Differenzengleichung

Differenzengleichung - Hilfe

Ich hab Probleme mit den Differenzengleichungen und hätte gerne mal ein Rat.

Beispiel 15.8.5
^yn-nyn=2n
y6 = 720y0 + 1438
Kann mir das mal jemand bitte erklären? Die 720 sind mir klar (6*5*4*3*2*1=720) aber wie kommen die 1438 zustande


Aufgabe 15.8.6
^yn+anyn=bn => ^yn=yn+1-yn => yn+1=bn+(1-an)yn
n=0: y1 = y0
n=1: y2 = 2 + 2y1 = 2 + 2y0
n=2: y3 = 4 + 3y2 = 10 + 6y0
n=3: y4 = 6 + 4y3 = 46 + 24y0
n=4: y5 = 8 + 5y4 = 38 + 120y0
n=5: y6 = 10 + 6y5 = 1438 + 720y0
Ich hab keine Ahnung wie das zustande kommt

Aufgabe 15.8.7
^yn-2nyn=3n berechnen sie das 5.Folgeglied
945y0+1416
Keine Ahnung

Biete um Hilfe bei der suche nach der Lösung

reicht Dir das, wenn ich Dir nur die Zahlenwerte hinschreib?

y6 = 720 yo + 2 * [1*3*4*5*6 + 2*4*5*6 + 3*5*6 + 4*6] + 10.

Die Zahlenwerte ergeben sich einfach aus der jeweiligen Produktregel in der Formel, also Startwert einsetzen und dann hochzaehlen.

Ciao, Caro

Die steht auch so im Buch, aber das hilft mir leider nicht viel, da ich nicht dahinter komme. Die 720yo sind mir klar, aber der Rest leider nicht. Kannst du mir das bitte hinschreiben, also ausfuehrlich....

Das bezieht sich ja auf die erste Frage. Bin mir nicht sicher wie das geht.

Danke
Mark

^yn-nyn=2n
y6 = 720y0 + 1438

Caro, kannst du mir das mal bitte vorrechnen?

Grins, sorry - ich hatte das im Heft nicht mehr nachgesehen, sondern nur von meiner eigenen Loesung abgeschrieben 😀

[tex]y_n-ny_n=2n[/tex]

also ist

[tex]a_n=-1[/tex]
[tex]b_n=2[/tex]

allgemeine Loesung:
[tex]y_n=y_o\prod_{k=1}^{n-1} (1-a_k)+\sum_{k=0}^{n-2} b_k\prod_{i=k+1}^{n-1} (1-a_i)+b_n-1[/tex]

-> einsetzen a und b in die allgemeine Loesung ergibt ...

Fortsetzung folgt ..

Ok, jetzt merk ich grad, dass ich das selbst alles nicht mehr so recht auf der Pfanne habe. Ich hoff, ich krieg das noch hin und mach das mal komponentenweise:

[tex]y_6=y_o\prod_{k=1}^{n-1} (1+1k)+2\sum_{k=0}^{n-2} k\prod_{i=k+1}^{n-1} (1+i)+2*(6-1)[/tex]

Bis hierher soweit klar?
Aus (1-ak) wird (1+k), da a = -1.
Aus bk wird 2k, da b = 2. Die 2 ziehst Du vor das Summenzeichen.
Aus (1-ai) wird (1+i), da a = -1.
Aus bn-1 wird 2(6-1), da b = 2 und n = 6. Das ergibt den Wert 10.

Die erste Komponente, also yo*6! ... da weisst Du, wie Du hinkommst. Dann also weiter mit der naechsten Komponente

Du faengst bei k = 1 zu zaehlen an; damit ist i = k+1 = 2. Der Wert oberhalb des Summenzeichens ist n - 2 = 6 - 2 = 4.

Dann lautet der erste Durchlauf fuer

[tex]2\sum_{k=0}^{n-2} k\prod_{i=k+1}^{n-1} (1+i)[/tex]

1*3*4*5*6

1 = k
3 = 1+i (der Startwert fuer i = k + 1 = 2). Von dort aus zaehlst Du hoch, bis i = 5
4 = 1+i (fuer i = 3)
5 = 1+i (fuer i = 4)
6 = 1+i (fuer i = 5)

Zweiter Durchlauf

2*4*5*6

2 = k
4 = 1+i (der Startwert fuer i = k + 1 = 3). Von dort aus wieder hochzaehlen, bis i = 5
5 = 1+i (fuer i = 4)
6 = 1+i (fuer i = 5)

Dritter Durchlauf

3*5*6

3 = k
5 = 1+i (der Startwert fuer i = k + 1 = 4). Von dort aus wieder hochzaehlen, bis i = 5
6 = 1+i (fuer i = 5)

Vierter Durchlauf

4*6

4 = k
6 = 1+i (der Startwert fuer i = k + 1 = 5)

Alles zusammen gibt dann

[tex]y_6=y_o*6!+2*(1*3*4*5*6+2*4*5*6+3*5*6+4*6)+10[/tex]

2* den Wert in der Klammer zzgl. 10 gibt 1438.

Hm, ich hoff, das stimmt jetzt auch alles so. Kommst Du mit der Darstellung klar?

Ciao, Caro

Das Haptproblem ist, dass ich keine Ahnung hab wie die Zeichen zu lesen habe. Das versteh ich nicht. Ich dank dir für die mühe, aber versteh die Zeichen nicht.
Was ist mit der Formel. (so was versteh ich auch)

(yo - b/a) * (1-a)^n + b/a

Könnte man auch die verwenden und wenn ja.....wie. Versuch mich jetzt mal da durch zulesen um zu sehen ob ich es doch noch schaffe.

Nee ich verstehe es nicht. Versuch morgen nochmal, aber ich denke, dass sich da nix ändert. Ich hoffe mal, das sowas nicht in der Klausur vorkommt, zumindest mal nicht in dieser Form