Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

Makro I,KE 1,S.37/38

Auf den oben genannten Seiten werden die Annahmen an den Produktionsprozess an der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion überprüft.

Dazu hätte ich (mal wieder) Fragen:

1.) Die Ermittlung der Grenzproduktivität erfolgt durch die partielle Ableitung nach N bzw. K.

"Ist die Ableitung positiv (und das ist sie in diesem Fall), so ist auch die Grenzproduktivität positiv,d.h. der Output steigt mit Erhöhung des Faktoreinsatzes.
So weit so gut..."

2.) Die zweiten Ableitungen nach N und K sind negativ, weil angenommen wurde, dass a und b kleiner als 1 sind.

"Rein rechnerisch durchaus nachvollziehbar! Aber was heißt das nun für uns? Liege ich richtig wenn ich behaupte, dass sobald die zweite Ableitung nach N oder K negativ ist, man einfach davon ausgeht, dass die Grenzproduktivität abnimmt und sich der Output irgendwann (bei welchem Faktoreinsatz auch immer) nicht mehr erhöhen lässt?

3.) Da a und b positiv sind, ist auch die Kreuzableitung positiv.

"Auch hier rechnerisch alles noch verstanden. Aber was soll das nun bezüglich der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion bedeuten?"

Gruß aus Norderstedt/Hamburg

Burghedin schrieb:

Makro I,KE 1,S.37/38

Auf den oben genannten Seiten werden die Annahmen an den Produktionsprozess an der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion überprüft.

Dazu hätte ich (mal wieder) Fragen:

1.) Die Ermittlung der Grenzproduktivität erfolgt durch die partielle Ableitung nach N bzw. K.

"Ist die Ableitung positiv (und das ist sie in diesem Fall), so ist auch die Grenzproduktivität positiv,d.h. der Output steigt mit Erhöhung des Faktoreinsatzes.
So weit so gut..."

2.) Die zweiten Ableitungen nach N und K sind negativ, weil angenommen wurde, dass a und b kleiner als 1 sind.

"Rein rechnerisch durchaus nachvollziehbar! Aber was heißt das nun für uns? Liege ich richtig wenn ich behaupte, dass sobald die zweite Ableitung nach N oder K negativ ist, man einfach davon ausgeht, dass die Grenzproduktivität abnimmt und sich der Output irgendwann (bei welchem Faktoreinsatz auch immer) nicht mehr erhöhen lässt?

3.) Da a und b positiv sind, ist auch die Kreuzableitung positiv.

"Auch hier rechnerisch alles noch verstanden. Aber was soll das nun bezüglich der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion bedeuten?"

Gruß aus Norderstedt/Hamburg

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Da bei eine CD-Funktion 0 < a+b < 1 gilt, kann man sagen, dass hier die Grenzproduktivität edes Faktors immer positiv ist. (durch Bildung der 1. Ableitung > 0)

Als Kurve erhält man somit eine rechtsgekrümmte (konkave) Kurve.

Da die Kurve konkav ist, kann man gleichwohl sagen, dass die Grenzproduktivität mit zunehmendem Faktoreinsatz abnimmt. (2. Ableitung ist < 0)

Ich hoffe, ich konnte Dir weiterhelfen.

Master1979 schrieb:

Da bei eine CD-Funktion 0 < a+b < 1 gilt, kann man sagen, dass hier die Grenzproduktivität edes Faktors immer positiv ist. (durch Bildung der 1. Ableitung > 0)

Als Kurve erhält man somit eine rechtsgekrümmte (konkave) Kurve.

Da die Kurve konkav ist, kann man gleichwohl sagen, dass die Grenzproduktivität mit zunehmendem Faktoreinsatz abnimmt. (2. Ableitung ist < 0)

Ich hoffe, ich konnte Dir weiterhelfen.

VG

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Das ist nicht ganz korrekt. Nimmst Du nur an, dass 0<a+b<1, könnten a oder b auch negativ sein, wenn die andere Variable nur etwas mehr positiv ist (wenn z.B. a=-0,4 und b=0,5, ist a+b=0,1 -> Summe größer 0). In diesem Fall wäre aber die 1. Ableitung nach dem Faktor mit negativem Exponenten kleiner 0. Es gibt CD´s mit 0<a+b</=1, denn wenn a+b=1 ist die Funktion linear homogen. Es gibt auch CD´s mit a+b>1, siehe #?t=3507&page=4, wo wir das ausführlich diskutiert haben. Letztere sind allerdings in diesem Zusammenhang nur bedingt zulässig, da sonst nicht die Forderungen, die an eine neoklassische Produktionsfkt. gestellt werden, erfüllt werden (siehe S.32-37). Wäre z.B. a+b=2, könnte die Funktion linear steigen (für a,b=1, die Grenzproduktivitäten wären dann immer gleich dem jeweils anderen Faktor -> linear). Wären a+b>2 könnte die Funktion progressiv steigen, man könnte z.B. durch eine Einheit mehr Arbeit eine relativ größere Outputmenge erhalten, was ökonomisch in diesem Zusammenhang keinen Sinn macht. Die Anforderung an eine korrekte CD Produktionsfkt. lautet hier, dass 0<a<1 und 0<b<1, was impliziert, dass a+b sowohl gleich 1 sein können, aber immer kleiner 2 sein müssen (S.37 unten).
Zur zweiten Frage, ob es dann irgendwann eine Situation gibt, in der der Output nicht mehr erhöht werden kann: Nein! Das macht doch gerade die neoklassische Produktionsfunktion aus. Es geht immer noch ein bisschen mehr, aber die Steigerung ist eben unterproportional. Die Kurve läuft gegen +Unendlich.
Zu der 3. Frage: Schaut Euch die Grafik 3-3 Seite 34 an. Dort sind die Isoquanten bei partieller Faktorvariation abgebildet. Erhöhe ich nun den einen Faktor bei Konstanz des anderen Faktors, erhöht sich auch der Gesamtoutput. Mathematisch wird dies durch die positive Kreuzableitung beschrieben (siehe Seite 35 Bedingung 3.4): Erhöhe ich den einen Faktor, erhöht sich gleichzeitig der marginale Produkiontsbeitrag des anderen Faktors (= der Gesamtoutput steigt). Da muss man einfach mal ein bisschen drüber nachdenken, dann leuchtet es schon ein. Stellt es Euch wie gesagt immer anhand der Produktionsisoquanten Abb. 3-3 vor.
Ich hoffe, das war einigermaßen anschaulich erklärt.

Seth,
danke für Deinen Beitrag. Muss tatsächlich nochmal nachschauen.

Gruß Tobi

Seth,
Deine Kompetenz werde ich jetzt wahrscheinlich ausnutzen.
Bitte noch einmal abschließend zur Seite 35:

"Es ist plausibel, anzunehmen, dass der zusätzliche Beitrag einer Arbeitseinheit größer ist, wenn die bereits vorhandene Belegschaft relativ klein ist.
Formal wird dies durch Annahmen an die zweiten Ableitungen der Produktionsfunktion erfasst."

Und diese Beiden sind negativ!

Warum?

Also, die ersten Ableitungen sind positiv, was besagt, dass die Funktion (bzw. ihr Graph) steigend ist. Wenn die zweiten Ableitungen negativ sind, bedeutet dies, dass die Kurve zwar steigt, aber unterproportional (siehe Grafik Seite 36). Das bedeutet, wenn ich z.B. 5 Einheiten Arbeit mehr einbringe, erhöht sich mein Output um 2 Einheiten. würde die Funktion linear steigen, dann würde sich mein Output verdoppeln, wenn ich dochmal 5 EH Arbeit zusätzlich draufpacke. Unterproportional bedeutet aber, dass ich jetzt z.B. nur noch 1 EH Output mehr bekomme, obwohl ich ja den Input verdoppelt habe. Wären die 2. Ableitungen positiv, würde der Graph überproportional steigen. Packe ich also 5 EH Arbeit mehr drauf, bekomme ich 2 EH Output mehr. Nochmal 5 EH Arbeit drauf und ich bekomme statt 2 sogar 3 EH Output zusätzlich. Comprende?

Auf das Zitat bezogen: hast Du in Deiner Firma 3 Angestellte, die produzieren und stellst noch 2 ein, produzierst Du mehr. Hast Du aber schon 10 Angestellte, die produzieren und stellst noch 2 ein, muss sich einer um die Verwaltung kümmern, deshalb steigt Dein Output nicht genauso stark an wie in der Situation mit der kleineren Belegschaft. Je größer also Deine Belegschaft wird, desto kleiner wird die durchschnittliche Produktivität jedes einzelnen. Also steigt der Graph der Produktionsfkt. zwar an, aber eben unterproportional.
Ich hoffe, das ist so verständlich.

Klasse!
Warum schreibst Du nicht die Kurseinheiten?

Sethsche Skripte

Hört sich wichtig an!

Gruß

Öhmmm, ja. Ich arbeite dran. Wenn ich dann mein Diplom habe, eine Dissertation erfolgreich geschrieben habe und noch ein bisschen habilitiert habe, werde ich mich gerne mal bei der Fernuni als Prof bewerben... so in 6-7 Jahren sollte das zu schaffen sein :super::