von Studenten für Studenten
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Guten Start ins Wintersemester 2024/2025
Differentialgleichungen
- Ersteller misscrie
- Erstellt am
Es gibt kein Patentrezept für Differentialgleichungen, außer natürlich:
1) Erkennen, was für ein Typ von Differentialgleichung vorliegt.
1a) falls notwendig, so umformen, dass ein bekannter Typ entsteht
2) das Patentrezept für diesen Typ anwenden, falls existent
Da ich nicht weiß, welche Typen von DGLs ihr kennen müsst, halte ich mich da mit konkreten Tips mal zurück.
1) Erkennen, was für ein Typ von Differentialgleichung vorliegt.
1a) falls notwendig, so umformen, dass ein bekannter Typ entsteht
2) das Patentrezept für diesen Typ anwenden, falls existent
Da ich nicht weiß, welche Typen von DGLs ihr kennen müsst, halte ich mich da mit konkreten Tips mal zurück.
Ich kann immer nur folgendes vorschlagen: Da es sich in den Klausuren bei diesen Aufgaben meistens um Ankreuzaufgaben handelt, würde ich umgekehrt rechnen. Löse also die Differentialgleichung nach z.B. dy / dx auf und leite dann die möglichen Lösungen ab, bis du das selbe hast, was auf der rechten Seite steht. Steht dort allerdings d^2y / dx^2 muss Du die Lösungen natürlich 2 mal ableiten
Shila,
das ist ein genialer Ansatz 🙂 !
Leider verstehe ich den Weg aber nicht ganz. 😕
Kannst Du mir das etwas ausführlicher erklären? Vielleicht am folgenden Beispiel (aus der Klausur 3/2009):
y' - x^2 = 0
y(3) = 9 (Anfangsbedingung)
Mögliche Lösungen:
y(0) = -2
y(0) = -1
y(0) = 0
y(0) = 1
Und nu? :ka:
Richtig ist (angeblich) die vorletzte.
Danke und Grüsse
awehring
das ist ein genialer Ansatz 🙂 !
Leider verstehe ich den Weg aber nicht ganz. 😕
Kannst Du mir das etwas ausführlicher erklären? Vielleicht am folgenden Beispiel (aus der Klausur 3/2009):
y' - x^2 = 0
y(3) = 9 (Anfangsbedingung)
Mögliche Lösungen:
y(0) = -2
y(0) = -1
y(0) = 0
y(0) = 1
Und nu? :ka:
Richtig ist (angeblich) die vorletzte.
Danke und Grüsse
awehring
Wie gesagt, ganz einfach. Hier musst Du durch das y' natürlich aufleiten, damit Du die Ableitung weg kriegst.
Erster Schritt: y' - x^2 = 0 <=>y' = x^2, dann ist y = Integral von x^2, also y = 1/3 x^3. Probe: x(3) = 27/3 = 9, dann setzt Du 0 für x ein, also 1/3 * 0^3 = 0, also c.
Stehen in der Gleichung Ableitungen, wie hier y', machst Du diese durch aufleiten rückgängig, stehen dort Aufleitungen, also dy / dx, musst Du ableiten, um auf y zu kommen
Erster Schritt: y' - x^2 = 0 <=>y' = x^2, dann ist y = Integral von x^2, also y = 1/3 x^3. Probe: x(3) = 27/3 = 9, dann setzt Du 0 für x ein, also 1/3 * 0^3 = 0, also c.
Stehen in der Gleichung Ableitungen, wie hier y', machst Du diese durch aufleiten rückgängig, stehen dort Aufleitungen, also dy / dx, musst Du ableiten, um auf y zu kommen
Dieses "Rückwärtsrechnen" machst Du eigentlich nur, wenn Du Funktionen als Antwortmöglichkeiten hast, also z.B. (d²y/dx²) +sinx = 0 und Du als Antwortmöglichkeiten zum Beispiel
a) y=sinx +1
b) y = cosx
c) y = -sinx
Dann rechnest Du umgekehrt, also zuerst so umformen, dass (d²y/dx²) alleine steht
(d²y/dx²) = -sinx.
Dann sollte Dir klar sein, dass (d²y/dx²) die zweite Aufleitung von der Funktion y nach x ist. Jetzt rechnest Du umgekehrt, also zwei mal ableiten um die Aufleitung aufzulösen:
a) y' = cos x , y'' = -sinx (siehe da: -sinx + sinx = 0, also richtige Lösung)
b) y' = -sinx, y'' = -cosx (falsch)
c) y' = -cosx, y'' = sinx (falsch)
Das selbe gilt auch, wenn dort y' + sinx = 0 steht. Dann löst Du zuerst nach y' auf und gehst die einzelnen Anwortmöglichkeiten durch. Hier musst Du aber allerdings dann aufleiten, um die Ableitung weg zu kriegen.
a) y=sinx +1
b) y = cosx
c) y = -sinx
Dann rechnest Du umgekehrt, also zuerst so umformen, dass (d²y/dx²) alleine steht
(d²y/dx²) = -sinx.
Dann sollte Dir klar sein, dass (d²y/dx²) die zweite Aufleitung von der Funktion y nach x ist. Jetzt rechnest Du umgekehrt, also zwei mal ableiten um die Aufleitung aufzulösen:
a) y' = cos x , y'' = -sinx (siehe da: -sinx + sinx = 0, also richtige Lösung)
b) y' = -sinx, y'' = -cosx (falsch)
c) y' = -cosx, y'' = sinx (falsch)
Das selbe gilt auch, wenn dort y' + sinx = 0 steht. Dann löst Du zuerst nach y' auf und gehst die einzelnen Anwortmöglichkeiten durch. Hier musst Du aber allerdings dann aufleiten, um die Ableitung weg zu kriegen.
Ist das wirklich produktiv für euch, euch über solche einfachen Fälle den Kopf zu zerbrechen? Wenn da nur ein y in der Gleichung vorkommt, dann stellt man das ggf. so um, dass y auf einer Seite ist und integriert entsprechend oft, das hat mit Differentialgleichungen an sich nur wenig zu tun.
Nein, das Gebilde nennt sich zweite Ableitung. Mit "Aufleitung" meint man das unbestimmte Integral.
Ich finde, dass es keine dummen Fragen gibt. Deshalb finde ich auch, dass Dein Beitrag nicht sehr konstruktiv ist. Wer Fragen hat, soll fragen. Manchmal steht man einfach mal aufn Schlauch und man sollte jemanden nicht dafür verurteilen.
Wie gesagt wie kommt man bei allgemeinen linearen Differentialgleichungen auf die allgemeine Lösung? Verstehe das ganze nicht mehr, wo im Skript steht, dass links die Ableitung von e^(P(x))y(x) nach x steht und man deshalb einfach mal auf der rechten Seite das Integral hinschreibt???(Seite 18 oben) häää? und wie genau bestimme ich dann das fundamentalsystem dazu?
Wie einfache methode das verwirrt eher mich 😀? da steht das 1/3y^2 dy/dx -x^2=0 so dass die Lösung das integral von 1/3y^2 dy = integral von x^2 dx ist ich verstehe das problem nicht. Achja hätte hier noch für alle die Probleme mit irgendeinen Thema haben: YouTube - Kanal von JoernLoviscach <- da ist auch ziemlich gut Differentialgleichungen sowie alles restliche erklärt was man wissen sollte.
M
melli87
Wolle,
ich versuch einfach mal dir die Lösung zu deiner gestellten Aufgabe zu erklären.
Da ich aber net der "große Mathematiker" bin wird es sich auch net mathematisch anhören. Halt einfach in meinen Worten. Hoffe du kapierst es und hoffe es stört sich sonst keiner an evtl. "mathematisch falschen" aussagen 😱)
So merke ich es mir
Aufgabenstellung:
1/3y^2 * dy/dx - x^2 = 0
Mit y(0) = -1
Gesucht: y(1)
Hierbei handelt es sich um eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
Dies liegt immer dann vor, wenn folgende "Formel" erfüllt ist:
y' * h(y) = g(x)
Wenn du dir mal die Gleichung oben anschaust, dann kann man diese genau in die Form bringen (weil dy/dx = y' = 1. Ableitung)
Also formen wir mal um:
y' * 1/3y^2 = x^2
(einfach dy/dx durch y' ersetzt und x^2 auf die andere Seite gebracht)
Nun haben wir unsere Ausgangsform.
Bei Differentialgleichungen mit getrennten Variablen muss man dann immer in die folgende "Lösungsformel" einsetzen: (§ steht für Integral 😀)
§ h(y) dy = §g(x)dx
Hier: h(y) = 1/3y^2 und g(x) = x^2
Lösung:
1. In die Lösungs-Formel einsetzen
§ 1/3y^2 dy = §x^2 dx ;
2. Gleichung umformen
§ 1/3 y^-2 dy = § x^2 dx
3. Integrieren (Merke: Potenz um 1 erhöhen und mit Kehrwert multiplizieren; außerdem "+c" auf einer Seite addieren)
-1/1 * 1/3 y^-1 = 1/3 x^3 + c
4. Zusammenfassen
-1/3 y^-1 = 1/3 x^3 + c
5. Funktion nach y auflösen
y^-1 = -x^3 - 3c;
y = 1/ (-x^3-3c)
6. Den gegebenen Anfangswert (Hier y(0) = -1) einsetzen in fett markierte Formel
1/ -3c = -1
c = 1/3
7. Nun den gesuchten Wert (Hier y(1) = ?) zusammen mit dem eben gefunden Wert für c in die fett markierte Formel einsetzen
y(1) = 1/ (-1^3 - 3*1/3) = 1/-2 = -1/2
Tatatatatata
schon hast du dein -1/2 = -0,5
Sieht jetzt auf den ersten Moment seeehr kompliziert aus.
Aber versuchs einmal nachzuvollziehen. Ist nicht schwer.
Hoffe es war verständlich.
Ansonsten einfach fragen.
Gruß Melli
PS: Viel Glück am Montag
ich versuch einfach mal dir die Lösung zu deiner gestellten Aufgabe zu erklären.
Da ich aber net der "große Mathematiker" bin wird es sich auch net mathematisch anhören. Halt einfach in meinen Worten. Hoffe du kapierst es und hoffe es stört sich sonst keiner an evtl. "mathematisch falschen" aussagen 😱)
So merke ich es mir
Aufgabenstellung:
1/3y^2 * dy/dx - x^2 = 0
Mit y(0) = -1
Gesucht: y(1)
Hierbei handelt es sich um eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
Dies liegt immer dann vor, wenn folgende "Formel" erfüllt ist:
y' * h(y) = g(x)
Wenn du dir mal die Gleichung oben anschaust, dann kann man diese genau in die Form bringen (weil dy/dx = y' = 1. Ableitung)
Also formen wir mal um:
y' * 1/3y^2 = x^2
(einfach dy/dx durch y' ersetzt und x^2 auf die andere Seite gebracht)
Nun haben wir unsere Ausgangsform.
Bei Differentialgleichungen mit getrennten Variablen muss man dann immer in die folgende "Lösungsformel" einsetzen: (§ steht für Integral 😀)
§ h(y) dy = §g(x)dx
Hier: h(y) = 1/3y^2 und g(x) = x^2
Lösung:
1. In die Lösungs-Formel einsetzen
§ 1/3y^2 dy = §x^2 dx ;
2. Gleichung umformen
§ 1/3 y^-2 dy = § x^2 dx
3. Integrieren (Merke: Potenz um 1 erhöhen und mit Kehrwert multiplizieren; außerdem "+c" auf einer Seite addieren)
-1/1 * 1/3 y^-1 = 1/3 x^3 + c
4. Zusammenfassen
-1/3 y^-1 = 1/3 x^3 + c
5. Funktion nach y auflösen
y^-1 = -x^3 - 3c;
y = 1/ (-x^3-3c)
6. Den gegebenen Anfangswert (Hier y(0) = -1) einsetzen in fett markierte Formel
1/ -3c = -1
c = 1/3
7. Nun den gesuchten Wert (Hier y(1) = ?) zusammen mit dem eben gefunden Wert für c in die fett markierte Formel einsetzen
y(1) = 1/ (-1^3 - 3*1/3) = 1/-2 = -1/2
Tatatatatata
schon hast du dein -1/2 = -0,5
Sieht jetzt auf den ersten Moment seeehr kompliziert aus.
Aber versuchs einmal nachzuvollziehen. Ist nicht schwer.
Hoffe es war verständlich.
Ansonsten einfach fragen.
Gruß Melli
PS: Viel Glück am Montag
Die Lösungsformel kann man sich übrigens sehr leicht merken (von "herleiten" möchte ich mal nicht sprechen, ohne genau zu wissen, was da mathematisch passiert):
[tex]h(y) y' = g(x)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow h(y) \frac{dy}{dx} = g(x)[/tex]
Formal mit dx multiplizieren:
[tex]\Leftrightarrow h(y) dy = g(x) dx[/tex]
Beide Seiten integrieren:
[tex]\int h(y) dy = \int g(x) dx[/tex]
Auch nicht schlecht,
eine letzte Frage habe ich noch:
oben sagte shila : "Stehen in der Gleichung Ableitungen, wie hier y', machst Du diese durch aufleiten rückgängig, stehen dort Aufleitungen, also dy / dx, musst Du ableiten, um auf y zu kommen"
melli87 dagegen "(weil dy/dx = y' = 1. Ableitung)"
was ist denn nun Ableitung und was Aufleitung 🙂?
eine letzte Frage habe ich noch:
oben sagte shila : "Stehen in der Gleichung Ableitungen, wie hier y', machst Du diese durch aufleiten rückgängig, stehen dort Aufleitungen, also dy / dx, musst Du ableiten, um auf y zu kommen"
melli87 dagegen "(weil dy/dx = y' = 1. Ableitung)"
was ist denn nun Ableitung und was Aufleitung 🙂?
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