Definitheit einer Matrix

kwo · 16 Februar 2007

ich weiß nicht wann eine Matrix positiv definit bzw. semidefinit bzw. negativ definit bzw. semidefinit ist bzw. wie man das berechnet. Ich lese das jetzt schon zum xten mal durch und verstehe es nicht. Muß man da wirklich immer die Eigenwerte berechnen. Ist ja extrem aufwendig. Und was hat man wenn man die Eigenwerte errechnet hat. Was sind Hauptminoren.

Fragen über Fragen und für mich leider ein spanisches Dorf. Vielleicht könnte mir jemand auf die Sprünge helfen ...

turboschneckedp · 16 Februar 2007

wenn du die Eigenwerte errechnet hast und die sind alle positiv, dann ist die Matrix positiv definit. Ich glaube sie muß auch noch symmetrisch sein, aber das sind die immer. Wenn die Eigenwerte nicht-negativ (Unterschied)sind, dann liegt semi-definitheit vor, etc.

Was ein Minor ist, kannst du bei Wiki nachsehen, spielt hier eigentlich keine Rolle.

kwo · 17 Februar 2007

Danke turbo,

der vollständigkeit halber möchte ich noch kurz ein beispiel anführen ob ich da richtig vorgehe (mir erscheint das einfach so aufwendig bei einer Klausur für sechs matrizen alles zu berechnen nur um ankreuzen zu können, welche definitheit vorliegt):

(1 0)
(0 -1) = (1-&)(-1-&)-0
= &²-1 null setzen
&1 = -1 &2 = 1 --> also indefinit

(2 1)
(3 1) = (2-&)(1-&)-3
= &²-3&-1
&1,2 = 1,5 +- wurzel (2,25 +1)
(die wurzel hab ich mit dem taschenrechner gerechnet -
aber beid er Klausur ?)
&1 = 3,3 &2 = -0,3 --> also auch indefinit

bin mir hier noch schwer unsicher

turboschneckedp · 17 Februar 2007

Ja so isses wohl. Zur ersten Aufgabe: bei einer Diagonalmatrix sind die Diagonalelemente bereits die Eigenwerte, es bleibt nichts mehr zu rechnen. Gruss und Übung macht den Meister.

vk-22 · 8 März 2007

eines habt ihr hier vergessen:
Eine Quadratische Matrix ist nicht unbedingt symmetrisch (Symmetrische dafür immer quadratisch).

Wenn Du eine quadratische Matrix hast, die nicht symmetisch ist, wie zB

2

vk-22 · 8 März 2007

Hallo
,
eines habt ihr hier vergessen:

Eine Quadratische Matrix ist nicht unbedingt symmetrisch (Symmetrische dafür immer quadratisch).

Wenn Du eine quadratische Matrix hast, die nicht symmetisch ist, wie zB

2 -1
1 0

dann musst Du diese erst symmetrisch machen, bevor Du die Eigenwerte errechnest und die Definitheit bestimmst!

Die dazugehörige symmetische Matrix wäre:

2 0
0 0

Das errechnest Du, in dem Du die Nebendiagonalen addierst und jeweils die Hälfte des errechneten Wertes anstelle der -1 und 1 packst:

(1+(-1) = 0

1/2 x 0 = 0

daher

2 0
0 0

LG
Vrena

vk-22 · 8 März 2007

Ergänzung (aus Wiki)

Definitheitskriterium: Eigenwerte [Bearbeiten]

Eine quadratische symmetrische bzw. hermitesche Matrix ist
positiv definit,falls alle Eigenwerte größer als Null sind;positiv semidefinit,falls alle Eigenwerte größer oder gleich Null sind;negativ definit,falls alle Eigenwerte kleiner als Null sind;negativ semidefinit,falls alle Eigenwerte kleiner oder gleich Null sind undindefinit,falls positive und negative Eigenwerte existieren.

Drealein · 8 März 2007

Schön, vielleicht werde ich das dann auch rechen können

turboschneckedp · 10 März 2007

Auch hier macht Übung den Meister

übrigens scheint mir #6 nicht richtig zu sein, wo hast du das denn her?
natürlich gibt es die Zerlegung in sysmmetrischen und antisymme- trischen Anteil, aber was hilft das für die EW?

selbstverständlich kann man von der, übrigens schiefsysmmetrischen, Beispielmatrix die Eigenwerte ausrechnen, so wie bei anderen (quadratischen) Matrizen auch. Es kommt der (doppelte) EW lambda = 1 heraus.

NIK · 14 März 2007

Bisher habe ich das immer nur über die Eigenwerte gelöst.
Und das hat bei symmetrischen und nicht symmetrischen Matrizen geklappt.

War das jetzt nur zufall wenn ihr schreibt das die eigentlich auch symmetrisch seien müssen?

Vg, Nik

turboschneckedp · 14 März 2007

das Ausrechnen der Eigenwerte hat bestimmt geklappt, aber ob damit im nichtsysmmetrischen Fall die pos. Definitheit nachgewiesen ist, ist zumindest zweifelhaft, siehe#7. Müßte man im Buch nachsehen. Die Definition geht auch anders, dazu wird die zugehörige quadratische Form betrachtet.

NIK · 14 März 2007

OK. D.h. wenn die Matrix nicht symmetrisch ist, dann erst symmetrisch machen, und dan EW.

Welchen Weg benutzt ihr denn, bzw. gibt es einen schnelleren um eine Matrix auf pos. bzw. neg. Definitheit zu überprüfen???

turboschneckedp · 14 März 2007

ist das eine akademische Diskussion (sinnfrei) oder wollt ihr die Ergebnisse zu irgend etwas anwenden. In der Mathematik gibt es noch weitere (mehr oder weniger leicht überprüfbare) Kriterien, wie z.B. Diagonaldominanz,
Grüßle

moonsoul · 15 März 2007

Es gibt einen schnellen Weg, um die zu überprüfen ob eine Matrix positiv oder negativ definit ist.

Bei der positiv definit Matrix sind alle Unterdeterminanten größer 0 (auch der Eigenwert ist größer 0).

Bei der negativ definiten ist die erste Unterdeterminante kleiner 0,
die zweite größer 0 und
die dritte kleiner 0 (der Eigenwert ist kleiner 0).

Beispiel
-3...-2
.2....1

1. Unterdeterminante ist die -3, also kleiner 0, also negativ definit.
2. Unterdeterminante ist (-3 x 1) - (2 x -2) = 1, also größer 0, also negativ definit.

Wenn die Regeln weder für positiv noch für negativ passen, dann ist die Matrix indefinit.

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