von Studenten für Studenten
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Guten Start ins Wintersemester 2024/2025
Definitheit
- Ersteller Francil
- Erstellt am
Hesse-Matrix
Ist H an einer Stelle positiv definit, so befindet sich dort ein lokales Minimum der Funktion. Ist H dort negativ definit, so handelt es sich um ein lokales Maximum. Ist H indefinit, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt der Funktion, d. h., es liegt weder ein Minimum noch ein Maximum vor.
Definitheit
Eine quadratische symmetrische bzw. hermitesche Matrix ist
positiv definit, falls alle Eigenwerte größer als Null sind;
positiv semidefinit, falls alle Eigenwerte größer oder gleich Null sind;
negativ definit, falls alle Eigenwerte kleiner als Null sind;
negativ semidefinit, falls alle Eigenwerte kleiner oder gleich Null sind und
indefinit, falls positive und negative Eigenwerte existieren.
Konkav, Konvex
Aus der Definitheit kann man Aussagen über das Krümmungsverhalten der Funktion f(x,y) machen
- f ist konvex, wenn die Hesse-Matrix positiv semidefinit ist. Matrixelement a11 und Determinante der Hesse-Matrix > oder = 0
-f ist streng konvex, wenn die Hesse-Matrix streng positiv semidefinit, also a11 und Determinante > 0
- f ist konkav, wnn die Hesse-Matrix negativ semidefinit ist, dafür muß a11< oder = 0 sein , die Determinante aber > oder = 0
-f ist streng konkav, wenn die Hesse-Matrix streng negativ semidefinit ist also a11< 0 und Determinante > 0
Ist a11 > oder gleich 0 und die Determinante <0 ist die Hesse-Matrix indefinit, keine Aussage über das Krümmungsverhalten der Funktion ist möglich.
--------------
Hätttest Du alles selber finden können.
Ist H an einer Stelle positiv definit, so befindet sich dort ein lokales Minimum der Funktion. Ist H dort negativ definit, so handelt es sich um ein lokales Maximum. Ist H indefinit, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt der Funktion, d. h., es liegt weder ein Minimum noch ein Maximum vor.
Definitheit
Eine quadratische symmetrische bzw. hermitesche Matrix ist
positiv definit, falls alle Eigenwerte größer als Null sind;
positiv semidefinit, falls alle Eigenwerte größer oder gleich Null sind;
negativ definit, falls alle Eigenwerte kleiner als Null sind;
negativ semidefinit, falls alle Eigenwerte kleiner oder gleich Null sind und
indefinit, falls positive und negative Eigenwerte existieren.
Konkav, Konvex
Aus der Definitheit kann man Aussagen über das Krümmungsverhalten der Funktion f(x,y) machen
- f ist konvex, wenn die Hesse-Matrix positiv semidefinit ist. Matrixelement a11 und Determinante der Hesse-Matrix > oder = 0
-f ist streng konvex, wenn die Hesse-Matrix streng positiv semidefinit, also a11 und Determinante > 0
- f ist konkav, wnn die Hesse-Matrix negativ semidefinit ist, dafür muß a11< oder = 0 sein , die Determinante aber > oder = 0
-f ist streng konkav, wenn die Hesse-Matrix streng negativ semidefinit ist also a11< 0 und Determinante > 0
Ist a11 > oder gleich 0 und die Determinante <0 ist die Hesse-Matrix indefinit, keine Aussage über das Krümmungsverhalten der Funktion ist möglich.
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Hätttest Du alles selber finden können.
Hm, nach Hessematrix wurde doch gar nicht gefragt?
Den Kram habe ich in einem anderen Thread diese WOche doch schon mal erklärt?
Also allgemein gilt, eine symetrische Matrix, bzw ihre quadratische Form ist dann
positiv definit, wenn alle Eigenwerte positiv sind,
negativ definit, wenn alle Eigenwerte negativ sind
positiv semidefinit, wenn alle Eigenwerte >=0 sind
negativ semidefinit, wenn alle Eigenwerte <=0
und indefinit, bei Eigenwerten größer und kleiner 0
Bei einer symetrischen Matrix kann man dann auch über a11 und die Determinante gehen, dem Slyvesterkriterium, s.o
Unsymetrische quadratische Matrizen muß man erst in eine symetrische, in ihren hermitischen Anteil, überführen,1/2(A+A^T) oder eben gleich die Eigenwerte berechnen.
Bei
6 0
3 0
D=0, damit Lambda frei wählbar und indefinit, machen wir mal ne hermitsche daraus, für den Sylvester:
6 3
3 0
D=-9
a11>0 D=.9 und damit auch indefinit
Bei
6 0
0 3
Eigenwerte:
D=(6-y)(3-y)=0
y=6 v y=3
damit positiv definit
die Matrix ist symetrisch und quadratisch, daher geht auch Sylvester
a11>0 D>0
und auch positvi definit
Den Kram habe ich in einem anderen Thread diese WOche doch schon mal erklärt?
Also allgemein gilt, eine symetrische Matrix, bzw ihre quadratische Form ist dann
positiv definit, wenn alle Eigenwerte positiv sind,
negativ definit, wenn alle Eigenwerte negativ sind
positiv semidefinit, wenn alle Eigenwerte >=0 sind
negativ semidefinit, wenn alle Eigenwerte <=0
und indefinit, bei Eigenwerten größer und kleiner 0
Bei einer symetrischen Matrix kann man dann auch über a11 und die Determinante gehen, dem Slyvesterkriterium, s.o
Unsymetrische quadratische Matrizen muß man erst in eine symetrische, in ihren hermitischen Anteil, überführen,1/2(A+A^T) oder eben gleich die Eigenwerte berechnen.
Bei
6 0
3 0
D=0, damit Lambda frei wählbar und indefinit, machen wir mal ne hermitsche daraus, für den Sylvester:
6 3
3 0
D=-9
a11>0 D=.9 und damit auch indefinit
Bei
6 0
0 3
Eigenwerte:
D=(6-y)(3-y)=0
y=6 v y=3
damit positiv definit
die Matrix ist symetrisch und quadratisch, daher geht auch Sylvester
a11>0 D>0
und auch positvi definit
C
caro306
Ja wegen der tatsache kann man gleich eine ganze Aufgabe mit punkten verlieren, wenn man darauf nicht achtet...
Es gilt GRUNDSÄTZLICH die logische Aussage:
Wenn ich eine Matrix habe, von der ich weiß, dass sie positiv definit ist, dann ist sie auch positiv semidefinit ("positiv semidefinit" ist ja eine Abschwächung der Eigenschaft "positiv definit") So wie in anderem Zusammenhang aus "streng monoton steigend" stets die abgeschwächte Eigenschaft "monoton steigend" folgt.
zu deinen Beispielen:
die erste Matrix ist in der Tat positiv definit (und damit nach dem oben Gesagten auch positiv semidefinit)
die zweite Matrix ist, da das Element in der Position (1,1) positiv ist und auch die Det der Matrix (3*3-0*0 = 9) positiv ist, ebenfalls positiv definit (und damit nach dem oben Gesagten auch positiv semidefinit)
Wenn ich eine Matrix habe, von der ich weiß, dass sie positiv definit ist, dann ist sie auch positiv semidefinit ("positiv semidefinit" ist ja eine Abschwächung der Eigenschaft "positiv definit") So wie in anderem Zusammenhang aus "streng monoton steigend" stets die abgeschwächte Eigenschaft "monoton steigend" folgt.
zu deinen Beispielen:
die erste Matrix ist in der Tat positiv definit (und damit nach dem oben Gesagten auch positiv semidefinit)
die zweite Matrix ist, da das Element in der Position (1,1) positiv ist und auch die Det der Matrix (3*3-0*0 = 9) positiv ist, ebenfalls positiv definit (und damit nach dem oben Gesagten auch positiv semidefinit)
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