Dritte Ableitung - Aufgabe 1.2.3

Wie oft ist die Funktion f mit

f(x) = |x|³ = x³ (falls x >= 0) bzw. -x³ (falls x <0)

über ganz R differenzierbar?

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Als Lösung sind nun die ersten 3 Ableitungen angegeben, die dritte lautet 6 bzw -6.
Nun steht aber dabei, dass an der Stelle x = 0 die 3. Ableitung nicht existiere und die Funktion über R somit nur zweimal differenzierbar sei.

Aber warum genau? Ich verstehe das nicht. Die dritte Ableitung ist ja immer 6, egal ob x nun 5 ist oder eben 0.

😕

mir liegt der neue Text nicht vor. Aber es ist so, dass Die Betragsfunktion f(x) = |x| im Punkt x = 0 überhaupt nicht differenzierbar ist. Weder einmal noch dreimal. Das liegt darin, dass die Steigung (also die "1.Ableitung" )im Punkt x = 0 von rechts kommend +1 ist und von links kommend -1. Daher stimmen rechts-und linksseitige Steigung nicht überein und damit gibt es im Punkt x = 0 gar keine Steigung und damit auch keine 1.Ableitung. Die Funktion ist dort zwar stetig, sie hat eine Spitze. Aber stetig heißt eben nicht automatisch auch differenzierbar.
Etta

nicht ganz 😉 erste und zweite ableitung sind hier 0 (jeweils links- und rechtsseitig) bei x=0, also ist die funktion prinzipiell zumindest zweimal differenzierbar.

aber weil sich die rechtsseitigen und linksseitigen werte bei der dritten ableitung unterscheiden, ist die bedingung für differenzierbarkeit an der stelle x=0 nicht gegeben (siehe s7, satz 1.1.1)

danke für die Antworten.


Hm... Hab ich das richtig verstanden?

Also, die zweite Ableitung lautet ja: f''(x) = 6x (falls X >= 0) bzw. -6x (falls x < 0)

Nun überprüfe ich für beide den Differentialquotienten an x = 0 für jeweils beide Seiten.

Zuerst für den Fall, dass ich mich von links nähere:

lim x -> 0+ : (-6x - 0)/(x-0) =
lim x -> 0+ : -6x/x =
-6

Dann für den Fall, dass ich mich von rechts nähere:
lim x -> 0+ : 6x - 0)/(x-0) =
lim x -> 0- : 6x/x =
6

Da beide nicht übereinstimmen, ist die zweite Ableitung an der Stelle 0 nicht mehr differenzierbar.



Gegenbeispiel: Den Differenzialquotienten an x = 0 von der 1. Ableitung bilden:

Zuerst für den Fall, dass ich mich von links nähere:

lim x -> 0- : (-3x² - 0)/(x - 0) =
lim x -> 0- : -3x²/x =
lim x -> 0- : -3x (nun den Grenzwert, also 0, einsetzen für x) -->
als Ergebnis erhält man 0 (da -3*0 = 0)

Dann für den Fall, dass ich mich von rechts nähere:

lim x -> 0+ : (3x² - 0)/(x - 0) =
lim x -> 0+ : 3x²/x =
lim x -> 0+ : 3x (nun den Grenzwert, also 0, einsetzen für x) -->
als Ergebnis erhält man 0 (da 3*0 = 0)

Da hier beide Ableitungen gleich (d.h. 0) sind, ist f'(x) an der Stelle x = 0 differenzierbar.

Passt alles und habe ich es nun verstanden?? 😕

Und noch eine Frage: Woher weiß ich, ob eine Funktion an einer bestimmten Stelle nicht differenzierbar ist? Denn nach "normalen" Ableitungsregeln kann man ja f''(x) auch ableiten und erhält dann als f'''(x) = 6 (für x >= 0) bzw. -6 (für x < 0), d.h. eine scheinbare Ableitungsfunktion, die auch für x = 0 gültig ist, gäbe es ja somit.
Wie kann ich herausfinden, in welchem Bereich eine Funktion differenzierbar ist, ohne für jeden einzelnen Punkt zu überprüfen, ob er links- und rechtsseitig differenzierbar ist?

Danke :cool

Ist es nicht einfach so, dass die 3 Ableitung nicht existiert, weil schlicht & einfach kein x mehr existiert??
f'''(x) = 6 , dann lässt sich ja x <=> 0 nicht beantworten wenn x nicht mehr da ist und somit existiert keine Ableitung von x mehr.

Ich hab die Antwort so interpretiert, und hoffe das stimmt so.

lg
sascha

Hm, das glaube ich eher nicht.
Wenn du f(x) = x ableitest, hast du ja auch f'(x) = 1. Die Ableitungsfunktion ist eine Gerade; und die Ableitung existiert trotzdem an jedem beliebigen Punkt x, obwohl f'(x) konstant ist und man keinen Wert mehr für x einsetzen kann. :confused

ja, ich kann es ableiten aber in der Lösung heißt es doch:
Somit ist die Funktion f über R nur zweimal differenzierbar.
Also ohne x kann ich doch nicht sagen ob x <=> als 0 ist und somit auch nicht differenzieren, in diesem Sinne.

okay differenzieren ist ein synonym für ableiten, aber vielleicht scheinbar doch nicht exakt das gleiche, oder???

wer kann das mal bestätigen oder korrigieren?

ich glaub, ihr denkt einfach zu kompliziert 😉

1. wenn die linksseitige und die rechtsseitige ableitung an einem punkt existieren
und
2. wenn sie dann auch noch dort den gleichen wert haben, dann nennt man die funktion in diesem punkt "differenzierbar".

das ist alles.

dreimal differenzierbar ist die funktion nicht, weil einsetzen in die dritte ableitung bei x=0 linksseitig -6 und rechtsseitig +6 ergibt und das ist einfach nicht der gleichen wert.

das hat nix damit zu tun, dass man hier x nicht einsetzen kann. man hat zwei werte und die sind halt eben nicht gleich

Abschließende Antwort:
Hab in einer Quelle gefunden wie es sich in Kurzform zeigen/berechnen lässt:

f(x) = x^3 --> g(x)=x^3 h(x)=- x^3

Find ich leicht zu merken:
wenn g(x) = h(x), dann ist die Funktion stetig
wenn g'(x) = h'(x) dann ist die Funktion differenzierbar

Beispiel mit obiger Aufgabe
Da keine Stelle für x angegeben ist, nehmen wir für x = 0

g(x) = 0^3 = 0
h(x) = -0^3 = 0

Antwort: g(x)=h(x), die Funkton ist stetig.

g'(x) = 3 * 0 ^2 = 0
h'(x) = -3 * 0 ^2 = 0

Antwort: g'(x) = h'(x) Die Funktion ist differenzierbar.

g''(x) =0
h''(x) =0
Antwort: g''(x) = h''(x) Die Funktion ist differenzierbar.

g'''(x) = 6
h'''(x) = -6

Antwort: g'''(x) ungleich h'''(x) Die Funktion ist nur 2x differenzierbar.


Würde nun gefragt ist die Funktion an der Stelle xo=3 stetig, oder differenzierbar, verfährt man genauso, nur dass man statt x=0 mit x= 3 rechnet.
Da wir Multiple Choice Aufgaben haben müsste das völlig ausreichen.
Den längeren Rechenweg über den Differenzialquotient kann man ja im Hinterkopf lassen.