definit - -positiv und negativ

definit - -positiv und negativ

.... kann mir das nochmal jemand erklären? ich steh grad echt auf´n schlauch...😕😕:confused

Also eine Hessematrix ist dann überhaupt positiv oder negativ definit, wenn die Determinate positiv ist. Ist die Determinante negativ, ist die Matrix indefinit.
Ist die Determinate positiv, und x1x1 (also links oben) positiv, ist die Hessematrix positiv definit. Ist x1x1 negativ, ist die Hessematrix negativ definit.
positiv definit, wenn jeder Eigenwert positiv ist.
negativ definit, wenn jeder Eigenwert negativ ist.
positiv semidefinit, wenn alle Eigenwerte nicht negativ sind und mindestens einer 0
negativ semidefinit, wenn alle Eigenwerte nicht positiv sind und mindestens einer 0

Negativ definit habe ich eigentlich etwas anders gelernt:

trifft zu, sofern die kleinste Unterdeterminante negativ ist und alle weiteren dann ein wechselndes Vorzeichen haben..?

Es gibt mehrere Rechenoperationen um Definitheit festzustellen:

Shila hat die Hesse-Matrix in der Differentialrechnung/partielle Ableitungen (Mathe II) und die Bestimmung der Definitheit nach der Eigentwertmethode (Mathe I) vorgestellt.
Mirko meint die Bestimmung nach Sylvester / Hauptabschnittsdeterminate (Mathe I)

Und irgendwo hier fällt dann doch auch oftmals die Wörter "konkav" und "konvex"...was sagen die eigentlich aus?

Dazu merke ich mir eigentlich nur konvex => positiv (semi)definit und konkav => negativ (semi)definit.... Am besten eine Eselsbrücke ausdenken mit irgendeinem positiven Wort das sich auf konvex reimt, so kann ich mir das zumindestens gut merken

Konvex:Trink das Glas auf Ex!!!!
x² Parabel nach oben--> Inhalt bleibt im Glas --> positiv

Konkav:wie der Buckel vom Schaf!!!
x² Parabel nach unten--> Inhalt kippt sich aus--> negativ

Man wird echt kreativ mit der Zeit....

Paula2308 schrieb:

Konvex:Trink das Glas auf Ex!!!!
x² Parabel nach oben--> Inhalt bleibt im Glas --> positiv

Konkav:wie der Buckel vom Schaf!!!
x² Parabel nach unten--> Inhalt kippt sich aus--> negativ

Man wird echt kreativ mit der Zeit....

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Super Eselsbrücken, vielen Dank.
Könnt Ihr zu dem Thema (Hesse-Matrix, Determinante, etc.) Literatur empfehlen?

Danke & Gruß
Robert