Extrema bestimmen Übungaufgabe 1.5.2

Kleines Verständnisproblem mit der Antwort im Skript

i) f(x) =4-x^2 mit [-2,3]

f'(x) =-2x
Bedingung für für Extremum f'(xo) = 0
damit -2xo, null ist, folgt: xo= 0

Nun heißt es weiter, das wir die Art von lokaler Extremstelle prüfen.

1) f'(x) > 0 für alle x< 0
2) f'(x) <0 für alle x > 0

zu 1)
das mach ich dann wohl indem ich alle x des Intervalls, die <0 sind in f'(x) einsetze.
Also
-2*-2 = 4 und damit >0
-1*-2 = 2 und damit > 0

analog mach ich das zu 2) dann so

1*-2= -2 <0
2*-2= -4 <0
3*-2= -6 <0

Soweit richtig, oder?

In der Lösung heißt es dann: Da die Funktion f' an Der Stelle xo = 0 das Vorzeichen wechselt, von plus nach Minus...

Und genau hier taucht dann meine Frage auf :
Sie wechselt doch unter 1) genauso das vorzeichen, weil - * - doch + ergibt,
aber doch von - zu plus????

wer kann mir hierbei mal helfen?

Bei Aufgabe iii)
heißt es, dass f an der Stelle xo= 1 nicht differenzierbar ist
wenn ich bei x-1 und -(x-1) 1 einsetze erhalte ich 0 & -0
Ist Null nicht Null und die Funktion deshalb differenzierbar?

Deine erste Frage verstehe ich nicht ganz (bzw. worauf du hinauswillst), aber es ist so:
Von -2 bis 0 ist die Funktion stetig fallend, da beim Einsetzen in f' ja immer negative Werte herauskommen. Beim X-Wert 0 ändert sich das Ganze, ab hier gibt es für f'(x) immer positive Vorzeichen.

Das heißt: Bis zum Punkt x = 0 (bzw. x kleiner als null) kommt beim Einsetzen in f'(x) immer eine negative Zahl raus, ab x = 0 (bzw. x größer als 0) dann immer eine positive Zahl. Das ist mit Vorzeichenwechsel gemeint (erst sind die Ergebnisse der ersten Ableitung immer negativ, und ab 0 dann positiv), und nicht der Vorzeichenwechsel innerhalb des Ausrechnens eines Wertes für f'(x) wie bei dem von dir angegebenen Beispiel -2*-2 = 4

Dass hier in der Rechnung zwei Faktoren negativ (-2 und -2) sind und dadurch das Ergebnis von f'(x) positiv wird, ist in diesem Zusammenhang nicht mit Vorzeichenwechsel gemeint. Es zählt somit nur, was hinten rauskommt, und nicht was innerhalb der Rechnung geschieht. 🙂
(ich hoffe, ich habe es irgendwie verständlich ausgedrückt).


Zur zweiten Aufgabe:

Schau dir analog dazu mal das Beispiel 1.1.3 an. Da ging es genauso.
Eine Funktion ist an der Stelle x0 (in dem Fall eben 1) differenzierbar, falls die Grenzwerte von beiden Seiten die gleichen sind.
Das heißt: Wenn ich mich von LINKS nähere und einen GRenzwert erhalte, der dem Grenzwert entspricht, wenn man sich von RECHTS nähert, ist die Funktion an dieser Stelle differenzierbar.

Das funktioniert analog zu 1.1.3:

1. Fall: Man nähert sich von links an x0 (x0 ist ja 1):
lim x -> x0 : [ f(x) - f(x0) ] / (x - x0) =
lim x -> x0 : [ -(x-1) - 0 ] / (x - 1) =
lim x -> x0 : -(x -1) / (x -1) = -1

Das heißt, der Grenzwert beträgt -1, wenn man sich x0 von links nähert.

2. Fall: Man nähert sich von rechts an x0 (x0 ist ja 1):
lim x -> x0 : [ f(x) - f(x0) ] / (x - x0) =
lim x -> x0 : [ (x-1) - 0 ] / (x - 1) =
lim x -> x0 : (x -1) / (x -1) = 1

Das heißt, der Grenzwert beträgt +1, wenn man sich x0 von rechts nähert. Die beiden Grenzwerte (links und rechts) sind somit verschieden und die Funktion an dieser Stelle x0 (d.h. 1) nicht differenzierbar. 🙂


Ich habe auch noch einee Frage, zu Aufgabe 1.5.2. iii)
In der Lösung steht, es gäbe kein lokales Maximum und auch kein globales Maximum. Aber was ist mit dem Rand, d.h. 1,999999999999...? Ist der Grund für das Fehlen eines Maximums der, dass kein exkater Rand definiert ist (also nicht beispielsweise [0, 2]), sondern die Ränder nicht mit in den Definitionsbereich eingehen (d.h. (0, 2))? 😕😕

okay, soweit verstanden. danke.
ich denk inzwischen dass das thema differenzialrechnung eigentlich ganz einfach ist, was mich so dermaßen verwirrt und aufhält ist diese mathe-formel-sprache,die ist für mich als neuling, nachdem schule schon lang vorbei ist und ich kein mathe abi habe einfach nur fremd.

wenn jemand dann, wie hier im forum erklärt, hab ich immer das gefühl, dass das, was eigentlich logisch & einfach ist, vor allem wenn man den graph dann ansieht, so kompliziert dargestellt wird, dass es keiner mehr rafft.

danke für die antwort. hat geholfen. nur noch eines, zu obiger frage:
das -1 etwas anderes ist wie 1 ist klar, aber wie ist das mit der 0 & -0?

ps: Antwort hat sich denk ich erledigt, denn -0 ist nur der Ausdruck dafür dass ich mich der O aus dem Minusbereich näher.