Frage zu 5.2 Rang einer Matrix

ich habe ein großes Problem mit dem Kapitel 5.2
Das Thema beinhaltet ja folgende Themen:
- Bild einer Matrix/eines Vektors
- Rang einer Matrix bestimmen

Wie man den Rang einer Matrix bestimmt habe ich eig. wohl verstanden. Umformen und dann kann man das ja ablesen, doch auch hier eine kurze Frage: Habe ich alles Umgeformt und erhalte eine folgende Matrix:

a b 0
c d 0
e f 0
0 0 0

Hat die Matrix Rang 3 oder Rang 2? Also muss ich auch die Spalten beachten oder nur die Zeilen?


so und nun zum Bild einer Matrix:
Um es kurz zu sagen, hab ich wirklich nicht ein Wort verstanden. Kann mir das vielleicht einer erklären? Ist das überhaupt relevant oder war das nur als Vorbereitung auf den Rang notwendig?

VIELEN DANK

deine Matrix ist aber noch nicht optimal umgeformt. Ohne etwas über e,b,c,d,e,f zu wissen, kannst du schonmal erkennen, dass der Rang höchstens 2 ist, denn der Rang ist die Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren. Oder Zeilenvektoren, da der Rang beim Transponieren der Matrix gleich bleibt.
Bei deiner Matrix seh ich aber nicht, ob die ersten beiden Spalten linear unabhängig sind, also könnte der Rang auch 1 oder 0 sein.

Beim Begriff des Bildes einer Matrix versteht man die Matrix als Abbildung, d.h. man betrachtet die Abbildung [tex]x \mapsto A\cdot x[/tex] (warum ist die Festlegung wichtig? man könnte ja auch [tex]x^T \cdot A[/tex] oder sonstwas rechnen, die Matrix an sich ist noch keine Abbildung). Das Bild ist jetzt die Menge der Bildpunkte dieser Abbildung, also salopp gesagt setze ich jedes [tex]x\in\mathbb{R}^m[/tex] einmal ein, multipliziere die Matrix von links daran, und merke mir die Ergebnisse. Etwas mathematischer formuliert ist das Bild die Menge der Punkte [tex]y\in\mathbb{R}^n[/tex], für die es (mindestens) ein [tex]x\in\mathbb{R}^m[/tex] gibt, für das [tex]Ax=y[/tex] gilt.

Einige wichtige Feststellungen bezüglich des Bildes:
* Das Bild ist nicht unbedingt gleich [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Beispielsweise ist das Bild der Nullmatrix die Menge, die nur aus dem Nullvektor aus [tex]\mathbb{R}^n[/tex] besteht.
* Das Gleichungssystem [tex]Ax = b[/tex] ist genau dann lösbar, wenn b im Bild von A enthalten ist.
* Das Bild ist immer ein Untervektorraum von [tex]\mathbb{R}^n[/tex].
* Die Dimension des Bildes von A ist gleich dem Rang von A.

(Bin kein Wiwi, hoffe ich das trotzdem halbwegs verständlich erklärt.)

vielen Dank für deine Erklärung, jedoch bin ich glaub ich zu doof dafür^^

Also beim ersten Punk, ist mir durchaus bewusst, dass man das nicht wissen kann. Ich hatte keine Lust mir ein Beispiel zu überlegen und habe deshalb die abcdef genommen... Wobei es auch eine 4x4 Matrix sein müsste oder? Mit ging es eigentlich viel mehr um die Frage, was ist wenn ich 5 Zeilen habe, von denen 3 l.u sind und 5 Spalten, von denen 3 nur Nullen haben. Ist der Rang dann 2 oder 3?

Ich weiß überhaupt nicht, was ich mir unter dem "Bild" bzw. der Abbildung vorstellen muss... ich weiß auch nicht was x*A sein soll und ich weiß nicht was der Unterschied der zwei Dimensionen Rm und Rn ist.

Also ein Bild ist eine Menge der Punkte(y), die im Rn liegen. und für diese Punkte muss mindestens ein x im Rm sein, für das A*x=y gilt.
Hier habe ich verstanden, dass ich den Punkt (x) aus dem Rm mit der Matrix multipliziere und so einen Punkt der Bildmenge im Rn erhalte. Was sagt mir diese Aussage? Was kann ich damit anfangen...

Zu der ersten Frage:
Das geht nicht. Wenn du in einer 5x5-Matrix 3 Nullspalten hast, kann der Rang höchstens 2 sein. Dann kann es nicht 3 linear unabhängige Zeilen geben. Egal, ob man über die Spalten oder die Zeilen geht, es muss immer der gleiche Rang rauskommen.

Die Frage nach dem Bild gebe ich ab.

Jop, das hab ich jetzt verstanden.

So hoffnungslos mit dem Bild?

Ich versuchs mal mit dem Bild.

Bild = Lösung der Matrixgleichung Ax = y
Das Bild sind alle Lösungspunkte (wenn es denn eindeutige Lösungen gibt) in einem n-Dimensionalen Raum. Somit liegt das Bild im Raum. Ein Lösungsraum im Raum ist ein Unterraum 😉

Es kann auch mehrdeutig lösbare Matrixgleichungen (LGS) geben. Somit haben wir es mit einer Lösungsgraden zu tun. y ist die Menge aller Graden und Punkte.

Das ist sehr theoretisch, aber anschaulich, wenn man weiss, was eine Schnittgrade von zwei Ebenen ist. Wenn man das nicht weiss -> Abi Mathe wiederholen. Ist nicht schwer!!!!

Ich versuchs mal mit dem Bild.
Danke 🙂

Bild = Lösung der Matrixgleichung Ax = y
Das hilft mir schonmal sehr viel weiter. Das hatte ich aus dem Skript so nicht rausgelesen.

Das Bild sind alle Lösungspunkte (wenn es denn eindeutige Lösungen gibt) in einem n-Dimensionalen Raum. Somit liegt das Bild im Raum. Ein Lösungsraum im Raum ist ein Unterraum 😉
Das heißt ich habe einen Raum (Rn?) in dem sich ein Unterraum (Rm?) befindet und in diesem Unterraum liegt das Bild, also alle y?

Es kann auch mehrdeutig lösbare Matrixgleichungen (LGS) geben. Somit haben wir es mit einer Lösungsgraden zu tun. y ist die Menge aller Graden und Punkte.
Heißt das Kurz: Es kann entweder ein oder mehrere y geben? Wenn es ein y ist, ist die Lösung ein Punkt, wenn es mehrere sind eine Gerade?

Das ist sehr theoretisch, aber anschaulich, wenn man weiss, was eine Schnittgrade von zwei Ebenen ist. Wenn man das nicht weiss -> Abi Mathe wiederholen. Ist nicht schwer!!!!
Ich habe mal ein Bild angehangen (tut mir leid, aber ich muss sowas immer veranschaulichen), das rot markierte ist doch eine Schnittgerade von zwei ebenen oder?

Vielen Dank für deine Mühe. Ich habe mich damit unglaublich dem Verständnis genäher (glaub ich 🙂)

Sorry, aber das ist falsch. Das Bild ist nicht die Lösungsmenge des Gleichungssystems. (Im Falle von homogenen Gleichungssystemen (also y=0) heißt diese "Kern" der Matrix.)

Ich versuch mal ein Beispiel. Eine 3x3-Matrix bildet alle Punkte des R^3 irgendwohin in den R^3 ab. Nehmen wir die Matrix A :=

[1 0 0;
0 1 0;
0 0 0]

Sie bildet jeden Punkt (x,y,z) auf [tex]A\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\ y\\ 0\end{pmatrix}[/tex] ab, das ist also eine Projektion auf die x-y-Ebene. Anders gesagt, das Bild der Matrix ist die x-y-Ebene, ein Untervektorraum des R^3. Man sieht auch sofort, dass die Matrix den Rang 2 hat, korrespondierend mit der Dimension des Bildes.

@diemilch: Ich kann versuchen, es dir zu erklären, aber ich kann dir nicht beantworten, wozu du das brauchst oder ob es für dich (für die Klausur?) relevant ist.

Hmm schade, wäre ja acuh zu einfahc wesen 🙂

Also ist das Bild eine Projektion von allen Punkten die ich darstellen kann? Da in deinem Beispiel die untere Zeile der Matrix 0 ist, kann ich z nicht abbilden, und somit ist das Bild der Matrix nur ein 2 Dimensionalen Raum?
Wenn die Matrix so aussehen würde, könnte ich ja alles abbilden, also wäre die Matrix im 3 Dimensionalen Raum:

[1 0 0
0 1 0
0 0 1]

diemilch schrieb:

Also ist das Bild eine Projektion von allen Punkten die ich darstellen kann? Da in deinem Beispiel die untere Zeile der Matrix 0 ist, kann ich z nicht abbilden, und somit ist das Bild der Matrix nur ein 2 Dimensionalen Raum?

Zum Vergrößern anklicken....

Ja genau. Ich wollte ein möglichst einfaches Beispiel.

Wenn die Matrix so aussehen würde, könnte ich ja alles abbilden, also wäre die Matrix im 3 Dimensionalen Raum:

[1 0 0
0 1 0
0 0 1]

Zum Vergrößern anklicken....

Diese Matrix (die Einheitsmatrix) bildet jeden Punkt des R^3 auf sich selbst ab. Das Bild ist wieder der R^3.

Zur Übung: Was sind die Bilder der folgenden Matrizen?
[0 0 1;
0 0 0;
0 1 0]

[1 0 0;
0 -1 0;
0 0 1]

[1 2 3;
2 4 6;
1 2 3]

Ah, ich glaub ich weiß worum es geht 🙂 Juhu! Danke

Wie heißt das denn sage ich "Das Bild ist ein 2 Dimensionaler Raum?"

1.) 2 Dimensional (eine Gerade?)
2.) 3 Dimensional (auf sich selbst, ein Raum?)
3.) 1 Dimensional (ein Punkt)

Eigentlich wollte ich schon die Bilder selbst haben, nicht nur die Dimension (die stimmen aber) 😉

BTW 2-dimensional ist eine Ebene (hier: welche?), 1-dimensional ist eine Gerade. Ein Punkt ist 0-dimensional.

Hmm was muss ich denn errechnet. Um das Bild zu erhalten muss ich die Matrix ja mit x (ist das ein Skalar oder ein Vektor?) multiplizieren.

x*A=y

Das Bild ist ja y !?

Jetzt stellt sich mir die Frage mit was muss ich die Matrix multiplizieren um auf das Bild zu kommen, oder welches x suche ich um welches Bild zu erhalten.

Das hat aber nix damit zu tun, die Matrix umzuformen oder?

Also jetzt mal halb lang.
Ich glaube nicht, dass die WiWis das für die Klausur benötigen.

Du musst für die Klausur wissen, was ein homogenes und was ein inhomogenes LGS ist. Das mit dem Bild ist hier nun verdammt gut vom chris erklärt worden.

Desweiteren sollte man wissen, dass ich die Werte der 3 Unbekannten x1, x2, x3 nicht eindeutig, sondern nur mehrdeutig lösen kann, wenn ich zur Lösung des Gleichungssystems nur 2 (nur 1) (linear unabhängige) Gleichung(en) habe.

Das erste Beispiel hier verdeutlicht dies (Überschrift = "Stufenform/Treppenform")
Lineares Gleichungssystem ? Wikipedia