Eigenvektoren

Bestimmen Sie die Vektoren, die Eigenvektoren der Matrix
2 6
4 6

zum Eigenwert -2 sind.

Also

2- -2 6
4- -2 6

oder?
und dann?

Das mit den Eigenvektoren funktioniert so:

M = Matrix, lambda = Eigenwert, E = Einheitsmatrix

(M - lambda E) = Eigenvektor

Bsp.:

2-2 6
4 6-2

ergibt als Eigenvektor

0 6
4 4

Du musst wie beim char. Poly, die Diagonale mit dem Eigenwert minus nehmen.

Dann wäre der eigenvektor also (0,6) und (4,4) ?

Das nöchste mal bitte hinschreiben, wo Du die Aufgabe her hast, das spart mir das Suchen, also:

Klausur 09/06 Aufgabe 14

Eigenwerte berechnet man über
[tex] |A-\lambda I| = 0 [/tex]

in diesem fall wird gesucht:
[tex](A-\lambda I) * x=0 [/tex]

der Vektor x wird gesucht, als Gleichungssytem hat man dann:

(2+2)a 6b =x1
4a (4+2)b =x2

=>
x1=-3/2x2

Und damit B und F

Francil schrieb:

dann wäre der eigenvektor also (0,6) und (4,4) ?

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... oder jedes Vielfache davon, also (0,12) und (8,8). Eigenvektoren sind bis auf eine Konstante bestimmt. Deshalb normiert man meist die Eigenvektoren und schreibt häufig (0,1) bzw. (0,71, 0.71)

Blockhaun schrieb:

Eigenwerte berechnet man über
[tex] |A-\lambda I| [/tex]

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[tex] |A-\lambda I| = 0 [/tex]

(Es muß ja eine Gleichung sein, sonst läßt sich nichts berechnen... 😉)

Der Ausdruck [tex]| {\bf A}-\lambda {\bf I} | = 0[/tex] liefert in Deinem Fall

[tex] \begin{vmatrix} 2-\lambda & 6 \\ 4 & 6-\lambda \end{vmatrix} = 0 \\ (2-\lambda) \cdot (6-\lambda) - 24 = 0 \\
\lambda^2 - 12 \cdot \lambda - 24 = 0[/tex]

Diese Gleichung hat zwei Lösungen, die man Eigenwerte nennt. Ich erhalte (Bitte auf Richtigkeit nachprüfen, ist schon spät😉)

[tex] \lambda_{1,2} = 6 \pm 2 \sqrt{15} [/tex]

Um nun auf die Eigenvektoren zu kommen, werden diese Werte werden nun nacheinander in die Gleichung

[tex] ( {\bf A}-\lambda {\bf I} ) \cdot {\bf x} = {\bf 0} [/tex]

eingesetzt. Also in Deinem Fall für den ersten Eigenvektor

[tex] \begin{pmatrix} 2-\lambda_1 & 6 \\ 4 & 6-\lambda_1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/tex]

Du kannst nun aus der ersten Zeile Deinen Eigenvektor bestimmen, indem Du das Verhältnis von x_1 zu x_2 ermittelst. Wenn Du den Eigenvektor lieber aus der zweiten Zeile der Matrixgleichung ermitteln willst, so kannst Du auch das tun - Du wirst das selbe Ergebnis erhalten. (Sofern wir richtig gerechnet haben...)

NBl schrieb:

... ist schon spät😉)

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eindeutig ZU spät.