon etwas älter, jedoch gleichen sich die Aufgaben immer.

Ich verstehe soweit alles, nur den Part nicht wo v1 = v2 = 64 ergibt.

Frage zu VWL-Aufgabe mit Grenzproduktivitäten

Weiter lesen