Darstellung / Bestimmung von Integralen - Tipp???

Ich bin mir noch nicht 100% sicher wenn( wie in fast jeder alten Klausur) nach der korrekten Darstellung des Integrals gefragt werde. Bei mancher Form tippe ich da 50 / 50. Das würde ich gern besser machen.

Verstehe ich das richtig?

1. Flächen unter der x Achse sind Negativ?
2. Das vertauschen der Integralgrenzen tauscht das Vorzeichen?
3. Eine Funktion in Betragsstrichen tauscht das Vorzeichen doch an den Nullstellen, was aber wenn das Intervall zwischen den Nullstellen steht - Verändert sich dann nix oder doch?
4. Die ganze Berechnung in Betragsstrichen tauscht alle Vorzeichen?

Hat jemand einen , Tipp, Eselsbrücke,einen Lösungsalgorithmus etc. mit dem ich mir sicher bin, was ich ankreuze?

1. Eine Fläche ist niemals negativ. Das Integral kann negativ sein. Wenn das Integral von links nach rechts genommen wird, ist es in diesem Fall negativ. Wird das Integral von rechts nach links genommen, ist es positiv
2. richtig
3. falsch, Betrag bedeutet, dass das Ergebnis positiv ist. Das hat nichts mit tauschen zu tun. Ist das Ergebnis an sich schon positiv, ändert sich nichts
4. siehe 3.
Rechne immer von Nullstelle zu Nullstelle. Setze das Ergebnis immer in Betrag, wenn Du die Fläche berechnen sollst - so ist es egal, ob Du das Integral von rechts nach links oder umgekehrt berechnest.

Ich muss noch einmal nachhaken: Es ist aber doch nicht das Gleiche, ob das ganze Integral in Betragsstrichen steht oder nur dessen Funktion.
Ich weiss, dass eine Funktion in Betragsstrichen bedeutet, dass der Wert der Funktion an deren Nullstelle gespiegelt wird, also dessen Vorzeichen vertauscht wird.
Aus den Musterlösungen alter Klausuren kann ich auch lesen, dass das gesamte Integral in Betragstrichen nicht dasselbe ist, wie wenn nur die Funktion des Integrals in Betragsstichen steht.
Unklar ist mir die genaue Auswirkung, weil die Integrale ja immer zwischen den Nullstellen, also ober/unterhalb der X-Achse berechnet werden.
Hat noch jemand einen Tipp ? Wie geht ihr den vor, wenn nach der richtigen Darstellung der Integrale gefragt wird?

saschkai schrieb:

Ich muss noch einmal nachhaken: Es ist aber doch nicht das Gleiche, ob das ganze Integral in Betragsstrichen steht oder nur dessen Funktion.

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Richtig, das ist ein großer Unterschied.

Ich weiss, dass eine Funktion in Betragsstrichen bedeutet, dass der Wert der Funktion an deren Nullstelle gespiegelt wird, also dessen Vorzeichen vertauscht wird.

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Nein. [tex]|x|[/tex] heißt Betrag von x, also -x falls x < 0, sonst einfach x. Das Vorzeichen wird sozusagen entfernt.
Bei einer Funktion, [tex]|f(x)|[/tex], passiert das wie man sagt punktweise, also für jedes x getrennt. Anschaulich wird der negative Anteil der Funktion nach oben geklappt.

EDIT: Oder meintest du das etwa mit "an der Nullstelle gespiegelt"?

Aus den Musterlösungen alter Klausuren kann ich auch lesen, dass das gesamte Integral in Betragstrichen nicht dasselbe ist, wie wenn nur die Funktion des Integrals in Betragsstichen steht.

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Das ganze Integral in Betragsstrichen ist nichts besonderes: Das Integral ist ja eine Zahl, und davon lässt man dann einfach das Vorzeichen weg.

Unklar ist mir die genaue Auswirkung, weil die Integrale ja immer zwischen den Nullstellen, also ober/unterhalb der X-Achse berechnet werden.

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Ich verstehe nicht, was das heißen soll. Integrale berechnet man nicht "zwischen den Nullstellen". Der einzige Grund, der mir jetzt einfällt, jeweils von Nullstelle zu Nullstelle zu integrieren, ist, wenn man sich für das Integral des Betrages einer Funktion interessiert.

@chris
danke für die Antwort. Ja ich hab mit "spiegeln" das "nach oben klappen" gemeint. Danke nochmal für die Erläuterung.

Integrale berechnet man nicht "zwischen den Nullstellen".

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Hab ich etwas blöd ausgedrückt. Die Fläche die ich mit dem Integral berechnen will liegt immer zwischen zwei Nullstellen, so meinte ich das.
Habe mich deshalb gefragt warum/wie/was dann die Funktion in Betragsstrichen zur Berechnung des Integrals überhaupt verändert.

Nur um ganz sicher zu gehen:
Wenn die Funktion in Betragsstrichen steht fällt ein Minus weg, bei + ändert sich nichts, oder?

saschkai schrieb:

@chris
danke für die Antwort. Ja ich hab mit "spiegeln" das "nach oben klappen" gemeint. Danke nochmal für die Erläuterung.

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OK, es las sich halt so, als würdest du die ganze Funktion "spiegeln" wollen. Es werden aber natürlich nur die negativen Anteile "gespiegelt".

Hab ich etwas blöd ausgedrückt. Die Fläche die ich mit dem Integral berechnen will liegt immer zwischen zwei Nullstellen, so meinte ich das.
Habe mich deshalb gefragt warum/wie/was dann die Funktion in Betragsstrichen zur Berechnung des Integrals überhaupt verändert.

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Achso, es sind nur genau zwei Nullstellen, und die Funktion ist stetig? Dann ist sie ja entweder (im offenen Intervall zwischen den beiden Randpunkten) komplett positiv oder komplett negativ. Dann wird sie -- falls sie negativ ist und man das Integral des Betrages haben will -- natürlich komplett nach oben geklappt.

Mal ein Beispiel: [tex]\int_{-1}^1 |x^2 - 1| dx[/tex]. Für [tex]-1 < x < 1[/tex]gilt [tex]x^2 - 1 < 0[/tex], also kann man "spiegeln", und das Integral ist gleich [tex]\int_{-1}^1 -(x^2 - 1)dx = \int_{-1}^1 -x^2 + 1 dx = -\frac{1}{3}x^3 + x|_{-1}^1 = -\frac{1}{3} + 1 -\frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}[/tex] (falls ich mich nicht verrechnet habe).

Nur um ganz sicher zu gehen:
Wenn die Funktion in Betragsstrichen steht fällt ein Minus weg, bei + ändert sich nichts, oder?

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Das ist mir zu simpel. Der Betrag wirkt punktweise, man kann nicht einfach ein Minus weglassen. Das gilt nur für einzelne Zahlen: |-5| = 5, |5|= 5. Aber |-sin(x)| ist nicht dasselbe wie sin(x).

Danke für das Beispiel. Wird langsam klarer.
LG
Sascha