• Guten Start ins Wintersemester 2024/2025

Cobb-Douglas-Funktion konvex oder konkav?

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Peg

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Cobb-Douglas-Funktion konvex oder konkav???

Hallo zusammen,

wahrscheinlich stell`ich jetzt eine ziemlich doofe Frage so kurz vor der Klausur, aber ich muss sie stellen, auch auf die Gefahr hin von vielen gemaßregelt zu werden, dass ich das bis jetzt noch nicht weiß!!!🙂

Ich stell`mich auch für 1 Minute in die Ecke und schäm`mich!!!😀

Also, wie stell`ich bei einer z. B. Cobb-Douglas-Funktion U= x^a*y^b fest, ob sie konvex oder konkav ist? Okay, okay, ich weiß, dass die 1. Ableitung gleich Null und die zweite Ableitung größer Null sein muss und dann????????????????????????????????????????????????????????😕

Für eine schnelle Antwort wär`ich Euch sehr dankbar!

tschüss, peggy
 
Entscheidend für die Krümmung ist allein die zweite Ableitung. Eine Funktion ist konvex an einer Stelle, wenn die zweite Ableitung an dieser Stelle größer als Null ist und konkav, wenn die zweite Ableitung kleiner als Null ist:
img988.gif

Zu Cobb-Douglas: Die dürfte generell eher konkav sein. Und zwar über den gesamten Verlauf der Funktion.😀 Noch ein Bildchen dazu:
img986.gif


Hoffe, das hilft etwas anschaulicher weiter.
 
Peg schrieb:
Hallo zusammen,

wahrscheinlich stell`ich jetzt eine ziemlich doofe Frage so kurz vor der Klausur, aber ich muss sie stellen, auch auf die Gefahr hin von vielen gemaßregelt zu werden, dass ich das bis jetzt noch nicht weiß!!!🙂

Ich stell`mich auch für 1 Minute in die Ecke und schäm`mich!!!😀

Da mach dir mal überhaupt keine Gedanken drüber!!!!!

Also, wie stell`ich bei einer z. B. Cobb-Douglas-Funktion U= x^a*y^b fest, ob sie konvex oder konkav ist? Okay, okay, ich weiß, dass die 1. Ableitung gleich Null und die zweite Ableitung größer Null sein muss und dann????????????????????????????????????????????????????????😕

hast du dich hier nur verschrieben?? Bei einer CD Funktion ist die 2. Ableitung kleiner Null!!!

Für eine schnelle Antwort wär`ich Euch sehr dankbar!

tschüss, peggy
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Alex hat ja schon die Erklärung dafür gegeben, woran man grundsätzlich erkennt, ob der Graph zu einer Funktion konvex oder konkav verlaüft. Aber bei einer CD Funktion brauchst du dir doch gar keine Gedanken darüber machen, weil sie immer den gleichen Verlauf hat, nämlich konkav, und sich durch positive, aber abnehmende Grenzerträge auszeichnet, was du an der 1. Ableitung siehst, selbst wenn du den Kurvenverlauf der 1. Ableitung nicht mehr weißt, male an die Ertragsfunktion Tangenten an und schau, ob sie steiler oder flacher werden nach rechts hin. Werden sie flacher, ist der Grenzertrag sinkend. Du mußt dir bei den Funktionen nur die Ausgangsfunktion merken, den Rest kann man sich so ganz leicht herleiten.
 
Kirsten schrieb:
Alex hat ja schon die Erklärung dafür gegeben, woran man grundsätzlich erkennt, ob der Graph zu einer Funktion konvex oder konkav verlaüft. Aber bei einer CD Funktion brauchst du dir doch gar keine Gedanken darüber machen, weil sie immer den gleichen Verlauf hat, nämlich konkav, und sich durch positive, aber abnehmende Grenzerträge auszeichnet, was du an der 1. Ableitung siehst, selbst wenn du den Kurvenverlauf der 1. Ableitung nicht mehr weißt, male an die Ertragsfunktion Tangenten an und schau, ob sie steiler oder flacher werden nach rechts hin. Werden sie flacher, ist der Grenzertrag sinkend. Du mußt dir bei den Funktionen nur die Ausgangsfunktion merken, den Rest kann man sich so ganz leicht herleiten.
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Da hat jemand bei Axel aufgepasst.:brav
 
Wie ist eine Cobb-Douglas-Fkt. denn eigentlich charakterisiert? Klar, zunächst durch

x=c*v1^a*v2^b

Aber a+b<1 ist doch nur eine Zusatzbedingung, damit es sich gleichzeitig um eine neoklassische (= konkave) Funktion handelt, oder? 😕

Bin nämlich gerade etwas verwirt: in der Musterlösung zur Klausur aus März 2002 (Aufg. 2, Nr. 13) wird nämlich behauptet, dass die kfr. Grenzkostenkurve einer CD-PF einen monoton steigenden Verlauf hat. Aber könnte eine CD-PF nicht z.B.
x=v1^3*v2^3
lauten? Dann wäre der Grenzertrag ja 3v1^2 (bzw. 3v2^2) und die Grenzkosten würden fallen...

Laut Mikro-Online oder Wikipedia.org ist nur a,b>0 Bedingung, aber ob a+b nun kleiner, größer oder gleich 1 ist, ändert nichts daran, dass es sich um eine Cobb-Douglas-Fkt. handelt...

Wär schön, wenn jemand etwas Licht in die Sache bringen könnte! 🙂

Viele Grüße
Christiane
 
Dazu hatten wir in unserem Mikro-Tutorium die Aussage erhalten, dass "strenggenommen" eine Cobb-Douglas-Fkt. sich auch durch a+b <= 1 auszeichnet und das es aber grundsätzlich eine Definitionsfrage ist.

Wenn ich das richtig verstanden habe, ist an der FernUni aber immer a+b <= 1 für CD vorausgesetzt. Und daraus folgen dann natürlich sinkende Skalenerträge und steigende Grenzkosten.

Was vielleicht auch eine Rolle dabei spielt, ist das bei a+b > 1 (steigende Skalenerträge) langfristig ein Monopol entsteht (der Anbieter mit der günstigsten Kostenstruktur setzt am meisten ab und kann dann immer billiger produzieren und wirft daher die anderen vom Markt) und dieser Effekt soll wohl im Rahmen der Unternehmenstheorie von uns nicht betrachtet werden.
 
Danke für deine schnelle Antwort Picahulu!

Ich finde es aber schon irgendwie komisch, dass es keine klare / einheitliche Definition der CD-Fkt gibt. 🙁 Besonders fies ist ja, dass es im Skript nicht (oder zumindest nicht besonders klar) hervorgehoben wird, dass es verschiedene Definitionen gibt und die FU sich für diese eine entschieden hat...
 
zur C-D-Funktion!

Hallo Christiane!
Ich versuche es mal zu erklären:
Bei einer C-D Funktion müssen a+b = 1 ergeben, denn eine C-D-Funktion ist dadurch charakterisiert, dass sie einen Homogenitätsgrad (also die Summe der beiden Exponenten) von 1 hat. Das bedeutet, dass sie sich proportinal zur Faktorvariation ändert und nicht wie bspw. bei einem Homogenitätsgrad von <1 sich unterproportional ändert.

Hoffe es hat etwas Licht ins Dunkle gebracht!
Grüße
Alex
Chocoholic schrieb:
Hi!

Wie ist eine Cobb-Douglas-Fkt. denn eigentlich charakterisiert? Klar, zunächst durch

x=c*v1^a*v2^b

Aber a+b<1 ist doch nur eine Zusatzbedingung, damit es sich gleichzeitig um eine neoklassische (= konkave) Funktion handelt, oder? 😕

Bin nämlich gerade etwas verwirt: in der Musterlösung zur Klausur aus März 2002 (Aufg. 2, Nr. 13) wird nämlich behauptet, dass die kfr. Grenzkostenkurve einer CD-PF einen monoton steigenden Verlauf hat. Aber könnte eine CD-PF nicht z.B.
x=v1^3*v2^3
lauten? Dann wäre der Grenzertrag ja 3v1^2 (bzw. 3v2^2) und die Grenzkosten würden fallen...

Laut Mikro-Online oder Wikipedia.org ist nur a,b>0 Bedingung, aber ob a+b nun kleiner, größer oder gleich 1 ist, ändert nichts daran, dass es sich um eine Cobb-Douglas-Fkt. handelt...

Wär schön, wenn jemand etwas Licht in die Sache bringen könnte! 🙂

Viele Grüße
Christiane
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In economics, the Cobb-Douglas functional form of production functions is widely used to represent the relationship of an output to inputs. It was proposed by Knut Wicksell (1851-1926), and tested against statistical evidence by Charles Cobb and Paul Douglas in 1928.
For production, the function is
Y = ALαKβ, where:

  • Y = total production (the monetary value of all goods produced in a year)
  • L = labor input
  • K = capital input
  • A = total factor productivity
  • α and β are the output elasticities of labor and capital, respectively. These values are constants determined by available technology.
 
Guck mal in die Besprechung zur 2. EA, da amüsieren wir uns auch gerade mit dem Thema.

Ich fasse es mal so zusammen es gibt drei Definitionen

die engste
1.
a+b=1
Und damit auch eine CES Funktion

2.
a+b<=1
immer noch neoklassisch und wird auch so im Skript teils als CD bezeichnet

3.
a+b>0

hier gilt, sobald a+b>1 befindet man sich in einer monopolistischen Produktionsfunktion, und nicht mehr Neoklassisch

Das Skript ist da etwas indifferent, auch der einen Seite gibt es an, daß eine CD-Funktion auch eine CES-Funktion ist und definiert diese und damit auch die CD-Funktion mit a+b=1. Aber an anderer Stelle wird auch a+b<=1 als CD bezeichnet, sich auf eine Meinung festlegen war wohl nicht drin.
 
Naja,

Die CD Funktion ist die CES Funktion für p=0
da aber für die CES-Funktion, sowohl nach Kurstext, wie auch den Angaben, von zumindest zwei der zum Kurs angegeben Literatur, gilt:

CES:
[tex] q = A (ax_1^{-p} + (1-a) x_2^{-p} )^{-h/p} [/tex]
A>0 und 0<a<1


Ergibt sich für die CD-Funktion, also für p=0,
nach Umformung, da Division durch 0:

[tex] q = A*(ax_1^p + (1-a) x_2^p)^{h / p }[/tex] | /A


[tex] q/A = (ax_1^p + (1-a) x_2^p)^{h / p } [/tex] | ln

[tex] ln q - ln A = -ln ( ax_1^p + (1-a) x_2^p)^{h / p } = h(p) /g (p) [/tex]

L'Hôspital

[tex] h'= h ( a_x1^-p ln x_1 + (1-a) x_2^{-p} ln x2 ) / (a x_1^-p + (1-a) x_2 ^-p) [/tex]

g`= 1

lim h' p->0
-->
[tex] h(ln X_1 +(1-a) ln x2 )[/tex]

daraus folgt

[tex] ln q - ln A = h ( a ln x_1 + (1-a) ln x_2) [/tex] |e^

[tex] q/A = x1^{ha} * x_2^{h (1-a} [/tex] |*A

[tex] q = A(x1^{ha} * x_2^{h (1-a}) [/tex]


da 0<a<1 ergibt sich bei der CD-Funktion, im einfachsten Fall mit A=1 und h=1,

[tex] q = x_1^a * x_2^{1-a} = x_1^a x_2^b [/tex]

daß a+b=1 sein muß, nur dann ist auch die Bedingung der CES Funktion erfüllt.

Leider ist im Skript nirgends die vom Lehrstuhl präferierte Variante der CD-Funktion zu entnehmen.
 

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