Verflixt, chris war schneller, deshalb hier ein bisschen Redundanz...
😉
. Irgendwas mit Polynom.... schön... irgendwie verstehe ich nicht so richtig, was mir das Ganze sagen soll...
???
Du meinst, dass die Eigenwerte die Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Matrix sind...?
😉
Was die Eigenwerte zu bedeuten haben, ist ziemlich schwierig zu erklären, weil das ganze sehr abstrakt ist. Eine Deutung ist die geometische. Nehmen wir an,
A sei eine Matrix, [tex]\lambda[/tex] der Eigenwert und
u der zugehörige Eigenvektor. Es gilt dann ja:
[tex]\bold{A}\bold{u}=\lambda\bold{u}[/tex].
[tex]\bold{A}\bold{u}[/tex] ist ein Vektor, der dieselbe Richtung hat wie der Eigenvektor
u, aber eine andere Länge (denn er ist ja [tex]\lambda\bold{u}[/tex] lang.)
Okay, das sagt einem Normalmenschen auch relativ wenig, ist aber für Mathematiker eine ganz erstaunliche Eigenschaft...
😉
Im Allgemeinen braucht man Eigenwerte beim Lösen linearer Gleichungssysteme. Da ergeben sich gelegentlich Konstellationen in der Form [tex](\bold{A}-\lambda\bold{B})\bold{a}=0[/tex]. Das löst man ganz elegant mit
a=0. Aber eventuell gibt es auch andere Lösungen, und die findet man dann mit den Eigenwerten und -vektoren. So etwas kommt beispielsweise in der (multivariaten) Statistik des öfteren vor.
Eigenwerte geben außerdem Auskunft über gewisse Eigenschaften von Matrizen, so ist Beispielsweise die Determinante einer Matrix das Produkt ihrer Eigenwerte.
Noch ein bisschen Trivia?
🙂 Eigenwert und Eigenvektor heißen auf Englisch eigenvalue und eigenvector, obwohl es sich dabei nicht um einen Eigennamen handelt...
