cobb douglas mit minimalkostenkombination

ich verzweifle an folgender Aufgabe und hoffe , das mir hier der eine oder andere auf die spruenge helfen kann ...

eine unternehmung setze zur produktion eines gutes folgende substitutionale produktionsfunktion vom cobb douglas typen ein :

x= c*Va^alpha * vk ^beta c= 0,8 , alpha = 0,4 , beta = 0,5


Dabei bezeichnet x die ausbringungsmenge, va : einsatzmenge des produktionsfaktors arbeit und vk = einsatzmenge des PF kapital.

fuer jede mengeneinheit kapital ist ein kapitalkostensatz von 0,2 geldeinheiten zu zahlen. fuer jede arbeitsstunde ist ein lohnsatz von 18 geldeinheiten.

a) der unternehmer wolle eine produktionsmenge von 1000 mengeneinheiten mit minimalen kosten produzieren. berechen sie die minimalkostenkombination . wie hoch sind in der mmkk die optimalen einsatzmengen von arbeit und kapital. wie hoch sind die kosten ?

in der loesung dazu steht folgende lagrangefunktion :
L= 18*Va+0,2*Vk + lambda *(x-0,8*^0,4*Vk^0,5) und es heisst vk = 22522,5 , va = 200,2 , Kosten = 8108,20 ...

koennte mir bitte jemand erklaeren , wie man auf das ergebnis kommt ? mit meiner lagrange ableitung komme ich da einfach nicht weiter ..vielen dank schon mal...

ich habe der Einfachheit halber die Variablen mal umbenannt:

A = Arbeit
K = Kapital
r = Zins
l = Lohnsatz
x = Menge

Formel der Produktionsfunktion:

x = 0,8A^0,4 * K^0,5

1000 = 0,8A^0,4 * K^0,5

Kostenfunktion:

Kosten = l*A + r*K

Die Bedingung in Kostenminimalen Punkt lautet:

r / l = (dx/dK) / (dx/dA)

0,2/18 = 0,4A/0,32K => A = 2K/225

In die Produktionsfunktion eingesetzt ergibt:

1000 = 0,8 * (2/225)^0,4 * k^0,4 * K^0,5

K = 22.523,43 (kleine Rundungsabweichung)

K in Produktionsfunktion eingesetzt ergibt:

1000 = 0,8A^0,4 * 22.523,43^0,5

A = 200,2

Alles in die Kostenfunktion:

Kosten = 18*200,2 + 0,2*22.523,43

Kosten = 8108,29



Man braucht die LaGrange Funktion eigentlich nur zur Herleitung der Bedingung für das Kostenminimum. Hat man das einmal gemacht, reicht es auf die oben stehende Formel zurück zu greifen.

Hoffe es hilft J

Gruß

besuch

P.S. Falls du Mikro belegt hast: Script KE2, Seite 50f

Vielen herzlichen dank - ich hatte tatsaechlich alles richtig , bis zu dem punkt als ich A in die produktionsfunktion einsetzen musste ...diese exponenten haben mich echt geschafft - wie hast du das bei 1000 = 0,8 * (2/225)^0,4 * k^0,4 * K^0,5 geloest ?? und wie genau bist du auf a = 2k/225 gekommen( hatte die 0,0088 zwar raus ,aber auf 2/225 bin ich so nicht gekommen ) ? ich danke dir vielmals fuer deine muehe und hilfe ! und danke fuer den tipp ...

A)

1000 = 0,8 * (2/225)^0,4 * k^0,4 * K^0,5
durch 0,8 durch (2/225)^0,4

K^0,4*K^0,5 = K^(0,4+0,5) = K^0,9
8267,44 = K^0,9
0,9te Wurzel von 8267,44 = 8267,44^(1/0,9)
Die Wurzel als Exponent ist immer der Kehrwert
Bsp.: Wurzel 2 von x = x^1/2, Wurzel y von x = x^y

K = 22523,43

b)
0,2/18 = 0,4A/0,32K (Ergebnis der Ableitung)
Nach A aufgelöst
A = (0,2*0,32K) / (18*0,4)
A = 0,064K / 7,2 (mit 1000 Nenner und Zähler erweitern – so ist man die Komma los)
A = 64/7200 (mit 32 kürzen)
A = 2K/225